книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

форме (как это обычно делается в школе), часто не в состоянии преодолеть инерцию представлений, возник­ ших в иных ситуациях. Многочисленные наблюдения и эксперименты позволяют высказать предположение, что

вает изменения в структуре действий. В связи с этим сложившееся ранее понятие может или вовсе бездейст­ вовать или образуется его независимый вариант. Если так, то предлагаемая в математической модели процеду­ ра формирования понятий, когда с одной стороны, каж­ дый раз четко вычленяется состав действий и, с другой,— в логической форме закрепляются особенности, инва­ риантные относительно способа формирования (гл. I, § 6), должна, на наш взгляд, способствовать обобщению понятий.

Обратимся к эксперименту. Опишем алгоритм распо­

По мере усвоения материала операторы выпадают, и учащиеся приходят к общепринятому определению смеж­ ных углов, т. е. к логической форме deg (5.6). Как по­ казывает обучающий эксперимент, при такой методике описанное выше раздвоение понятия на геометрическое и аналитическое (словесное) почти полностью исчезает, и этим окупаются первоначальные затраты времени и психических усилий на изучение операторной формы алгоритма (разумеется, в словесном описании). Более того, усвоенное как итог математической деятельности в одном разделе, понятие «общее» экстраполируется на другие разделы, и, как правило, учащиеся уже не нуждаются в аналогичных развернутых алгоритмических структурах, например, при решении неравенств. Мы де­ лаем вывод о том, что обучение с помощью алгоритмов открывает путь к развитию обобщенного мышления и знания у учащихся. Алгоритм, как указывает Л. Н. Лан-

144

да, из средства управления объектом становится сред­ ством управления мышлением. Обучение управляет фор­

мы перейдем теперь к анализу феномена раздвоенного мышления при овладении учащимися взаимно-обратны­ ми действиями в математике.

6. Алгоритмы в обучении — фактор упрочения обратных связей

I. В математике различают прямые и обратные тео­ ремы, числа, функции, действия, задачи. В психологиче­ ской модели мышления и знания им соответствуют си­ стемы обратимых ассоциаций. Как показали исследова­ ния В. А. Крутецкого, у учащихся среднего школьного возраста с ограниченными математическими способно­ стями существует известная расчлененность, независи­ мость в функционировании прямых и обратных ассоциа­ ций, проявляющаяся при решении задач [53]. Нам удалось подтвердить эту закономерность также для математического мышления старшеклассников [132].

Если у способных к математике школьников обрат­ ные ассоциации часто образуются почти одновременно

и в сочетании с прямыми, непроизвольно, то для уча­ щихся с ограниченными способностями это специальная задача. В терминах нашей операторно-логической моде­ ли эти факты интерпретируются как раздвоенность мыш­ ления при переключении е «прямого» хода мысли па «обратный». С этим, по-видимому, связаны также труд­ ности образования так называемых отрицательных оп­

ределений. Приведем примеры.

Из 30 семиклассников только 6 человек правильно ответили на вопрос: «Определить, какой выпуклый че­ тырехугольник не является параллелограммом». Боль­ шинство считало, что это — «четырехугольник, у которого нет параллельных сторон». 19 девятиклассников из 28 опрошенных ошибочно считают, что наклонная к пло­ скости (в отличие от перпендикуляра) не образует с пря­ мыми на плоскости прямых углов. Еще хуже, когда в определении участвуют кванторы. Например, 49 из 60 опрошенных студентов первого курса физмата не смогли построить на основе определения функции, -непрерывной в точке, определение разрывной функции. Подавляющее большинство ответов содержали неверные элементы: «Нет такого е», «Не существует б» и т. д. Характерно, что на втором курсе, после целого года изучения мате­ матического анализа, положение почти не изменилось.

Другим проявлением недостаточности обратных свя­ зей является эффект отождествления. Под отождествле­ нием понимаем неправомерную подмену учащимися обратной связи прямой связью. Протокольно фиксиро­ ванные наблюдения пояснят понятие.

1. Ученица 7 кл. Ш. (по четной сумме делает заклю­ чение о слагаемых) : «Каждое слагаемое четно: сумма четных чисел четна. Значит, числа четны».

2.Учащийся 9 кл. Ч. описывает окружность около выпуклого четырехугольника, у которого сумма противо­ положных углов равна 2d. Ч.: «Во внисанном четырех­ угольнике сумма противоположных углов 2d ... И тут дано 2d ... Описываем окружность».

3.Учащийся 8 кл. Т. получил, что квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон. Т.: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следова­ тельно, треугольник прямоугольный».

х = а + а; y = ö+ ß; х + у= (a + b) + (a + ß).

К. «Переменная равна своему пределу плюс бесконечно малая. Значит, (а + Ь) — предел».

5.Ученик 8 кл. П., получив (х—а)2= (у —Ь)2: «Если

числа равны, то и квадраты равны. Следовательно, X—а = у—Ь» и т. д.

Отметим, что, в общем, эти школьники умеют фор­ мулировать и доказывать обратные теоремы, указывают на их отличие от прямых теорем. Но все это — теорети­ чески, пока дело не доходит до приложений. Оказыва­ ется, у школьников, изучающих материал с применением алгоритмических описаний, расчлененность между об­ ратными и прямыми действиями в мышлении уменьша­ ется, а эффект отождествления, как правило, исчезает.

Опишем эксперимент. Речь пойдет об алгоритмиза­ ции формирования понятия первообразной функции (не­ определенного интеграла). Обратимся сначала к наблю­ дениям. Испытуемому дано задание: у' = sinx. Найти у. Выписка из протокола (мышление вслух): «,..у' = = sinx ... Значит, надо, чтобы если от какой-то функции взять производную ... От той функции взять производ­ ную— и будет sinx ... у —cosх ... Производная синуса равна косинусу, но здесь наоборот ... Получается (—sinx) ... и т. д.». После нескольких неудачных по­ пыток найдено: у = —cosx. Очевидно, мы присутствуем при проторении путей «справа налево», т. е. при воз­ никновении в мозгу обратных ассоциаций.

Теперь приведем другой протокол. « ...y= cosx; тогда у' будет (—sinx), неверно, у = —cosx». (Это решение способного к математике школьника.) Ясно, что в пер­ вом случае решение опиралось на развернутую систему действий. Тратя все усилия на осмысливание того, что надо делать, учащийся теряет логические связи, пере­ ходы и вынужден возвращаться к началу. Для ускоре­ ния процесса нам казалось необходимым специально

3.Сравни полученную производную с данной функцией.

4.Если они равны, то задача решена. В противном слу­ чае— вернись к указанию 1. (Эта схема имеет более широкое значение и, по существу, является общим опи­ санием управления с помощью обратной связи.) После

2—3-х примеров учащиеся уже явно не прибегали к ука­ заниям— они самостоятельно пришли к определению первообразной. Теперь довольно свободно брались под­ бором даже интегралы типа J sin 2xdx; J e~axdx и др., которые обычно вычисляются методом подстановки.

Убедившись, что учащиеся овладели алгоритмом, мы попытались выяснить, находится ли интегрирование в их мышлении в связи и под контролем дифференцирования, или навык интегрирования независим и опирается толь­ ко на запоминании формул (табличных интегралов). Мы предположили, что наличие и глубину связи удоб­ нее всего выявить в условиях относительного забывания учащимися материала, когда при разрушении или ос­ лаблении одних ассоциаций наличие других и их связь с первыми могло бы послужить стимулом к восстанов­ лению. С этой целью эксперимент был продолжен через 8 месяцев. За это время учащимся, в приложениях, при­ ходилось несколько раз пользоваться дифференцирова­ нием, интегрирование — ни разу не применялось. В свя­ зи с этим сомнительно, чтобы испытуемые помнили инте­ грирование, и, вероятно, они помнили основные формулы дифференцирования. Мы надеялись, таким образом, вы­ яснить, как умение находить производную, способствует восстановлению формул интегрирования.

Итоги эксперимента весьма показательны. У подав­ ляющего большинства испытуемых, обучавшихся с по­ мощью алгоритма, оказалось полное соответствие между формулами интегрирования и дифференцирования. От­ дельные формулы неверны, однако соответствие между ними все же сохраняется. Например, J sin х dx = cos х + С; (cosA;)/= sinx (неверно)— однако производная первооб­ разной равна подынтегральной функции. Психологиче­ ский анализ показывает, что восстановление формул интегрирования у учащихся шло при участии и под кон­ тролем «прямых» формул дифференцирования. Оказы­ вается, логическая форма понятия (определение перво­ образной) в адекватной психологической модели не исчезла со временем, а деформировалась, максимально сократилась, и от нее остались (по выражению одного испытуемого) главные слова: «Производная равна дан­ ной функции». Это, в терминах математической модели, и есть тот элемент, с помощью которого восстановлена операторная структура.

Напротив, в контрольной группе, где материал изу-

т