книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

с проявлением математических способностей. Нами была сделана попытка подкрепить модель процесса «свертывания» специальным экспериментом на исследо­ вание связи между способностью к «свертыванию» и силой нервной системы, когда она проявляется как ум­ ственная работоспособность при длительном решении математических задач.

Автор, работая преподавателем математики ® школе, в течение целого учебного года проводил с этой целью один раз в неделю строенные уроки, на которых испыту­ емые решали математические задачи по всем разделам курса. Способным учащимся давались задачи повышен­ ной трудности, так что все испытуемые работали напря­ женно, почти на пределе, но с большим интересом. В качестве индикатора степени утомляемости учащихся была использована их скорость вычисления при рабо­ те с логарифмической линейкой. Методика и организа­ ция эксперимента описаны в [127]. «Замеряя» с помо­ щью теоретико-информационных методов скорость вычислений испытуемых до и после решения математи­ ческих задач, мы судили о степени усталости учащихся. Затем сопоставлялись индивидуальные результаты ско­ рости вычислений: в широком плане — с математиче­ скими способностями учащихся в целом и в узком плане — со способностью к свертыванию рассуждений и соответствующих действий, к образованию логических форм и логических координат. Что касается первого, то обнаружилась прямая связь между умственной выносли­ востью учащихся при решении математических задач и их математическими способностями. Если рассмотреть информативность задания как меру его трудности (не­ шаблонности), то количество информации, переработан­ ной способными учащимися во время эксперимента, значительно превышает соответствующий информацион­ ный объём, переработанный менее способными учащи­ мися. И все же способные уставали меньше. Выясни­ лось также, что явление имеет парциальный характер: после трех уроков — литературы, истории, иностранного языка — скорость вычисления у способных к математике учащихся в среднем оказалась ниже, чем послетрех уроков напряженных занятий математикой. Для иссле­ дования связи со способностью к «свертыванию» на отдельных этапах предлагались задачи, решение кото­ рых невозможно без «сокращения» некоторых звеньев

мыслительного процесса. Например, давались для уст­ ного решения задачи, содержащие значительное количе­ ство преобразований, так что при развернутом решении просто невозможно запомнить промежуточные резуль­ таты и, следовательно, справиться с заданием.

Опишем в общих чертах один из экспериментов. Менее трех минут потребовалось способному к матема­ тике А. для решения примера.

учащегося рассказать ход мышления. А. «с места» на­ писал:

2cos3 га—cos a= eo s acos 2га.

Экспериментатор: — Вам известна такая формула? А.:—- Это легко получается.

Экспериментатор:— Вы помните эту формулу?

очевидно...

Экспериментатор:— Из каких соображений Вы заме­ нили tg(n/4—га) = ctg(n/4 + ra)?

А.: — Я заметил, что получается:

2ctg(n/4 + ra)sin2(n/4 + ra) =2cos(n/4 + a)sin(n/4 + a) = = sin (jt/2 + 2ra) = e o s 2га.

Экспериментатор: — Вы так подробно рассуждали? А.:— Нет, я сразу увидел, что получается cos 2га и

т. д.

Примерно так же протекало «мышление вслух» при решении примера другими способными учащимися. На­ личие свернутой системы умозаключений обеспечило одновременное и быстрое рассмотрение нескольких дей­ ствий и выбор пути решения примера. Из 8 участвовав­ ших в эксперименте способных к математике девяти­ классников 6 решили пример устно, 2 — при минималь­ ном числе записей промежуточных равенств. (Это после 3 уроков решения сложных задач творческого характера.) Как показал анализ, основой их решений

является свертывание рассуждений и соответствующих действий, своеобразное поглощение последующими логи­ ческими формами — предыдущих. Напротив, ни один из 10 испытуемых со средними математическими способ­ ностями не справился с устным решением примера. Все жаловались на невозможность «все запомнить», а неко­

учащиеся решили пример, однако их решения были раз­ вернуты, изобиловали излишними деталями, преобразо­ ваниями. По итоговым результатам эксперимента на одно решение примера этими учащимися приходится, в среднем, в 1,8 раза больше развернутых математиче­ ских и логических переходов, чем на решение примера способными к математике школьниками. Аналогичные результаты получились « в других экспериментах. Ока­ залось, что чем труднее задача, тем больше относитель­ ный «коэффициент свернутости» у способных к матема­ тике учащихся.

Таким образом, способность к «свертыванию», по-ви­ димому, является одной из форм парциального проявле­ ния силы нервной системы при решении математических задач.I.

II. Для большей убедительности полученных результатов по­ кажем на отдельных наблюдениях и экспериментах из практики обучения, что неспособность учащихся к свертыванию (рассужде­ ний, преобразований), незрелость логических форм, слабость логи­ ческих координат являются причиной феномена сплошности в мыш­ лении, о которой мы писали в § 1, гл. II. При этом мы не претен­ дуем на какую-либо полную классификацию всех проявлений сплош­ ности.

1. Неспособность к извлечениям. («Только подряд».)

а) Правило. Чтобы перемножить 2 относительных числа, надо перемножить их абсолютные значения и взять произведение со зна­ ком «+», если знаки сомножителей одинаковы, и со знаком «—», если они противоположны.

Наблюдение. Шестиклассники свободно пользуются правилом при решении примеров, и может показаться, что усвоена его логическая форма. Однако в ответ на вопрос об умножении двух чисел с про­ тивоположными знаками многие учащиеся читают полный текст пра­

—*У) (У—+х) <— К*,Ѵ У) (■* V '?)■

На вопрос об исключении импликации они затрудняются отве­ тить, хотя соответствующее преобразование (х— *у<— *х\/у) входи­ ло компонентом в ответ на предыдущий вопрос,

В о б о и х с л у ч а я х (а , 6 ) п р о я в л я ет ся н ед о ст а т о ч н о ст ь о п е р а ­

помогло. Когда было сообщено начало определения (для каждого е>0 существует іѴ...), большинство быстро восстановило его полно­ стью.

г) Некоторые восьмиклассники, умеющие решать полные квад­

ных неравенств. Ясно, что структура решения не поддается сверты­ ванию.

2. Неправомерное обобщение. (Перенос части на целое, «не­ чувствительность к ограничениям.)

а) Определение степени как произведения равных сомножителей механически переносится многими школьниками на произвольную степень. В итоге неясно, зачем специально выводятся законы дей­

Но это верно только на множестве рациональных чисел. Для более широких множеств справедливы разложения:

X 2 + а \ = (х + а — V 2ах) (х + а - \ - Ѵ 2ах) и х г -f- а 2 = (х-\-аі)(х — ai).

И все же «табу», наложенное на разложение суммы квадратов, столь сильно, что, как показывает эксперимент, многие десятиклас­

цательных чисел «доказано». Во всех случаях происходит неправо­ мерное «выключение» какой-либо логической координаты., что свиде­ тельствует о дефектах в механизме «свертывания».

вычисления модуля вектора, заданного в виде ä\x, у, г}, не в со­ стоянии решить такую же задачу для вектора, записанного в другом виде: a=xi+y]+zk.

б) По ходу решения уравнения итерационным методом требует-

п

ся доказать: |— -g-sin ях[<1 на сегменте (1, 2]. В аналогичном

примере, решенном в учебнике, на сегменте [1, 2] рассматривается

в состоянии доказать неравенство, хотя все, конечно, знают, что си­ нус .по абсолютной величине меньше 1. Включение варьируемых признаков в логические координаты; слабость переключения (на­

на знаменатель, чтобы получить ответ. Однако некоторые девяти­

дующее преобразование такого же типа, как предыдущее, только осложненное дополнительным действием — вынесением (—1) за скобки.

в) Требуется исследовать корни квадратного уравнения х2+ 5х+ + 10=0. Из протокола ответа абитуриента на вступительном экза­ мене

«X! + х 2 = — 5 , X, • х 2 = ІО .

Произведение положительно — знаки корней одинаковы. Сумма отрицательна, значит, и корни отрицательны...». В действительности корни — мнимые, и рассуждение абсурдно. Специальное изучение вопроса показывает, что в подавляющем большинстве случаев уча­ щимся приходится исследовать корни, когда дискриминант (D) больше нуля. В соответствующей алгоритмической процедуре сознавание оператора «Проверки знака дискриминанта» притупляется. Элиминируется и логическое условие: «Если D < 0, то корни мнимые; если 0, т о ... и т. д.». Возникшая логическая форма оказывается существенно неполной. В итоге — решение по принципу «Делай как всегда». Эксперименты, поставленные со школьниками и студентами на протяжении ряда лет, позволяют заключить, что в большинстве случаев «сплошность» в мышлении учащихся по одним показателям коррелирует со сплошностью по другим показателям, и можно, повидимому, ставить вопрос о проявлении ограниченности математиче­ ских способностей.

4.К вопросу о связи между логикой и интуицией

вматематическом мышлении

Вконце предыдущего параграфа показано, что важ­ нейшей особенностью «сверток» является их выпадение из сознания (при решении человеком математических задач) вследствие относительно большой скорости про­ текания возбудительного процесса. В это-м случае меха­ низм решения часто воспринимается учащимися и педа­ гогом как -проявление интуиции. Таким образом, алго­ ритмический подход к обучению и мышлению позволяет

исследовать некоторые истоки отдельных видов мате­ матической интуиции и поставить вопрос о связи между логикой и интуицией в математическом мышлении, в ча­ стности, об «интуитивной природе» главных операторов мышления: А, Р, С, D, Е и др.

Вопрос о связи интуитивного и формально-логиче­ ского в мышлении (в частности, математическом) в пси­ хологической литературе мало исследован. Между тем, эта связь является важным звеном в механизме челове­ ческого мышления. Мы попытались на конкретном учеб­ ном материале и с позиций гипотезы об операторно-ло­ гическом мышлении подойти к постановке вопроса. С этой целью казалось полезным изучение в указанном плане некоторых психологических особенностей усвоения студентами-математиками первых разделов теории множеств, в которых обнаруживается недостаточность выработанных средней школой интуитивных представле­ ний. Следует подчеркнуть, что из-за ограниченности и выборочное™ материала мы не делаем никаких общих выводов. Речь идет только о возможном подходе к по­ становке задачи.

Теория множеств, в которой математическое мышле­ ние совершает качественный скачок от конечных сово­ купностей к бесконечным, доставляет нам примеры, ког­

множеством четных чисел, образующим его часть, про­ тиворечат сложившимся ранее представлениям. Но за­ кон у = 2х логически убеждает, что соответствие дейст­ вительно имеет место. Далее оказывается, что множест­ во рациональных чисел также эквивалентно множеству натуральных чисел. Один довольно способный к матема­ тике студент «признался»: «Я, конечно, понимаю, что в доказательстве все правильно. Умом понимаю, а все

Попытаемся с помощью психологического анализа вскрыть причины и механизм явления. Процесс обраще­ ния учащихся с конечными множествами привел к логи­ ческой формуле: если 2 множества конечны и число их элементов одинаково, то между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (они эквивалентны),

если у них разное число элементов, то такого соответ­ ствия установить нельзя.

В операторной форме алгоритм распознавания вы­ глядит так.

1.Подсчитай число элементов 1-го множества.

2.Подсчитай число элементов 2-го множества.

3. Если числа равны, то элементы можно привести во взаимно-однозначное соответствие. В противном' слу­ чае— этого сделать нельзя.

Алгоритм ни в операторной, ни в логической форме учащимся и учащимися явно не формулировался. Боль­ ше того, учащиеся, как правило, даже не знакомы с по­ нятием взаимно-однозначного соответствия. Тем не менее они, сами не подозревая, ориентируются на осно­ ве приведенного алгоритма. Об этом свидетельствует эксперимент с Ирой К. (1-й класс).

На доске в произвольном порядке стоят шахматные фигуры.

Экспериментатор:— Скажи, пожалуйста, можно ли против каждой черной фигуры поставить белую?

Девочка подсчитывает число белых фигур, затем — число черных.

Ира:— Нельзя, белых нехватает.

Другие дети отвечали: «Черные фигуры остаются». По существу, они проводят мысленный эксперимент

по приведению 2-х множеств во взаимно-однозначное соответствие: первый против первого, второй—против второго и т. д. (Некоторые первоклассники «материа­ лизовали» счет: ставили против каждой черной фигуры белую). Средние и старшие школьники решали задачу аналогично. Логическая форма рассматриваемого пра­

привести во взаимно-однозначное соответствие, с разным

— нельзя. Поскольку сфера деятельности учащихся ог­ раничивалась конечными множествами, первая коорди­ ната постоянна. При многократном повторении ситуации оказывается, что ее сознавание не необходимо для пра­ вильного решения задачи. В этом случае, согласно закономерности, установленной П. А. Шеваревым, сте­ пень сознавания этой координаты должна уменьшаться, и она попадает в сферу свертывания (137 стр. 169]. В ито­ ге — более или менее отчетливо сознается только вторая логическая координата: между одинаковым числом эле»

ментов можно установить взаимно-однозначное соответ­ ствие, между разным числом — нельзя.

Важно следующее. Возникновение и состав опера­ торной формы; образование логической формы; вычле­ нение логических координат и особенно доминирование второй координаты — не сознаются учащимися как еди­ ный, взаимосвязанный процесс. Поэтому ведущая логи­ ческая координата воспринимается как существующая изначально и независимо. Но вот студенты столкнулись с необходимостью решения вопроса об эквивалентности

ограниченный характер самой координаты. Но в том-то и дело, что такой развертки не происходит, и учащиеся

отвечали: «Так всегда», «Как же иначе?» и т. д. В соот­ ветствии с неправильной оценкой ситуации (недостаточ­ ностью оператора Р) — ложное заключение (ложность оператора D).

Мы проследили, как, в соответствии с логикой про­ цесса, возникают ограниченные координаты, которые затем отделяются, становятся над процессом, вне его и принимают форму интуитивных представлений. Здесь логическое генетически предшествует интуитивному. Так в ряде случаев удается обнаружить «логическую пре­ дысторию» интуиции. Новая логика вызывает новую интуицию — интуицию бесконечного, и, таким образом, интуиция развивается под контролем логики. В модели это отражается совершенствованием механизма дейст­ вия оператора D. Однако ломка «конечных представле­ ний» этим не ограничивается. Дальше на студентов «обрушиваются» уже вовсе не очевидные вещи. Если сегмент [0, 1] разделить на 3 равные части и удалить средний интервал, затем повторить процесс для остав­ шихся сегментов и далее неограниченно его продол­ жить, то оставшееся от сегмента после всех удалений множество — канторово множество — имеет нулевую «длину» (меру): 1 — (1/3 + 2/9 + 4 /2 7 + ...) =0. Результат

интуитивно угадывается еще до подсчета. И хотя гео­