книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

сой, средней линией, медиатрисой или другой линией, не обладаю­ щей признаками перечисленных отрезков. Рассмотрим 2 стратегии, отличающиеся последовательностью проверки признаков, т. е. по­ следовательностью операторов.

1. а) Проверка перпендикулярности отрезка стороне треуголь­ ника.

б) Проверка совпадения конца отрезка с вершиной треуголь­ ника.

2. Обратный порядок «включения» операторов.

Первая стратегия. В двух случаях из 6 отрезок перпендикулярен стороне (высота, медиатриса). Вероятность перпендикулярности 1/3, неперпендикулярности 2/3. Решение вопроса (да, нет) связано с пе­ реработкой (в среднем) информации:

независимость признаков, констатируем, что в 3-х случаях из 6 он проходит через вершину (высота, медиана, биссектриса). Вероятность

высота, и дополнительной информации для решения задачи не тре­ буется. Вероятность первого случая 1/3, второго 2/3. Среднее коли­ чество информации:

1/3-1+2/3-0=1/3 (бит).

Общее количество информации, переработанной при первой стра­ тегии, # i = log23—2/3+ l/3= log2 3—1/3 (бит).

ходит через вершину, то при исследовании перпендикулярности имеем вероятности 1/3 и 2/3. Раскрытие ситуации, как мы уже знаем, связа­ но с log2 3—2/3 (бит). В противном случае отрезок не высота, и нет нужды в дальнейшем исследовании.

Но вероятность прохождения через вершину 1/2, тогда среднее количество информации для решения вопроса о перпендикулярности:

1/2(log2 3—2/3) +1/2 • 0= 1/2 logs 3—1/3.

Суммарное количество переработанной информации при второй

количества информации. «Выигрыш» составляет примерно 13%. Та­ кова специфика обобщенного мышления на уровне развитой логи­ ческой формы. Пользуясь терминологией Н. А. Менчинской [71], мож­ но сказать, что на уровне метрики р мы фактически имели дело с доаналистическим обобщением, или генерализацией. И лишь логи­ ческая форма, в которой алгоритм, по существу, приходит к своему отрицанию, отражает в модели переход к подлинному обобщенному мышлению.

6. Об одном инварианте преобразования операторно-логических структур

Свернутая и развернутая формы алгоритма как бы отражают 2 алфавита: внутренний — алфавит психологи­ ческой модели мышления, в нем задача решается чело­ веком; внешний — служит для отчуждения решения, вы­ вода его вовне и составляет, по-видимому, основу ло­ гической модели знания.

До сих пор мы описывали мышление фактически в за­ висимости от уровня свернутости его представления в ма­ тематической модели. Связь между мышлением и знани­ ем формализовалась как перевод с одного «языка» на

ний; в модели — синтезироваться операторными цепочка­ ми разной длины (разумеется, для учащихся данного уровня знания и развития). Совокупность всех решений задачи образует направленный граф. Пример графа трех решений приведен на рис. 5: ААіАф\ ЛЛіЛ2Л35; ЛЛ1Л2Л3Л4Л5Д Будем, для простоты, считать все опера­ торы одинаково трудными.

Определение. Расстояние оператора Ah от В— р(Лтг)—равно наименьшему числу операторов, связываю­ щих Аи с В (включая В).

Например, р(Л і)=2 (связующие операторы Л5 и В) ; р(Л2) = 2(Л3, В ); р(Л3) = 1 (В) ; р(Л4)= 2; р(Л )= 3(Л ь

Шенйи математических задач он помогает Мысленно за­ глянуть вперед, предсказать вероятный результат и, та­ ким образом, связан с ориентировочными обобщениями. Если заключение В получено из условия А как актуали­ зация ассоциативной цепочки А->-Аі-^~Аг-у . •. -+Ап-*~В, то промежуточные звенья не только связывают А с В, но и разделяют их. Обнаружение в некоторой задаче осо­ бенностей А связывается не с В, а с А і, А2 и т. д. «В» является частью данного решения и актуализируется только в связи с этим решением (или выпадает вместе с ним). В итоге учащиеся владеют умозаключениями в цепи логико-математических закономерностей, ведущих от условия к ответу. Но они не в состоянии свернуть, вы­ кинуть хотя бы на время из процесса рассуждения про­ межуточную (связующую) систему обоснований и соеди­ нить непосредственно первое звено с последним. Из-за «слабости на стыках» они не видят связи между не сле­ дующими друг за другом звеньями, теряют курс на цель. А без «прямого видения» невозможно самостоятельно оценить полезность тех или иных известных умозаключе­ ний и их место в структуре решения задачи. Известные методы решения задач могут оказаться недейственными.

Чтобы результат «В» приобрел самостоятельность и выделился из решения данной задачи, он должен быть по возможности «ближе» к А. Поэтому необходимо образо­ вание сокращенной связи А-^В, при которой восприятие условия А непосредственно вызывает результат В-

Если так, то «свертывание» — важное условие пере­ носа метода при решении конкретных задач. Это своеоб­ разное растворение общего в частном, с удержанием главных логических условий, т. е., в первую очередь, каж­ дый раз именно тех элементов общего метода, которые обеспечивают решение данной задачи. Эту психологиче­ скую особенность можно назвать направленностью мыш­ ления, и она, на наш взгляд, обеспечивает учащимся воз­ можность видеть разное в общем.

Нам кажется, что постановка вопроса здесь несколько шире, чем у П. А. Шеварева. П. А. Шеварев, в основном, рассматривает правила как данные уже сформированные и исследует особенности процесса их применения учащимися. На этой основе он приходит к так называемым правилосообразным связям, которыми школьники ориентируются в учебной деятельности :[137]. На языке нашей гипоте­ зы это означает, что автор исходит из завершенной логической фор­ мы и изучает -процесс вычленения из нее главных логических усло­ вий. Однако вовсе не безразлично, как учащийся пришел к логиче­

ской форме. Одно дело, если она возникла как сокращение оператор­ но-действенной алгоритмической структуры и другое дело, — если учащийся запомнил ее из учебника или со слов учителя в готовом виде. Процесс формирования главных логических условий в этих случаях происходит по-разному. В первом случае действительно об­ разуются такие сокращенные «правилосообразные» связи, которые при необходимости развертываются в соответствующую систему дей­ ствий и этим обеспечивают решение математических задач. Во вто­ ром случае может возникнуть кзазилогическая «правилосообразная» структура, основанная на отмеченных П. А. Шеваревым ошибочных (и ограниченных) ассоциациях. Например, усвоенное учащимся сразу в логической форме определение высоты треугольника («Перпенди­ куляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону или ее продолжение») часто завершается «правилом»: «Сверху вниз, внизу — прямой угол».

При пооперационном формировании понятия оно, обычно, приво­ дится к другому правилу: «От вершины к направлению противо­ положной стороны, и при ней — прямой угол». Эта сокращенная «правилосообразная» связь актуализируется и тогда, когда речь идет о так называемых боковых высотах, О высотах в тупоугольном и прямоугольном треугольниках, т. е. именно в тех случаях, когда ква­ зилогическое «правило» не срабатывает. Теперь становится более ясной природа ошибочных правилосообразных связей, связанных,

вбольшой степени, с недостатками операторной структуры. Таким образом, схему «свертывания» П. А. Шеварева в терминах развива­ емой модели можно назвать: от логической формы к ее сокращению

впроцессе решения задач. У нас она дополняется важным исходным звеном: от операторной формы к логической.

Мы представляем себе процесс свертывания следую­ щим образом. Операторно-действенные элементы алго­ ритма, являясь средоточием его постоянных особенностей, во всех сходных случаях актуализируются в психологиче­ ской модели по образцу. Результаты же актуализации, в зависимости от условия задания, — различны. Так, квадратное уравнение решается всегда одинаково, тогда как найденные корни в разных случаях — разные. Алго­ ритмы можно рассматривать с точки зрения результатов действий и с точки зрения самих действий. В первом слу­ чае мы получаем логическую форму. Например, дискри­ минант (больше, меньше, равен нулю). Корни (такие-то)- Ответ (такой-то). Во втором случае речь идет об опера­ торно-логической форме: вычисляем дискриминант. Он (больше, меньше или равен 0.) ... Решаем квадратное уравнение и т. д. В логической форме действия из пси­ хологической модели растворяются, аккумулируются в ло­ гических условиях, сообщив им особое свойство — готов­ ность к развертыванию, восстановлению операторной структуры. Это, по-видимому, истоки той «мобилизован­ ности>-, о которой писрл Б. М. Теплов {109]. Однако логи-

ческие условия привязаны к конкретному заданию, как бы «материализуются» в нем, часто не сознаются как независимые от задания. И только наиболее важные из них — «выталкиваются» над заданием, сознаются как са­ мостоятельные. Отсюда иллюзия, что алгоритм в боль­ шой степени исчезает и задача решается без опоры на правило.

В действительности алгоритм не исчезает. Объектив­ ное субъективизировано, приспособлено к особенностям человеческого мышления. Во всех случаях «свертывания» происходит преломление законов формальной логики ре­ шения задач через призму психологических особенностей их отражения человеком.

Простейший акт переработки математической инфор­

рая повторяется и при п>ІѴ начинает восприниматься данным человеком как постоянная; Мп — мыслительная операция, являющаяся ответом на восприятие А„ и В. Например, А п — восприятие совокупности конкретных буквенных выражений и коэффициентов; В — восприятие разности квадратов; Мп — соответствующее разложение по формуле разности квадратов.

Для исследования сделаем равносильное преобразова­

Покажем, что психологический эффект действия фор­ мул (7.1) и (7.2) в интересующем нас вопросе одинаков.

Ап истинно*). Пусть n>N. Тогда В воспринимается как тождественно истинное; Ап ■В равносильно А п (тож­ дественно истинный множитель в конъюнкции опускает­ ся), формула (7.1) вырождается в формулу ЛП-^М„ (7.3). Теперь реакция Мп зависит только от А„; «В» не воспринимается, и создаются условия для его выпадения из процесса осознавания. К такому же результату приво­ дит логический анализ формулы (7.2): если В тождест­ венно истинно, то В тождественно ложно, и формула при-

*> Т. е. особенность Ап имеет место; сознается — см. соответ­ ствие между математической и психологической моделями, (гл. I,

§ 2).

зан с переработкой log22 = l (бит) информации [144]. Воспринимая В как постоянную особенность, он при ре­

постоянно только с некоторой вероятностью р (р<1), воз­ растающей при увеличении количества решенных приме­ ров, в которых В постоянно. Создается переменная веро­ ятностная ситуация, в которой р с возрастанием прибли­ жается к 1. При таких условиях с некоторого момента

формации Т линейно зависит от Н (Т = аН-\-в [61]), то происходит ускоренный процесс решения примеров.

Существен вопрос: сопровождается ли выпадение осо­ бенности В из процесса осознавания также выпадением ее из-под контроля психики? Педагогическая практика позволяет дать на вопрос отрицательный ответ. Извест­ но, например, что после решения подряд большого числа примеров на использование формулы разности квадратов учащиеся «с места» применяют эту формулу и к квадра­ ту разности.

Мы предлагали учащимся примеры на куб разности сразу после решения значительного количества примеров на разность квадратов, и ошибки переноса почти исчезли.

Если бы особенность была бесконтрольна, то этого не произошло бы, т. е. результат не зависел бы от того, за­ менено В на Ві = В или на В2 = В. Но В действительно не осознается, и мы вынуждены признать существование не управляемого сознанием контролирующего механизма (КМ), «подстораживающего» случаи появления В. Его функции — учет вероятностей ситуации, позволяющий обеспечить экономию_информации. Чем сходнее по внеш­ ним признакам В и В и требуется более тонкая диффе­ ренцировка, тем менее совершенно действие КМ. Извест­ ный в информационной психологии эффект Хаймена «подстораживания» человеком редких сигналов [61]. отме­ ченный для 1-й сигнальной системы, по-видимому, имеет более широкое значение. Фактор выпадения из процесса

осознавания повторяющихся особенностей позволяет эко­ номить психику учащихся для переработки творческой информации. И хотя он иногда ведет к ошибкам, вслед­ ствие бесконтрольного переноса, его положительная роль неоспоримаСистемы специальных упражнений, о кото­ рых пишут многие авторы, должны быть направлены не на борьбу против самого фактора неосознавания, а на активизацию действия контрольного механизма.

Факт неосознавания человеком постоянных сигналов в некотором пучке сигналов имеет широкий характер. Это справедливо для всех управляющих систем.

Один из результатов теории информации заключается в том, что для передачи постоянных сигналов нет нужды непрерывно загру­ жать канал связи потоками одинаковых символов. Экономнее один раз передать совокупность наиболее часто встречающихся символов, а затем с помощью специальных сигналов сообщать об изменениях данных сигналов. Эти особенности переработки информации имеют место не только в технических системах. Они также составляют осно­ ву информационного обмена в кибернетических системах биологиче­

сти овсе точки видимого предмета, то информационный поток быстро захлестнул бы ячейки мозга. Эволюция сенсибилизировала зритель­ ный анализатор так, что он воспринимает только специфичное. Остальное, известное по другим предметам, добавляется автоматиче­ ски [35]. Новейшие исследования мозга с помощью микроэлектродной техники привели к открытию так называемой группы нейронов вни­ мания. Это клетки, отвечающие только на раздражители, содержащие новизну [76]. Можно пока в весьма общих чертах сделать предполо­ жение, что клетки мозга, реагирующие только на появление, ис­ чезновение, изменение сигналов и не участвующие непосредственно в передаче самих сигналов, играют определенную роль в свертыва­ нии и развертывании информации. Этим, в частности, можно бы объ­ яснить тот факт, что «свертки» не сознаются во всех случаях, когда они проявляются одинаково, и развертываются, когда в этом воз­ никает необходимость в связи с исчезновением постоянства свернутой особенности. В науках, основанных на алгоритмах, где применение правил во всех случаях протекает одинаково, имеются объективные условия к свертыванию информация. Речь идет о математических

мыканием», при котором некоторые ассоциации переходят в кате­ горию неосознаваемых. Он же отмечает, что на первых этапах обу­ чения процесс решения учащимися задач развернут, на высших — сокращен [137].

На существование неосознаваемых процессов в психической деятельности указывал И. П. Павлов, утверждавший, что объектив-