книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

деятельности, т. е. деятельности, которую определяет ал­ горитм— «точное предписание, определяющее вычисли­ тельный процесс, ведущий от варьируемых исходных

о д н и м из н е о б х о д и м ы х п р и з н а к о в н а у ч н о й и д е л о в о й к у л ь т у р ы , и возникает задача развития этой способности уже на первых этапах развития лично­ сти **).

Формальность мышления, однако, вовсе не альтерна­ тивна творчеству: «формальное» и «творческое» как про­ явления интеллекта хороши, каждое, на своем месте. Более того, бесспорно, что научно-техническая револю­ ция повышает «спрос» на людей, готовых к «производ­ ству» оригинальных мыслей, новых идей. Человеческая мысль, призвавшая к жизни ЭЦВМ, все более оказы­ вается под их воздействием. Отсюда многочисленные со­ временные искания в психолого-педагогической области, искания, суть которых можно выразить в девизе: кибер­ нетика и творчество!**Ч

Ссамого начала применения идей кибернетики

впсихологии и педагогике было ясно, что сложившееся

вматематике понятие алгоритма и его многочисленные

сания процессов мышления и обучения. Представление об алгоритме как о четком предписании, однозначно определяющем поведение, оказалось не совсем созвуч­ ным задачам использования логической формализации и

решения задача к простым, максимально элементарным операциям. Количество операций и актов их применения

*) А. А. Марков. Теория алгорифмов. «Труды математического института им. В. А. Стеклова», т. 42, М. — Л, Изд-во Академии наук

ле», 1967, № 1).

***> Ср. с М. Г. Ярошевский. Психология в XX столетии. Теоре­ тические проблемы развития психологической науки, М., Политиз­ дат, 1971, гл. 12.

при этом принципиальной роли не играет. Оно может, например, оказаться столь большим, что соответствую­ щий алгоритмический процесс окажется не выполнимым даже на самых мощных ЭЦВМ, не говоря уже о «не­ вооруженном» современной техникой человеке. Более того, ни описание мыслительных процессов в терминах «абсолютно элементарных операций» (подобных тем, ка­ кие, скажем, используются в ЭЦВМ), ни — тем более — их вызывание с помощью точных «сверхдетализованных» предписаний не является психологически и педагогически целесообразным (даже если бы оно было практически осуществимо). Дело в том, что человек мыслит «связно», «умственными блоками», и излишнее дробление мате­ риала психологически противоестественно. К тому же действие, элементарное для одного учащегося или на одном уровне знания и развития обучаемого, может ока­

дневно-практическом и научном, особенно нематемати­ ческом— мышлении распространены объемно четко не фиксированные понятия, нечеткие термины, высказыва­ ния с многозначной и гибкой «шкалой правдоподобия», расплывчатые вопросы и предписания, неполно опреде­ ляющие поведение. Мышление далеко не исчерпывается алгоритмическими формами, и даже в процессах, кото­ рые удается так или иначе описать алгоритмами, имеют­ ся неформализуемые эвристические вкрапления, «недо­ пустимые» для математического понятия алгоритма.

В отечественной литературе на эти обстоятельства одним из первых обратил внимание Л. Н. Ланда*). Рас­ сматривая обучение как процесс управления, он ввел ослабление понятия алгоритма, названное им предписа­ нием алгоритмического типа, или алгоритмическим пред­ писанием. Предписания алгоритмического типа, однако, представляют собой только одну из возможных форм (или направлений) «ослабления» математического поня­ тия алгоритма, обусловленного спецификой психолого­ педагогической сферы. Более широко картину этого ослабления можно описать следующим образом **>.

*> Л. Н. Ланда. Алгоритмизация в обучении. М., «Просвеще­ ние», 1966.

**> Б. В. Бирюков. Формы ослабления понятия алгоритма, свя­

Рассмотрение различных форм поведения и мышле­ ния приводит к заключению, что имеется некоторая до­ статочно «непрерывная» их градация, определяемая раз­ личной степенью «жесткости» поведенческих и интеллек­ туальных процедур. Эта градация простирается от пове­ дения «абсолютно алгоритмического» через поведение, «алгоритмическое в той или иной мере», до поведения, совсем уже яе алгоритмического; ступени градации можно моделировать набором следующих понятий: «абсолютный алгоритм», «алгоритм сводимости», «алго­ ритм с выбором шагов», «расплывчатый алгоритм»; по­ нятия эти отображают языково-мыслительные формы,

Наиболее жестким является поведение (и мышление), определяемое «классическим» алгоритмом — алгоритмом в обычном математическом смысле. Однако уже в мате­

выми являются задачи «Осуществить такую-то операцию, с ч и т а ю щ у ю с я элементарной для данного алгорит­ ма». Частным случаем алгоритмов сводимости являются упомянутые выше предписания алгоритмического типа; последние представляют собой такие алгоритмы своди­ мости, исполнительным устройством для которых явля­ ется ч е л о в е к . В отличие от абсолютных алгоритмов, правила (операции) которых формальны (т. е. определя­ ют действия с наглядно усматриваемой или конструк­

существенно зависящие от человеческого п о н и м а н и я ; в силу этого операции, из которых складываются такие предписания, могут быть, по сути дела, достаточно слож­ ными «блоками» умственных действий, — лишь бы испол­

О С. А. Я н о в с к а я . Из истории аксиоматики. «Историко-ма­ тематические исследования», вып. 11. М., Физматгиз, 1958; е е ж е. О некоторых чертах развития математической логики и отношении

еек техническим приложениям. В кн.: «Применение логики в науке

итехнике». Изд-во АН СССР, М., 1960.

нитель-человек мог без труда оперировать такими «бло ками» *).

Другим ослаблением математического понятия алго­ ритма можно считать так называемый алгоритм с выбо­

шагу); это запрещено требованием точности предписа­ ния, не оставляющей места произволу. С и т у а ц и и в ы ­ б о р а , однако, типичны для поведения, — во всяком слу­ чае, поведения (и мышления) человека; практически такого рода ситуации могут не противоречить «алгоритмичности» поведения: вполне возможно их наличие в по­ ведении, в о б щ е м алгоритмическом.

В случае исполнительных устройств — машин трудно понять, как они могли бы осуществлять алгоритмический процесс, задаваемый алгоритмом с выбором шагов, не используя каких-либо вероятностных механизмов типа датчика случайных чисел. Иное дело человек. Для него можно допустить в алгоритмах акты выборов, — выборов из фиксированного (тем или иным способом, не обяза­ тельно конечного) множества альтернатив; алгоритмы с такого рода выборами можно назвать н е д е т е р м и ­ н и с т с к и м и **\ Очевидно, что человек может применять недетерминистские алгоритмы потому, что обладая пс и ­ х и к о й (ив частности, волей), он может совершать акты «свободного» (т. е. не определяемого «извне») выбора.

Наиболее слабой формой тех градаций алгоритмичности, на противоположном полюсе которой находятся классические алгоритмы математики, являются так на­ зываемые р а с п л ы в ч а т ы е ( н е ч е т к и е ) а л г о р и т ­ мы. Понятие о них было введено Л. Заде***5, который

Анализу предписаний алгоритмического типа как алгоритмов сводимости, а также значению этих предписаний в психолого-педаго­

хологии и педагогике в связи с задачами обучения. Сб. «Вопросы алгоритмизации и программирования обучения», вып. 1. М., «Про­

торых введено в статье: В. Б. Борщев, Ю. А. Шрейдер. Алгоритмы, языки программирования и диспозиции, «Кибернетика», № 4, 1965.

исходил при этом из развитой им ранее теории расплыв­ чатых (нечетких) множеств — коррелята логики объем­ но-неопределенных понятий. Концепция расплывчатых алгоритмов позволяет надеяться на расширение рамок алгоритмического подхода в психологии и педагогике, так как открывает путь к определению условий, при кото­ рых в (нематематическом) мышлении оправдано пользо­ вание расплывчатыми предписаниями. Именно — н е м а ­ т е м а т и ч е с к о м , так как в математическом мышле­ нии используются почти исключительно «четкие» множе­ ства, объемно-определенные понятия.

Методологический интерес к расплывчатым алгорит­ мам определяется тем, что их применение предполагает, что «исполнительное устройство» обладает определенным механизмом принятия решения (касающегося характера «расплывания» того или иного нечеткого понятия, входя­ щего в рассматриваемый расплывчатый алгоритм). «Рас­ плывчатый алгоритм», следовательно, это один из тех «мостиков», которые в мышлении перекинуты от детер­ министских, «формальных» процедур к процедурам эври­

книги надо было прежде всего решить проблему, на ка­ ком пути — в рамках поставленной им задачи — возмож­ но раскрытие связи между «формально-детерминистской» и «неформально-эвристической» сторонами интеллекту­ альной деятельности и поведения. «Расплывчатые алго­ ритмы» здесь явно не подходили в силу отмеченной выше особенности математического мышления—использования в нем (почти исключительно) объемно-определенных по­

Целесообразность привлечения средств логики при алгоритмическом описании (и задании) интеллектуаль­ ной деятельности и поведения была осознана с пер­

*> Мы отвлекаемся здесь от тонких вопросов, связанных с эффек­ тивной определимостью математических понятий. Вопросы этого рода,

математических исследований и особенно на математическом мыш­ лении в области п р и л о ж е н и й математики.

Л. Н. Ланды ряд глав посвящен логическим структурам признаков объектов в алгоритмах (алгоритмических предписаниях), которым обучают учащихся. Однако это использование логики при алгоритмическом подходе к мышлению и обучению в ней отчасти оставалось, так сказать, недостаточно органическим. С. И. Шапиро по­ ставил своей целью с общей точки зрения взглянуть на алгоритмические и формально-логические процессы ма­ тематического мышления, пролить свет на психологиче­ ские аспекты перехода от алгоритмических структур (предписаний алгоритмического типа в смысле Л. Н. Лан­ ды) к логическим и наоборот.

Ф* *

Ввводной статье к книге нет необходимости подробно описывать ее содержание. Отметим лишь некоторые ха­ рактерные черты подхода автора.

Исходной идеей монографии является тезис о том, что «генеральным направлением» мыслительной деятельно­ сти человека в процессе переработки «математической информации» является все большее укрупнение умствен­ ных действий и связующих их «логических элементов», своего рода «иерархическое перекодирование», в ходе которого формируются символы большой информацион­ ной плотности, выражающие целые системы операций и свойств отображаемых объектов. Эти процессы описыва­ ются в книге с помощью операторных схем алгоритмов, теоретико-множественных понятий и средств логики вы­

сказываний.

На большом экспериментальном материале обучения математике в средней школе и вузе С. И. Шапиро по­ строено теоретическое описание (автор называет его «опе­ раторно-логической моделью») механизма «свертывания» исходных алгоритмически заданных форм математических понятий— форм, п р е д с т а в и м ы х некоторыми опера­ торно-логическими схемами алгоритмов (по А. А. Ляпу­ нову) *), — в «логическую форму» понятия. Это «сверты­

вопросах кибернетики. «Проблемы кибернетики», вып. 1. М., Физ­ матгиз, 1958.

вание» происходит путем опускания некоторых операто­ ров, их «склеивания» и, затем, «погружения» операторов в «логические элементы» (которыми являются логические условия первоначальной развернутой операторной алго­

ния, можно рассматривать как процесс овладения поня­ тием, когда соответствующие умственные действия при­ обретают известный автоматизм, степень их осознавания обучаемым уменьшается. Овладевая алгоритмом распо­ знавания, соответствующим данному математическому понятию, решая связанные с ним задачи, учащиеся пере­

их проверке по сокращенной схеме. Логические элементы как бы развертываются в аккумулированные в них дей­ ствия; очередность исходных операторов сменяется их единовременным «вызовом»; «броуновские движения мысли» *), характерные для «неотработанной» «умствен­ ной методики» решения задач, прекращаются.

Здесь интересно отметить аналогию, которую автор проводит между отношением исходных алгоритмических операторных форм понятий к соответствующим логиче­ ским формам, из них возникшим, и отношением порож­ дающей грамматики (некоторого языка) к грамматике распознающей (того же языка) рассматриваемом в ма­ тематической лингвистике и теории автоматов. В сход­ стве этих отношений, надо думать, действительно отра­ жается единство мышления и языка. Во всяком случае, тезис автора: от алгоритмов к суждениям, ог управле­ ния «логикой» (т. е. мышлением) с помощью операторов к логике управления операторами,—-тезис, выражающий путь развития мышления и обучения в терминах «опера­ торно-логической модели», — проливает свет не только на механизмы мысли, но и на формы ихвыражения в языке.

Но на «логической форме понятия» процесс сверты­ вания мысли не заканчивается. Дальнейшее овладение понятием — умением его применять при решении задач —

менеіши соответствующего алгоритмического предписа­ ния. Представления о функциях логических координат в процессах решения задач человеком, развитые в «опе­ раторно-логической модели мышления и обучения» С. И. Шапиро, являются, возможно, одним из подходов к данной проблеме.

** *

Книга С. И. Шапиро принадлежит не только кибер­ нетической педагогике и психологии мышления, — это также труд по педагогике математики.

Педагогика (дидактика) математики — новая, зарож­ дающаяся научная область. Первый Международный конгресс по преподаванию математики (Лион, Франция, 1969) в одном из своих решений отметил, что педагогика математики все более становится самостоятельной нау­ кой со своими собственными проблемами, методами и экспериментами. Существует даже взгляд, что педагоги­ ка математики так относится к традиционной методике преподавания математики, как, например, научная тео­ рия питания к кулинарным рецептам *>.

Разумеется, возможны различные научные системы педагогики математики, отражающие те или иные кон­ цепции обучения математике**). Особо перспективным при этом представляется подход, в соответствии с кото­ рым обучение математике рассматривается как обучение

классика современной педагогико-математической мыс­ ли — Д. Пойа, главная задача обучения математике — учить молодых людей м ыс л и т ь . Если эту задачу рас­ сматривать в качестве одной из целей обучения матема­ тике— что вполне естественно, — то возникает вопрос, как достичь этой цели, как научить мыслить, рассуждать.

Система педагогики математики, развивающая эту концепцию, должна дать ответ на этот вопрос. Для этого, очевидно, она должна исходить из определенного пони­ мания (определенной «модели») математического мыш­ ления (ведь прежде всего надо знать то, что подлежит

*) I. Gucewicz, М. Sawicki, Dydaktyka matematyki jako powstaj'3- ca dyscyplina badawcza. «Matematyka», Roc. XXIV, № 3(114), War­ szawa, 1971.

**> Одна из них изложена в книге: А. А. Столяр. Педагогика математики. Минск. «Вышэйшая школа», 1969.

формированию и развитию). В этом отношении важную роль призваны сыграть психология и логика, составляю­ щие, наряду с общей дидактикой и математикой, основы педагогики математики.

Совершенно очевидно, что подходя к обучению мате­ матике как к обучению математической деятельности (представляющей собой определенный род деятельности м ы с л и т е л ь н о й ) , педагогика математики не может опираться на одну логику, исследующую в основном ре­

все-таки «черным ящиком», функционирование которого определяется лишь по «входу» и «выходу». Однако, чтобы добиться определенного состояния «выхода», весьма же­ лательно знать, какой должна быть мыслительная дея­ тельность по переработке соответствующей «входной» информации, т. е. уметь устанавливать, какие психиче­ ские (в частности, логические) процессы подлежат фор­ мированию и развитию в процессе обучения.

Разумеется, и одна психология без логики недоста­ точна в качестве основы для педагогики математики. Не учитывая логическую структуру знаний, которые должны приобретать учащиеся в процессе обучения, не анализи­ руя логическую форму рассуждений, с помощью которых они приобретаются, невозможно рассчитывать на успех в приобретении вида соответствующей математической (и иной мыслительной) деятельности. Именно отрывом психологии от логики объясняется недостаточность неко­ торых психологических теорий в качестве основы для по­ строения теории обучения математике.

Педагогика математики нуждается в разработке вза­ имосвязанных психолого-логических основ. Подходы к этой важнейшей и сложной проблеме и исследуются в предлагаемой книге.

Было бы ошибочно считать, что в предлагаемой чита­ телю книге (и вообще в одной книге такого объема) мо­ жет быть дано исчерпывающее решение проблемы. По словам автора, речь идет лишь о попытке подойти к ней. Для этой цели используется метод математико-логиче­ ского моделирования. В книге описана в общих чертах и иллюстрирована конкретными примерами и эксперимен­ тами «алгоритмическая операторная модель» обучения элементам математического мышления. Автор, как мы уже говорили, исходит из следующей основной гипотезы: