книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления
.pdfпри формировании знаний мышление идет от разверну тых алгоритмических операторно-логических структур к сокращенным, свернутым логическим формам. Из этой гипотезы следует, что процесс обучения должен быть организован преимущественно в направлении от алго ритмического к логическому, от выполнения развернутой и вполне детерминированной системы действий к обоб щенному знанию, в котором эти действия «запечатлены»
в форме логических связей.
Построенная автором алгоритмическая «модель» ма тематического мышления, как и любое другое «модель ное» описание мышления, разумеется, неполна. Она основана на ряде существенных упрощающих предполо жений. Основное допущение автора — о плодотворности такого исследования математического мышления, в кото ром отправным пунктом является алгоритмическая часть последнего, — в значительной мере оставляет вне рас смотрения эвристический аспект мыслительной деятель ности. Хотя автор, развивая свою модель, и приходит в конце концов к проблемам эвристического поиска, но не они, конечно, лежат в фокусе его исследования.
Автор и не претендует на полное описание математи ческого мышления. Он понимает, что алгоритмизация не охватывает всего многообразия форм математического мышления, что его «модель» недостаточна для характе ристики соотношения между алгоритмической и эвристи ческой сторонами математического мышления. Это отра жено и в названии книги, где речь идет об обучении лишь э л е м е н т а м математического мышления. Однако эта неполнота описания математического мышления не обесценивает проведенного исследования. Осуществлен ные автором интересные эксперименты подтверждают возможность использования его «модели» в качестве одной из основ при построении эффективного обучения, при разработке научной системы педагогики математики.
В предлагаемой книге «модель мышления» развита, разумеется, не во всех деталях. По словам автора, в его исследовании намечены лишь основы, главные конструк тивные элементы такой «модели». Однако эти элементы достаточно раскрывают логико-алгоритмический подход
к |
проблеме обучения |
математическому |
мышлению. |
В |
книге показана также |
роль «алгоритмов |
обучения» |
в качестве подготовительного этапа при построении обу чающих программ.
Хотя исследование автора проведено на математиче ском материале и касается прежде всего математиче ского мышления, ряд его результатов, очевидно, пред
ставляет более широкий интерес |
для м о д е л и р о в а |
ния м ы ш л е н и я в о о б щ е . |
Поэтому книга будет |
полезной не только для педагогов-математиков, но и для психологов, специалистов в области дидактики. Опреде ленный интерес она представляет и для тех, кто занима ется автоматизацией научно-исследовательских работ.
Можно надеяться, что интересная книга С. И. Шапи ро внесет определенный вклад в разработку проблем «кибернетической педагогики», в исследование психоло гических основ современной педагогики математики, что она явится стимулом новых исследований в области ма тематического моделирования мышления и обучения.
Академик А. И. Берг Доктор философских наук Б. В. Бирюков Доктор педагогических наук А. А. Столяр
Светлой памяти брата Соломона — тан киста, погибшего в Отечественную войну. Ему было 20 лет.
Введение
1. Приступая к изучению мышления в конкретной области умственной деятельности, мы застаем готовые, сложившиеся логические формы. Процесс формирования остался позади, ушел вглубь, и мысленному взору, вос принимающему «отраженные» сигналы, предстает ре зультат, совершенство которого часто поражает.
В данной книге предпринята попытка подойти к важ нейшей проблеме психологии математического мышле ния — соотношению между процессами мышления и их продуктами, т. е. между психологическим и логическим. Книга адресуется психологам. Она будет полезна мате матику, интересующемуся вопросами психологии мышле ния, методисту-математику, педагогу, а также специали стам, занятым моделированием разумной деятельности и совершенствованием человеко-машинных комплексов.
Монография состоит из 4-х глав и 3-х приложений. Главы делятся на параграфы. I глава. Параграфы 1, 2, в основном, посвящены обзору и анализу психологиче ской литературы по вопросу мышления в плане постав ленной проблемы, а также первому подходу к задаче исследования. Рассматриваются различные варианты, в том числе — попытки решения задачи моделированием. Указывается на ограниченность применявшихся описа тельных методов и на перспективность математических моделей. Обосновывается возможность приблизиться к механизму мышления с помощью алгоритмических мо делей процесса обучения.
В §§ 3—7 этой главы разработана гипотетическая мо
дель обучения математике |
с |
помощью алгоритмов — |
в основном, теоретически. |
Это |
позволило дедуктивно |
получить некоторые выводы о механизме обучения. Гла вы II и III посвящены проверке правильности выдвину^ тых гипотез путем сопоставления выводов с процессами реального обучения — в констатирующем эксперименте,
22
а также путем «запуска» модели, т. е. построения па основе гипотезы экспериментального обучения.
Деление глав на «теоретическую» и «эксперименталь ные» в известном смысле условно. Во всех главах при водятся и анализируются результаты многочисленных экспериментов и наблюдений, а также теоретических ис следований, накопленных автором на протяжении 30летней работы преподавателем математики в школе и вузе. В гл. IV мы, используя полученные результаты, пытаемся осмыслить механизм математического мыш ления.
Основной метод исследования — обучающий экспери мент. Обучение в нормальных школьных (вузовских) условиях являлось экспериментальным, преподаватель выступал в роли экспериментатора, и, главное, учащие ся не чувствовали себя испытуемыми.
Мы изучали психологические показатели усвоения ма тематики при сопоставлении результатов двух методик: традиционной и с применением алгоритмов в обучении. Так нам удавалось «присутствовать» при возникновении тех психических особенностей, которые стимулировались с помощью алгоритмов. Для работы характерно тесное переплетение психологии и педагогики (методики) мате матики. Обучение математическим алгоритмам и тем бо лее алгоритмы обучения математике являются предме том педагогики математики. И оба вопроса, а особенно второй, принадлежат психологии обучения. Психологи ческие данные об усвоении в каждом конкретном случае определяли выбор той или иной методики. Пользуясь соответствующей методикой, нам в ряде случаев удава лось «заказывать» результат с заранее данными свой ствами.
Мы исходим из указания С. Л. Рубинштейна о том, что психика, сознание формируются в деятельности (99, стр. 14]. Единственной формой усвоения математики является математическая деятельность — решение задач. Формализованным элементом деятельности в нашей мо дели обучения служит оператор. Деятельность характе ризуется системностью, направленностью. Операторы упорядочиваются с помощью логических условий. В ито ге возникает операторная структура, или форма (гл. I,
§3 ) .
Вработе исследуются возрастающие уровни абстра
гирования и обобщения при овладении учащимися алго-
ритмами и те формы анализа и синтеза, которые их определяют (гл. I, § 5). Мы рассматриваем операторную форму как математический аналог некоторой начальной ассоциативной структуры. Процессу усвоения знаний со ответствует объединение, сращивание операторов, воз никновение «уплотненных» логических связей. Моделью высшей формы синтеза является «погружение» операто ров в логические условия, их кажущееся выпадение из мыслительного процесса, соответствующие свернутому, сокращенному характеру конкретной деятельности. На этой основе образуется логическая форма алгоритма. Процесс возникновения и развития логического продук та обсуждается в § 2, гл. III. В § 1, а также в других параграфах этой главы специально рассматривается связь между логикой решения задач и математической памятью; исследуются формы и роль памяти в обобщен ном математическом мышлении. Наряду и параллельно с синтезом идет процесс анализа, который отражается кашей моделью вычленением ведущих логических усло вий— образованием логических координат.
Важной задачей теоретического и экспериментального исследования является выяснение, каким образом гро моздкие алгоритмические структуры деформируются мы шлением в подвижные образования, которые находят себя каждый раз именно и только в тех задачах, реше нию которых они служат. Этот вопрос, в связи с логиче скими координатами, обсуждается, в основном, в §§ 3— 5 гл. III. Проблемы связи логических координат с интуи тивными представлениями рассмотрены в § 3, гл. III и § 4, гл. IV.
Две идеи лежат в основе исследования. Идея сверты вания, перекодирования структур, образования символов большой информационной плотности и идея декодирова ния возникших форм, развертывания их в соответствую щую систему действий при решении задач. Вопрос рас сматривается в §§ 3, 5 гл. I и §§ 1—3 гл. II, а также в приложении 3. Для теоретического описания применя ются матричные, логические, теоретико-множественные
иинформационные модели.
Вмонографии обсуждаются некоторые условия опти мального (наилучшего в определенном смысле) усвоения изучаемого материала. Экспериментальное подтвержде ние теоретических выкладок читатель найдет в приложе нии 1; в §§ 2, 3 гл. II и особенно в § 4 этой главы, где
описано обучение определенному интегралу на базе алго ритмизации этого понятия. Наряду с общим направле нием развития аналитико-синтетической деятельности при усвоении алгоритмов (например, развитием обобщенного мышления — гл. I, § 5), указываются особенности усвое ния алгоритмов, в которых проявляются основные инди видуально-психологические различия. Таким образом, лейтмотивом проблемы алгоритмов в обучении звучит вопрос о математических способностях школьников.
Вэтом плане, на наш взгляд, представляет интерес трактовка процессов «перекодирования» умозаключений, отражающих синтетическую и аналитическую деятель ность, как парциальное проявление силы нервной систе мы (§ 3, гл. IV).
Вработе анализируются трудности, возникающие на пути «свертывания» и «развертывания» математических понятий, и способы их устранения, а также отдельные дефекты математического мышления учащихся, находя щие объяснение в рамках алгоритмической модели обу чения: «разрывность» мышления, раздвоенность понятий
идр. Отмечаются некоторые методические особенности построения существующих учебников и учебных пособий по математике, способствующие усугублению этих дефек тов. Указываются возможные пути устранения недостат ков (§ 5 гл. II, § 5 гл. 3, § 3 гл. IV).
Обосновывая полезность примёнения алгоритмов в обучении, мы в § 6 гл. II исследуем один из наиболее трудных в логико-математическом и психологическом аспектах вопросов — об образовании у учащихся обрати мых ассоциаций. Доказывается роль алгоритмов как фа кторов упрочения многосторонних связей в математиче ском мышлении. В главах I—III теоретически разработа на и экспериментально апробирована алгоритмическая модель обучения математике.
Соответствие модели психологической теории мышле ния и, главное, подтвержденная экспериментом эффек тивность обучения с помощью алгоритмов давали осно вание надеяться, что модель отражает некоторые суще ственные компоненты реального математического мыш ления. На этой основе в гл. IV предпринята попытка создания нескольких (частных) моделей процесса мате матического мышления (§§ 1—2). Этот путь естественно вывел пас к проблемам программированного обучения
( § 5 ) .
2. Мы хотим познакомить читателя с тем, как посте пенно складывались наши представления о роли и месте алгоритмов в обучении математике.
а) Понятие обобщенной связи является центральным в психологической теории обучения. Речь идет об ассо циациях, играющих важнейшую роль в математическом мышлении. Они проявляются многозначно: каждой зада че соответствует, как правило, одна система таких ассо циаций; напротив, одной системе обобщенных ассоциаций соответствует множество однотипных задач. (Такое соот ветствие называется гомоморфизмом.)
Разные аспекты проблемы обобщенных ассоциаций в учебной работе школьников по математике исследова ли П. А. Шеварев [137], Н. А. Менчинская [71], В. А. Крутецкий [53] и др. Имея задачей образование у учащихся обобщенных связей, казалось наиболее логичным вводить математические предложения сразу в общем виде: опре деления, теоремы, правила (как это и делается в учеб никах)— тогда соответствующие ассоциации, надо ожи дать, сами будут складываться как обобщенные. Прак тика, однако, показывает, что такие «обобщения» у мно гих школьников вовсе не «работают» при решении за-
• дач *).
Большинство авторов сходится в том, что обобщен ные ассоциации образуются при решении задач, когда неоднократное повторение близких по содержанию ло гико-математических фигур «сближает» соответствующие психические связи и они оказываются как бы включен ными в общий «пучок». Тот факт, что решение каждый раз находится методом проб и ошибок ценой многократ ного повторения избыточных действий, воспринимался как необходимость. «Блуждания» фактически признава лись единственным путем к истине. При этом оказыва лось, что учащиеся раньше или позже приходят к пра вилосообразному (термин П. А. Шеварева) упорядоче нию действий, в котором находят выражение сложив шиеся обобщенные ассоциации. Исходя из этого, пред ставлялось разумным сообщать учащимся регулярные методы (упорядоченную последовательность действий),
*> Математик-методист М. В. Потоцкий справедливо предупреж дает, что соблюдение правил формальной логики еще не решает про блемы обучения [91]. На это указывают и психологи Я А. Понома рев, Л. А. Гурова, В. II. Пушкин, О. К. Тихомиров и др. [89, 93, 113, 114].
применение которых позволит решить любую соответст вующую методу задачу и тем самым ускорит процесс образования правилосообразных связей. И далее — во оружить учащихся методом самостоятельного поиска та ких методов. В случае удачи мы надеялись получить спо соб эффективного управления процессом образования правилосообразных связей.
Мы подошли, таким образом, к вопросу об алгорит мах в обучении математике.
С самого начала было ясно, что алгоритмы в педаго гике и психологии должны отличаться от математическо го понятия алгоритма (машины Тьюринга, нормального алгоритма, рекурсивной функции), ввиду субъективного характера элементарного действия *) в этих науках, а также из-за неоднозначности способа упорядочения действий, нарушающей принцип детерминированности.
Большое значение для нас имело знакомство с рабо тами Л. Н. Ланда по этому вопросу, в первую очередь, с вышедшей в 1966 году книгой «Алгоритмизация в обу чении» [56]. Введенное автором понятие предписания алгоритмического типа, или алгоритма сводимости яви лось тем наиболее приемлемым компромиссом, ценой которого классическое понятие алгоритма может быть «допущено» в педагогику и психологию. Имелись, одна ко, опасения, что использование готовых регулярных процедур приведет к накоплению у учащихся некоторой суммы автоматизированных умений и навыков (в торндайковском смысле) и лишит их подлинного математи ческого развития. В связи с этим мы обратились к наи более разработанной в отечественной литературе психо логической теории интеллектуального развития — теории поэтапного формирования умственных действий П. Я- Гальперина. Оказалось, что действия по ориенти ровке при третьем типе обучения [27, 29], еще до того, как они материализуются, по существу, упорядочивают ся с помощью алгоритма в операторной форме.
П. Я- Гальперин приходит к выводу, что «вне треть его типа учения знание не только фактов, но и законов не оказывает прямого влияния на развитие мышления» [27]. Уже первые наши опыты по применению алгорит-
*> Так, например, действие проведения перпендикуляра к прямой элементарно (атомарно) для одного человека и сложно для другого.
мов в обучении математике подтвердили это высказы
вание. |
Вторая причина, побудившая пас запяться алго |
б) |
ритмами в обучении, связана с проникновением матема тических и кибернетических методов в педагогику и пси хологию. Некоторые попытки применения этих методов оказались обнадеживающими [12, 61, 149].
Кибернетика предлагала принципиально новый под ход к обучению как к процессу управления. Одновремен но шел встречный запрос со стороны педагогии, которые, в условиях повышенных требований, предъявляемых шко ле бурным ростом науки и техники, нуждались в более эффективных формах и методах обучения. Стало ясно, что без удачных математических моделей мы в этих на уках и дальше будем обречены на описательные методы. Что касается изучения психики, то невольно напрашива лась аналогия. Исследуя психические процессы с помо щью этих же процессов, не оказываемся ли мы в ситуа ции, описываемой в квантовой механике принципом не определенности, когда, изучая микрочастицу с помощью прибора, тем самым уже нарушают состояние частицы. И тогда, возхможно, математические модели будут той объективизацией, тем отдалением, откуда удастся изу чать психологические процессы, не нарушая их чистоты. Во всяком случае, многие исследователи указывают, что осознавание действия по необходимости требует отчуж дения его от субъекта.
Поворотным моментом для нас было появление в 1964 году книги Л. Б. Ительсона «Математические и кибернетические методы в педагогике» [42], в которой речь идет о создании новой области педагогической нау ки, занимающейся количественным исследованием и структурным моделированием педагогических явлений. Стало ясно, что действительно «все отрасли наук без исключения развиваются по пути ... все большего ис пользования точных математических зависимостей и за кономерностей» [10]. Акад. Ляпунов пишет: «Основным методом кибернетики является алгоритмическое описание управляющих систем» [68]. Достижения «думающих» ма тематических машин заставляли пересмотреть взгляд на алгоритмы как на механические правила. Казалось есте ственным первые алгоритмические модели познаватель ных процессов строить на базе закономерностей пере работки человеком математической информации. Сжа-
тость, связность, выводимость, большое количество алгоритмов, характерные для математики как науки и учебного предмета, формируют у человека особый, мате матический стиль мышления, элементы которого легче поддаются описанию с помощью алгоритмов.
С другой стороны, ясно, что алгоритмы имеют дис кретный характер и могут описывать скорее не процессы, а отдельные этапы процесса усвоения знаний. Поэтому речь должна идти лишь о первом, грубом приближении.
(Математики И. |
М. |
Гельфанд и |
||||
М. Л. Цетлин считают, что на совре |
||||||
менном |
уровне |
знаний |
полное (изо |
|||
морфное) |
описание |
сложных |
систем |
|||
неудовлетворительно [32].) |
отразить |
|||||
Однако мы |
надеялись |
|||||
процесс |
в |
виде |
системы |
алгоритмиче |
||
ских форм, «сходящихся» к оконча |
||||||
тельному |
|
продукту обучения. |
|
|||
в) |
|
Третья |
линия |
«приближений» |
||
к алгоритмам связана непосредственно с нашей преподавательской работой. Педагогам извест
но, что учащиеся часто стараются сформулировать свои знания в виде правил, позволяющих решать соответст вующие задачи как бы формально без содержательного раскрытия ситуации.
Поясним на примере. Для определения знаков тригонометриче ских функций некоторые школьники, записав функции подряд, поль зуются правилом: функции, равноудаленные от концов, имеют оди наковые знаки, а также схемой: синус положителен по горизонтали,
косинус — по |
вертикали,'' тангенс — по |
диагонали. |
Смысл правила |
|||
ясен из рис. 1. |
|
|
|
|
|
|
Вот как, например, находится знак секанса в 3-й четверти. Се |
||||||
канс; второй |
с |
конца; второй с |
начала — косинус; положителен |
по |
||
вертикали; знак |
секанса — минус. |
Это |
рассуждение, |
пригодное |
для |
|
ответа на вопрос, не раскрывает, однако, истинной причины резуль тата.
Стремление учащихся к формализации знаний для получения ответа ценой малых психических усилий — распространенное явление. Мы вначале смотрели на это как на полезное мнемоническое средство и не придава ли вопросу особого значения. Вскоре, однако, обнаружи лось, что явление имеет более общий характер: оно так же связано с процессами вывода, преобразования, рас познавания, т. е. решением задач в широком смысле. Далее, педагогам известно, что при изучении математи