книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

ческих понятий учащимся часто недостаточно формули­ ровки соответствующего предложения. Для усвоения не­ обходимо выполнить с ними несколько упражнений на применение правила, чтобы в дальнейшем они могли пользоваться им самостоятельно.

Таким образом, объяснение правила на задаче ока­ зывалось психологически не эквивалентным формулиров­ ке самого правила. В первом случае правило как бы развертывается в систему действий, а учитель своими замечаниями каждый раз «подталкивает» ученика к этим действиям. Естественно возникла мысль «заменить» учи­ теля формальным предписанием, указывающим, какие действия и в какой последовательности надо произвести для применения правила. Так мы подошли к понятию операторной формы алгоритма преобразования.

В геометрии мы столкнулись и с другим видом алго­ ритма— алгоритмом распознавания. Замечено, что при распознавании понятий многие учащиеся учитывают не все признаки или приписывают понятиям случайные, фоновые признаки. (Вопрос о полном наборе признаков, как и о логической структуре признаков, насколько нам известно, впервые поставлен Л. Н. Ланда [56].)

В одном из наших экспериментов испытуемые ориен­ тировались следующим набором признаков для распозна­ вания медианы в треугольнике.

ся ее серединой. Каждый раз объект исследовался на соответствие набору признаков. Приводим выдержку из протокола эксперимента.

1) Да. 2) Да. 3) Да: а) Да, б) Да. Ответ: это не медиана — она идет вбок.

Так встал вопрос о введении понятий с помощью та­ кой процедуры, которая с самого начала навязывала бы учащимся необходимость проверки только существенных признаков.

В завершение мы хотим поделиться одним воспоминанием дет­ ства, имеющем отношение к данному вопросу.

На уроке белорусского языка в 3-м классе учитель прочитал правило: «В первом слоге перед ударением вместо «о», «е» произ­ носится и пишется «а», «я». Десятилетние ребятишки бойко повторя­

«ее» или «ея»? Я только упорно повторял вслух правило, но, кроме музыки слов, в нем ничего не находил. Слова были гладкие, подо­

от ударного справа налево. Когда эго было выполнено, он попросил их пронумеровать в порядке чтения. «Так вот, сказал он, если слог

в правиле. Это был, кажется, первый запечатлевшийся алгоритм рас­ познавания. Мы вспомнили об этом через много лет, присутствуя на занятии по алгебре в 7-м классе. Мальчик складывал дроби:

Ладно, приведи в числителе подобные и т. д.

Оказывается, все, что необходимо для решения, учащийся по существу знает, однако он самостоятельно не в состоянии справить­ ся с заданием.

В следующем примере, с вариациями, повторилась та же кар­ тина. Было ясно, что учащемуся недостает соответствующего алго­ ритма преобразования.

глядности, отсутствие которого, как указывает В. Вени­ ков, иногда служит поводом для отказа от метода моде­ лирования при изучении сложных абстрактных теорий

[25].

Важной характеристикой процесса моделирования многие считают изоморфное соответствие между моделью и оригиналом. Изоморфизм — взаимно однозначное соот­ ветствие между элементами моделируемого объекта и модели, сохраняющее отношение. Примером изоморфиз­ ма является соответствие между множеством действи­ тельных чисел (объект) и множеством точек числовой прямой (модель) *). Каждому числу соответствует одна и только одна точка и наоборот. Отношению «меньше» объекта соответствует отношение «левее» на модели. Если одно число меньше другого, то точка, соответствую­ щая первому числу, левее точки, соответствующей вто­ рому числу. Подробнее см. [23, стр. 247].

Наиболее естественны основанные на принципе изо­ морфизма модели (интерпретации) аксиоматических тео­ рий в математике. Вопрос упрощается тем, что объект раз и навсегда описывается с помощью нескольких акси­ ом и правил вывода.

Сложнее с моделями в психологии. При взаимодейст­ вии с субъектом материальный объект непрерывно из­ меняется, и для сохранения соответствия необходимо адекватное изменение психологической модели. Так, пре­ образуя в процессе познания объект, психическое и само вынужденно преобразуется. Если в первом случае эле­ менты и отношения объекта и его модели представляют собой два непересекающихся ряда, то теперь ряды как бы находятся в динамическом равновесии.

Принципиальные методологические трудности возни­ кают при математическом моделировании психических процессов, когда приходится изоморфно передать дина­ мику психологического объекта с помощью «неподвиж­ ной» математической модели. На эти трудности указыва­ ют многие авторы [22, 160, стр. 316] и др. Однако, если известен закон протекания психологического процесса, то его можно попытаться описать, пользуясь упорядо­ ченным множеством форм математической модели, и

*> Очевидно, что и множество действительных чисел, в свою оче­ редь, может рассматриваться как модель множества точек прямой. Интуитивно ясно, что каждая из двух изоморфных систем может рассматриваться как модель другой. (Прим, ред.)

тогда содержание процесса отразится в модели перехо­ дом от одних к другим *).

Многие авторы рассматривают познание как модели­ рование в человеческом мозге объективного мира [4, стр. 46]. Моделирование становится основным направле­ нием изучения мышления [51] **1.

Попытку интерпретировать мышление как совокуп­ ность динамических мозговых моделей предпринял Я- А. Пономарев [89]. Автор различает психологический

в снятом виде его продукта — в знаковой форме. Это предполагает расчленение, квантование первичной моде­ ли, слитно отражающей взаимодействие субъекта с объ­ ектом. Так как действия теперь не контролируются веща­ ми— оригиналами, то логика моделей должна отражать отношение вещей. Создается возможность отвлечения от конкретного содержания мыслей, изучения лишь форм связи частей, законов выводимости знаний. Так возни­ кает знаковая логическая модель, отражающая недоступ­ ные непосредственному восприятию (первичной модели) связи и свойства в виде понятий, суждений, умозаклю­ чений. Здесь мы сталкиваемся с переходом от сущности первого порядка к сущности второго порядка [1, стр. 227].

Логические законы, по необходимости, имеют услов­ ный характер: из знания х вытекает знание у. Истинно х в действительности или нет, логику не интересует — аде­ кватная ориентация возможна только через первичные модели. В этом причина отмеченного многими психолога­ ми различия между психологическим и логическим ре-

*> Для психологии актуальны слова Н. А. Бернштейна, сказан­ ные, правда по поводу биологии: « ... Речь должна идти не о ка­ ком-то приживлении или подсадке математики, а о выращивании но­ вых, биологических глав математики изнутри ...» [13].

**> С другой стороны, отдельные исследователи недооценивают роль моделирования, полагая невозможным получение достоверных

тельности (Новосибирск, 28—30 октября 1968 г.).

Пиаже положил в основу познания объективных структур практические действия человека над предмета­ ми и идеальные действия над их образами и понятия­ ми— на уровне интериоризации [85]. Существенными являются признаки, инвариантные относительно преоб­ разований с помощью определенных действий. Выделе­ ние психикой некоторого свойства предметов — инвари­ анта относительно перемещения в пространстве — назы­ вается классификацией объектов по данному свойству (размер, форма и т. д.). Внутри класса объекты могут различаться по нехарактеристическому для класса свой­ ству. Выделение на его основе подклассов называется сериацией. Операции (предметные и умственные) слу­ жат открытию инвариантов. Ж- Пиаже на огромном экс­ периментальном и теоретическом материале показал, что большинство операций сводится к двум видам упорядо­ чения— классификации и сериации. Таким образом, по­ нятия отражают свойства и отношения элементов, инва­ риантные относительно их преобразования с помощью практических или идеальных действий.

Научить мышление образовывать понятия, значит:

Такие системы схем и способов переработки инфор­ мации Пиаже называет структурой интеллекта. Однако в вопросе формирования структур интеллекта Пиаже не смог преодолеть односторонности гештальтпеихологии, согласно которой эти структуры возникают и развива­ ются независимо от внешних и внутренних условий в хо­ де созревания мозга.

Пиаже рассматривает 4 возрастные стадии.

1) Сенсомоторная (до 2-х лет). Реальность отражает­ ся по схеме: восприятие — ответное действие. 2) Поопе­ рационный интеллект (от 2-х до 7 лет). Существенные свойства отражаются наглядно. Операции — представле­ ния действий над вещами. 3) (8—11 лет). Классифика­ ция и сериация производятся на основе понятий о суще­ ственных признаках, при непременной опоре на реаль­ ные образы. Возникшие логические структуры носят предметный характер. 4) Стадия формальных отношений (11—15 лет). Понятия освобождаются от своего матери­ ального носителя — вещи и выступают как идеальные мо­ дели отношений. Возникает возможность подлинного

«теоретического обучения». Деятельность и созревание — такова формула мышления по Пиаже. Таким образом, задача дает материал, которым оперирует мышление. Са­ мо же мышление выступает к ней, как нечто посторон­ нее, определяемое своими, внутренними врожденными законами.

Несколько иной подход к упорядочению процесса формирования понятий предложен в работах Дж. Брун­ нера [21].

Бруннер рассматривает процесс восхождения при об­ разовании все расширяющихся систем «вложенных» по­ нятий как перекодирование информации, а обучение по­ нятиям— как усвоение учащимися систем кодирования. Подведен те предмета под класс означает распростране­ ние на него всех свойств класса — дополнительная ин­ формация о предмете идет не от его специального изуче­ ния, а от структуры. При этом сама структура описыва­ ется минимальным числом признаков. Такая дедукция характерна для аксиоматического метода в математике, и в применении к формированию понятий подход можно назвать «аксиомосообразным».

Значительный шаг вперед в проблеме формирования понятий сделал один из основоположников советской психологии Л. С. Выготский (Избранные психологичесие исследования. М., Изд-во АПН РСФСР, 1956.) Вы­ готский рассматривает житейские «псевдопонятия» (синкреты, комплексы) и научные понятия, возникающие пу­ тем абстрагирования и систематизации. Отображение значений происходит от синкретов к понятиям, и это сход­ но с этапами развития интеллекта по Пиаже. Однако, в отличие от Пиаже, Выготский не считает, что способы отображения структурой действительности жестко при­ вязаны к возрасту. Большую роль играет фактор знаний. Отсюда неравномерное «вызревание» понятий в разных сферах деятельности человека.

Если по Пиаже понятия формируются только на осно­ ве личного опыта и каждый человек, как бы в миниатю­ ре, повторяет в своем развитии историю науки, то Вы­ готский считает главным передачу и усвоение в обучении общественного опыта. В итоге главный путь формирова­ ния понятий— обучение. Понятия — продукт содержания обучения.

Продолжением этой программы является разработан­ ная Н. А. Менчинской схема формирования приемов

умственной деятельности: усвоение содержания приема— самостоятельное его применение—-перенос на новые си­ туации. Активный, действенный характер имеет предло­ женный Е. Н. Кабановой — Меллер метод расчленяющей абстракции, при котором учащиеся сознательно выделя­ ют и противопоставляют существенные и несущественные признаки понятий.

Советская психология освободила центральное звено

втеории мышления Пиаже — о действии как источнике понятий — от его субъективных наслоений. Объективной предпосылкой логических моделей, возможности упоря­ доченного перехода одних форм мышления в другие является системность знаний и умственной деятельности

вцелом. Еще К- Д. Ушинский писал, что «...ум — есть не что иное, как хорошо организованная система знаний».

Проблема системности умственной деятельности в со­

ветской психологии поставлена Л. С. Выготским. Однако ему не удалось раскрыть генезис все усложняющихся си­ стем мышления и памяти [100].

А. Н. Леонтьев отрицал связь «между низшей, ассо­ циативной и высшей психологической памятью», будучи не в состоянии объяснить, «как возможно превращение механических по своей природе простейших ассоциатив­ ных комплексов в целостные структурные системы» [64, стр. 299]. Поэтому, как указывает сам автор в предисло­ вии, раскрытие логической памяти как функциональной системы психологических процессов осталось неосуществ­ ленной задачей.

Б. М. Теплов отмечает связанную с систематичностью знаний их своеобразную «готовность», «мобилизован­ ность» [109, стр. 212]. ЕІо механизм возникновения этих феноменов, как отмечает Ю. А. Самарин, остается не вполне ясным [100].

С. Л. Рубинштейн также не раскрыл до конца меха­ низма преобразования простого в сложное. Он считал простейшую ассоциацию, элементарный ассоциативный акт столь существенно отличными от высшего мысли­ тельного процесса, что сведение второго к первому не­ равномерно [99, стр. 344].

Рассмотрим с интересующей нас точки зрения неко­ торые вопросы его психологической теории мышления. Мышление определяется действием внешних и внутрен­ них условий. Каждый шаг его соответствует некоторому состоянию объекта и, с другой стороны, завершается

раскрытием объекта. Изменение объекта вызывает новый ход мышления и т. д. Психологическим механизмом мыс­ лительного акта является анализ через синтез: объект включается в новые связи (отношения), благодаря чему в нем выявляются неизвестные ранее свойства, возникает новое состояние [98, стр. 136]. В итоге «мышление по сво­ ему составу выступает как анализ, синтез, абстракция и обобщение» [98, стр. 46].

Рубинштейн различает анализ и синтез в логике и психологии. В первом случае речь идет о знаниях как продуктах, и следует говорить о проанализированное™, обобщенности и т. д. Во втором — о процессе деятельно­ сти анализирования, синтезирования. Неясно, однако, по­ чему анализ и синтез протекают так, а не иначе, каковы движущие механизмы аналитико-синтетической деятель­ ности.

Проблема единства мышления и знаний, т. е. связи психологического процесса с логическим продуктом, оста­ ется, в известной мере, открытой. Незавершенность своей теории сознает и сам Рубинштейн, который, в отличие от традиционного сведения мышления к указанным опе­ рациям, считает, что «не операции порождают мышле­ ние, а процесс мышления порождает операции, которые затем в него включаются». Автор утверждает, что пер­ вична не деятельность решения задач, выступающая эмпирически на поверхность явлений, а нечто другое, что предстоит вскрыть путем анализа мышления. В одной из более поздних работ Рубинштейн писал о необходимости, в связи с этими вопросами, раскрытия механизма ассо­ циации [97].

Ю. А. Самарин считает, что попытки психологов обос­ новать системность умственной деятельности’были огра­ ничены отсутствием четких понятий «элемента» и «систе­ мы» и игнорированием закономерностей возникновения целостности психической деятельности [100, стр. 138]. От­ мечая, что целое больше суммы частей, психологи не могли указать, откуда возникает «приращение». Началь­ ным элементом любого знания и навыка, по Самарину, является простая локальная ассоциация. Она образуется первой, разрушается последней. Но это еще не умствен­ ная деятельность. По мере наращивания запаса ассоциа­ ций возникают ассоциативные ряды, которые, однако, остаются локальными, пока не включены в систему зна­ ний. И только после этого они становятся элементами