книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Речь пока о пробе, первой прикидке, когда операции производятся на уровне логической модели, при мини­ мальном контакте с объектом — полным условием зада­ чи. Пройдет некоторое время, и логические условия раз­ вернутся, восстановится операторная форма (что являет­ ся формализованным отражением перехода к психологи­ ческой модели мышления). Но это уже не первоначаль­ ная последовательность операторов. По линии обратной связи логический компонент упорядочивает операторы, устраняет лишние действия, црезает «петли», проклады­ вая прямой путь. (Например, устраняется побочное ра­ венство АВ = ВЕ и т. д.)

Психологическая модель мышления, вызвавшая логи­ ческую надстройку (знания), как видим, сама управляет­ ся ею. Теперь проясняются и причины затруднений не­ которых учащихся в решении задачиВедь К. также рас­ сматривала отрезки основания. Однако, в отличие от Д., она рассуждает сразу в развернутой форме, до конца, когда еще не ясно, к чему это приведет. Оставаясь на уровне отдельных действий, в рамках психологической модели, К. как бы смотрит на преобразования «изнутри». Она не в состоянии подняться над задачей, увидеть ее сразу, в единстве возможных преобразований, с высоты логической модели. Можно предположить, что причиной является известная расчлененность мышления, слабость коммуникаций между его психологическим и логическим компонентами.

Процесс применения знаний и сами знания в какой-то степени независимы и только «сосуществуют»; логическое статично, и общие положения слабо управляют конкрет­ ными действиями (например, теоремы — сами по себе, задачи — сами по себе). Вместо направленного поиска решения возникает ситуация «свободного блуждания мысли вокруг задачи» [91]. Этот феномен можно назвать разрывным мышлением. Одно из его проявлений, имев­ шее место в нашем эксперименте,—своеобразная «сплош­ ность», выражающаяся в неумении перестроить метод, адаптировать его к данной задаче или отказаться — в случае непригодности. Учащийся идет как бы не от за­ дачи, а от метода, когда еще не ясна его пригодность для решения задачи.

Вероятно, именно благодаря прямолинейному навязы­ ванию метода задаче испытуемая К- и прошла мимо ре­ шения, хотя была близка к нему. Подобная организация 110

Мышления присуща большинству учащихся с ограничен­ ными математическими способностями [133]. Сказанное, в общем, известно и не раз обсуждалось в психологиче­ ской литературе. Новым в данном исследовании мы счи­ таем математическое описание явления в терминах опе­ раторно-логических форм алгоритмов. Тогда вопрос об устранении отмеченных дефектов мышления становится производным от эффективности обучения с помощью алгоритмов.

Заключая, можно сказать: 1) Алгоритм Я2, возможно, является, в первом приближении, формализованной мо­ делью психологического процесса решения задачи.

В

Задача 2 решалась учащимися на следующем уроке и после подробного анализа решения задачи 1. Все испы­ туемые справились е этапом «сравнения». И все же из 30 человек задачу решили только 11. Не помогло на этот раз и специальное указание. Поскольку алгоритм все же «рработал», остается предположить, что основная причи­ на в том, как, на каком уровне это произошло.

Анализ показал, что учащиеся, справившиеся с зада­ нием, опирались на свернутую логическую форму, при

которой алгоритм П2 перекодировался в бдноэлёментнукЗ структуру aß-y. Остальные оказались не в состоянии сопо­ ставить получающиеся результаты, извлечь из них ofBer. Теперь можно попытаться ответить на главный вопрос. Первоначальная идея о сравнении отрезков основания все же не является исходным моментом решения. Она (для Д. и некоторых других испытуемых) скорее продукт

предварительной прикидки возможных результатов на. уровне логической формы алгоритма. По-видимому, под­ тверждается, что логическая форма в психологическом! плане действительно выступает как форма мышления,, точнее, как логическая модель знания.

Итак, в терминах математической м,одели, решение' задачи находится с помощью минимизированных (пре­ дельно сокращенных) операторных, структур, на основе4 логической формы. Решение задачи проводится: (и «вы­ водится вовне») па основе развернутых: операторных, форм. Переход от логической формы к, операторной отражает важную сторону содержания, психологического механизма процесса решения задач. Отсюда следует, что если удастся с помощью алгоритмов организовать на­ правленный переход от логической формы к операторной, то это и будет подлинным обучением решению задач.

2. Может показаться, что полученные результаты относятся к уз­ кому классу математических (геометрических) задач.

Ниже дан психологический анализ решения школьниками логи­ ческой задачи, в которой логико-математические отношения высту­ пают в «чистом виде», не замаскированные конкретным математиче­ ским содержанием.

йоілный характер, перекодировалась в ходе решения в сложный одно­ элементный оператор (указание 6).

сказывание «Вы живете в этом городе» эквивалентно высказыва­ нию «Вы говорите правду»?». Однако в ответ на вопрос экспери­

ствующих действий в процессе реального мышления. Наиболее устой­ чиво сохранялось указание 4, что проливает свет на специфику применения алгоритма. Дело в том, что указания 1, 2, 6 и др. оди­ наково используются во всех задачах данного типа и, следовательно,

вкаждом конкретном случае не несут дополнительной по сравнению

салгоритмом информации**). Напротив, оператор 4 является слож­ ным компонентом иеалгоритмического характера: в разных задачах

упрощения различны. Без его ясного сознавания решить задачу не­ возможно, и этим, вероятно, объясняется относительная устойчивость оператора.

Только отдельные испытуемые оказались в состоянии сформули­ ровать вопрос в наиболее простом виде сразу по прочтении усло­ вия задачи. Ответ на вопрос задачи все испытуемые получали с по­ мощью формулы z ~ x .

Итак, решение найдено на основе логической формы и тех ком­ понентов операторной структуры, без которых невозможно подойти к этой форме. Остальные операторы явно не применяются.

Обнаруженные ранее с помощью математической модели особен­ ности взаимодействия логико-психологических моделей мышления в процессе решения задач, по-видимому, получают подтверждение и развитие.

2. Логическая форма в задачах на построение

Рассмотрим алгоритмы решения некоторых типов за­ дач на построение в планиметрии. На них удобно изучать связь между процессом распознавания способа построе­ ния и самим построением (конструкцией). Это позволит по-новому взглянуть на логическую форму алгоритма, осмыслить ориентирующую роль в мышлении стоящей за ней логической модели.

1. Метод геометрических мест точек (ГМТ) [2], [124] (табл. 19, рис. 10).

*) На проверку оказывается, что это ответ на другой вопрос: как они думают с том, как они думали при решении задачи. Меняет­ ся не обсуждение предмета, а скорее, предмет обсуждения.

'*> Вспомним, что количество информации является мерой не­ определенности, мерой разнообразия.

Алгоритм Ляпунова — Шестопал.

Логическая форма алгоритма:

Tli сводится к двум подалгоритмам: Пи — подалгоритму распознавания возможности построения и Я 12 — подалго­ ритму конструкции *)■

Подалгоритмы совмещены («состыкованы») с помощью логического условия г:

и затем, с помощью г, — о возможности нахождения этой

v = st (2.5) — задача решается методом ГМТ, если удает­