книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

материала, в процессе упражнений обнаружилось, что к оператору Р можно прийти также на основе других операторных последовательностей, например ABFGHP и т. д. Это не было специальной задачей, открывалось попутно, и результаты, как правило, не отражены в со­ знании. В связи с этим возникли «ветвления» (например, после действия, соответствующего оператору В, могут актуализироваться действия — условно D или F), а зна­ чит, и состояния, отражаемые логическими условиями, например «b» (см. табл. 24). Субъективно этот факт не переживался, и учащиеся не подозревали, что выводы, о которых они уже не думают, продолжают обобщаться, появляются новые варианты. Это отражается в матема­ тической модели наборами логических условий, харак­ теризующих с определенной полнотой ситуацию, т. е. логической формой. Но это не все. По ряду причин, и в первую очередь, на почве индивидуально-психологиче­ ских различий, у многих учащихся, наряду с этим, обра­ зовались различные сокращенные структуры, напоми­ нающие «в переводе» логическую форму алгоритма, в которой недостает одного или нескольких условий. Например, abf, соответствующая операторной форме ABFGHP, и др. Мы называем форму abf неполной, так как с ее помощью операторная последовательность вос­ станавливается в мышлении и памяти лишь частично:

легко догадаться, что она завершается оператором Я (действием, соответствующим Я). В самом деле, нет нужды специально запоминать, что если известны sin2u

и cos 2а, то lg 2а находится из равенства =

Речь, таким образом, возможно, идет о приспособле­ нии психики решать задачи ценой запоминания мини­ мального количества логических переходов, т. е. об оп­ тимизации режима переработки информации.

Можно предположить, что формам разной степени полноты соответствуют различные уровни запоминания. Для убедительности приведем результаты другого экс­ перимента.

При решении способными к математике учащимися

уравнения sin За • sip3 а -f cos За • cos3 а = -уг обнаружено

Теперь на пути дальнейшего запоминания (и при­ менения) формул возникает барьер: для синтеза новых связей, прежде всего, необходимо разрушить уже сло­ жившиеся устойчивые координаты. Отсюда, нам думает­ ся, в частности, слабое запоминание формул испытуе­ мыми. Об этом сввдетельствуют и высказывания уча­ щихся. «Тянет к книге, как магнитом», «Помню, на какой странице, в каком углу и т. д.». Эксперимент позволяет заключить, что для эффективного решения соответствующих задач целесообразно сначала доби­ ваться прочного запоминания формул сложения учащи­ мися.

2- й эксперимент. Проведен с 10 студентами 1 курса физмата пединститута при изучении раздела «Неопреде­ ленный интеграл». Испытуемым предложено не заучи­ вать списка так называемых табличных интегралов и при решении примеров пользоваться таблицей.

Первая проверка показала, что наиболее часто встре­ чающиеся интегралы студенты все же запомнили в про­ цессе выполнения упражнений:

Как ход эксперимента, так и высказывания его уча­ стников говорят о том, что последние не испытывали неудобств от того, что в более сложных случаях часто приходилось обращаться к учебнику. (Например,

lvéw^ln(x+ V a 2 + x 2 ) + С ) •

По качеству и скорости решения примеров и задач испытуемые мало отличались от других студентов.

Следующий эксперимент показывает, что различие в результатах первых двух экспериментов обусловлено, во всяком случае, не только возрастными особенностями, уровнями математического развития испытуемых.

3- й эксперимент. С группой девятиклассников прове­ дено экспериментальное изучение элементов программи­ рования на двухадресной электронно-вычислительной машине (ЭВМ) Минск-22. Это позволило в школьных условиях смоделировать ситуацию, близкую к ситуации второго эксперимента (даже в более сложной форме). После ознакомления с системой основных команд испы­ туемые перешли к составлению программ для решения

различных задач. Кодовые обозначения команд и их модификаций они брали из таблиц. Результаты, полу­ ченные в экспериментальной группе, на всех этапах незначительно отличались от результатов контрольной группы, в которой условием допуска к составлению про­ грамм было предварительное усвоение учащимися ос­ новных команд.

Чтобы понять причину идентичности результатов во втором и третьем экспериментах, попробуем разобрать­ ся в том, что общего в обеих ситуациях и чем они отли­ чаются от ситуации, характеризующей первый экспери­ мент. В обоих последних случаях испытуемым для ре­ шения задач достаточно знать, что такие-то интегралы являются табличными или такие-то команды реализуют­ ся на данной ЭВМ. Тут логика управления действием достаточно проста: встретился интеграл, возникла по­ требность в команде, — испытуемый найдет их в соот­ ветствующем месте справочника. Ему не обязательно помнить формулу или кодовое обозначение, функцию памяти как бы выполняет внешнее устройство. Систем­ ность, управляемость процессом осуществляется логи­ ческими координатами, только они характеризуют не сами конкретные знания, а скорее знания о том, где их найти. Это, по-видимому, возможно потому, что фор­ мулы, связи здесь всегда используются одинаково, и управление не осложнено необходимостью варьирова­ ния, перестройки и т. д. Конечно, обращение к «внешней памяти» несколько замедляет темп решения, и психика преодолевает эту трудность путем интериоризации свя­ зей— постепенного запоминания формул и кодовых обо­ значений, которое облегчается постоянством повторяю­ щихся ситуаций *).

Другое дело в первом эксперименте. В примере, при­ веденном на стр. 164, выражение sin (a + ß) имеется, между тем, прибегать к соответствующей формуле сло­ жения не следует. Здесь полезно другое преобразование синуса суммы:

sin (a —[—р) = 2sin cos

*> Можно сослаться на закономерность, установленную П. Б. Не­ вельским, о том, что из равных по длине сообщений лучше запоми­ наются те, которые несут меньше информации для субъекта. (Зин­ ченко П. И. Некоторые проблемы психологии памяти. Тезисы XVIII Международного Психологического Конгресса, т. 2, М., I960)

Напротив, в условии задачи 29 (прил. 2) нет явного указания на формулу косинуса разности, и все же ее применение полезно.

Возможные преобразования в ситуации выбора дей­ ствия (вероятностной ситуации) рассматриваются вме­ сте, одновременно, в сопоставлении с условием и требо­ ванием задания. Значит, недостаточно помнить, где про­ читать каждую формулу и даже то, что она служит, например, для выражения синуса (косинуса, тангенса) суммы или разности через функции каждого аргумента в отдельности. Чтобы формулы в роли логических коор­ динат в соответствующих случаях переключали, адап­ тировали мышление при синтезе все новых структур решений задач, они в адекватной психологической мо­ дели обрастают многосторонними ассоциациями, фикси­ руются в памяти на разных уровнях — от наиболее общих связей до зависимостей в завершенном виде [133].

Итак, в простых вероятностных ситуациях, когда формулы, зависимости используются всегда одинаково, их предварительное запоминание не необходимо, для этой цели вполне пригодны «внешние устройства». Запо­ минание происходит попутно, в процессе применения знаний (этот случай не столь уж редкий в практике обучения). Напротив, в сложных ситуациях, где решение достигается выбором из множества вероятных исходов, выгоднее предварительное запоминание опорного мате­ риала, специальное формирование логических координат.

В связи с этим исследуем вопрос о путях развития логических координат. Ему посвящен следующий па­ раграф.

2.Образование логической формы и ее сокращение

1.Исследуем генезис элементарной «клетки» матема­

тического доказательства — единичного умозаключения при усвоении материала учащимися. Учащийся (решает 1-й пример на квадратное неравенство сразу после объяснения учителя — мышление вслух) : « ... Дискрими­ нант положителен. Надо разложить трехчлен на множи­ тели, иначе не получим неравенств 1-й степени (разла­ гает). Теперь, когда произведение меньше нуля? ... (Со­ ставляет системы неравенств и решает без обоснования) и т. д.».

Здесь в мышлении полностью актуализировалась структура, описываемая операторной формой алгоритма

в пятом примере от алгоритмической процедуры в рас­ суждении остается: « ... Корни такие-то ... Эта система несовместна ... Берем из промежутка ... Решение не­

Испытуемый: — Сразу трудно ...

Таким образом, алгоритм как бы сократился, дейст­

с операторами, а с результатами их актуализации. Пра­ вило теперь сознается через конкретное содержание при­ мера — происходит врастание большой посылки в малую. В адекватной формуле это отразится сдвигом малой посылки на первое место М&Б— КЗ: из данного условия и с помощью данного правила (уже значительно сокра­ щенного) вытекает такое-то заключение (ответ). Затем

пауз. Наконец, большая посылка полностью редуцирует­ ся, как бы срастается с малой, становится ее органиче­ ской частью. Связь «сокращается» до вида М ;фЗ. Двой­ ной стрелкой подчеркивается мысль, что с формально­ логической точки зрения последняя «импликация» не равносильна предыдущим. Однако ошибки здесь нет — само содержание перехода изменилось. Двойная связь заменяет 2 связи — это фактически одинарная стрелка плюс обоснование перехода. Но это уже не. полная ло­ гическая форма. Образовалась логическая координата, оказавшаяся продуктом дальнейшего развития логиче­ ской формы: если дан пример такого-то типа, то ответ выглядит так.

На данном этапе учащиеся уже в состоянии решать более сложные примеры на применение правила, с уче­