книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

и коррекцию. Это управляющая инстанция. 2) «Уме­ ние»— исполнительная часть действия. Разумность дей­ ствия определяется тем, насколько оно ориентировано на существенное: необходимость, связи, переходы.

Важная задача—обеспечить при обучении разумность действия еще до его выполнения — реализуется «выстав­ лением вперед» некоторых «логических координат»— для преемственности, связи. Так вычленяется логический компонент, сообщающий действию направленность. Кон­ структивно это выглядит в виде упорядоченной системы указаний и логических условий, регулирующих их ис­ пользование: сделай, найди, если, ..., то ... и т. д.

Автор называет такое обучение вторым типом фор­ мирования действий. Однако эти описания имеют ограни­ ченную сферу приложения, и для каждого нового зада­ ния приходится менять ориентировочную основу. Таким образом, эмпирическая основа действия все же сохраня­ ется, и фактически речь идет лишь об усовершенствован­ ном методе проб и ошибок. Отсюда задача воспитать у учащихся умение самостоятельно образовать «полную ориентировочную основу», т. е. находить

1)«Основные единицы» материала данной области.

2)Правила их сочетания в конкретные явления. При формировании понятий учащиеся усваивают

определенный способ действий, который затем перено­ сится на новые понятия. Постепенно действия становятся все более сокращенными и, наконец, они могут пере­ стать сознаваться. Это уже обучение по третьему типу ориентировки. В результате такого обучения вещь в пред­ ставлениях ребенка распадается на относительно само­ стоятельные параметры; свойство — на множество еди­ ниц. И все это организуется по схеме, общей для всех объектов данной области.

П. Я- Гальперин указывает, что в скрытом виде эти схемы содержатся и в знаниях, приобретенных традици­ онными способами (условно — но первому типу ориенти­ ровки), но приближение к ним обычно происходит сти­ хийно, трудно, и даже когда мышление начинает следо­ вать этим схемам, оно ограничено рамками конкретного материала. Автор приходит к выводу, что схемы обуче­ ния, в процессе их использования учащимися, на высшем уровне, становятся схемами мышления об описываемых ими объектах. Сталкиваясь с соответствующей ситуаци­ ей, учащиеся организуют ее по общей схеме, предвосхи­

щая в уме решение задачи. (Образно выражаясь, теперь они «не ждут милостей от природы».)

с недостатками школьных приемов анализа и синтеза, писала Н. А. Менчинская [70, стр. 132]. Открывается воз­ можность подлинного управления мышлением — путь от логического к психологическому. Мышление становится «разумным», «руководителем действия» [101, стр. 348].

П. Я. Гальперин, как видим, близко подходит к алго­ ритмическим моделям в обучении и мышлении. По сути, переход от обучения по второму типу к обучению по третьему типу знаменует переход от обучения алгорит­ мам к алгоритму самообучения. С другой стороны, ори­ ентировочная деятельность «по третьему типу» близка к эвристической деятельности, хотя и формируется в усло­ виях планомерного обучения.

Следующий шаг в этом направлении сделал Л. Н. Ланда, обратившийся явно к математическим мо­ делям. Процесс математического моделирования, в об­ щем, представляют себе так.

Вычленяются наиболее характерные особенности изу­ чаемого объекта или явления. Затем они переводятся на язык математики в виде символов, связанных логико-ма­ тематическими операциями. Это модель. Из нее матема­ тическими средствами получают следствия, которые про­ веряются с помощью эксперимента. В зависимости от соответствия эксперименту модель принимается, коррек­ тируется, отвергается.

Остановимся теперь на наиболее значительной работе Л. Н. Ланда «Алгоритмизация в обучении» [56]. Во вступительной статье к книге Б. В. Гнеденко и Б. В. Би­ рюков указывают, что алгоритмизация в обучении — обу­ чение алгоритмам и построение алгоритмов обучения — ведет к внедрению в педагогику точных математических методов. «Мы убеждены, пишут авторы, что сколь бы далеко ни продвинулись достижения точной педагогики в овладении святая святых обучения — в решении задачи развития творческих способностей и логического мышле­ ния людей — в ней всегда будут занимать почетное ме­ сто алгоритмические методы».

С позиций кибернетики Л. Н. Ланда считает возмож­ ным рассматривать обучение как управление, в опреде­ ленном смысле, формированием и развитием психических

процессов и свойств личности. Алгоритмами удается опи­ сать сложные формы психической, в том числе — мысли тельной деятельности, внутренние, умственные действия Многие процессы, которые считались творческими, ока­ зывается, имеют алгоритмическую природу. Автор выде­ ляет в мышлении элементарные умственные акты (опе­ рации) и условия, в ответ на которые эти операции про­ изводятся. Последовательная проверка условий и вы­ полнение действий образует схему, формализацией кото­ рой может служить выражение из операторов, логических условий и нумерованных стрелок. Это известная форма Ляпунова — Шестопал, которая оказывается пригодной для описания алгоритмов в обучении. Однако уже с исходным понятием — «операция» — в обучении возни­ кают трудности. Например, некоторые операции часто оказываются невыполнимыми: «Возбудить интерес», «Вы­ звать внимание» и др. Далее, операции, элементарные на одном уровне знаний или для одних учащихся, не элементарны в других условиях, и вопрос может быть решен только с помощью эксперимента.

Сказанное является одной из причин, потребовавших ослабления математического понятия алгоритма. В свя­ зи с этим Л. Н. Ланда вводит понятие предписания алгоритмического типа, или алгоритма сводимости. При­ ближаясь в ряде черт к «абсолютным» алгоритмам (мас­ совость, потенциальная—-даже актуальная — завершимость), алгоритм сводимости допускает «ослабление» свойства детерминированности. Он становится «абсолют­

ка алгоритм в ходе формирования подвергается измене­ ниям. Основное направление его деформации — сокраще­ ние, «свертывание», выпадение ряда элементов из процес­ са сознавания. Чем лучше человек овладевает алгорит­ мом, тем быстрее он в состоянии от него «отказаться» (стр. 137). На уровне образования понятия — алгоритм уже сгусток «добытых знаний о предмете, сжатых в одну мысль» (стр. 144). Завершающая логическая форма — не алгоритм, однако при возникновении соответствующей ситуации (в задаче) она находит, приспосабливает под­ ходящий алгоритм, причем наиболее рациональный.

Еще Павлов, указывал, что для образования ассоциа­ ций недостаточно, чтобы раздражители были «смежны­

ми». Ассоциация возникает, когда эта связь имеет значи­ мость для индивида [100, стр. 108]. В таком случае, воз­ можно, логические формы моделируют психологический механизм оценки «значимости» связей. Говоря, в частно­ сти, об алгоритмах распознавания, Л. Н. Ланда видит цель обучения алгоритмам в «непосредственном» выде­ лении признаков, а путь к ней — в сознательной и актив­ ной проверке их путем действий по развернутым алго­ ритмам (стр. 262). Л. Н. Ланда приводит эксперимен­ тальные данные обучения учащихся правилам и поня­ тиям русского языка и некоторым предложениям матема­ тики с помощью алгоритмов. Он приходит к следующим выводам.

1.Алгоритмы обучения позволяют не только сооб­ щать и контролировать знания, но и адаптировать обу­ чение к индивидуальным особенностям учащихся.

2.Алгоритмы из средства управления объектами по­

торому осуществляется, в частности, воспитание умствен­ ных способностей учащихся.

4. Решение задач с помощью алгоритмов — одно из условий развития интуиции (стр. 137).

Так строится механизм, который в действии подтверж­ дает мысль К. Н. Корнилова о целостном, структурном характере мышления [50, стр. 117], высказанную в тот пе­ риод, когда вопрос о природе целенаправленности и активности мышления еще невозможно было даже поста­ вить корректно.

Л. Н. Ланда приводит слова Ли Яо-цзу и Вандервельде: «...Желательно иметь такую самонастраивающу­ юся систему, при которой не было бы необходимости знать заранее ни окружающих условий, ни характери-

*> Возможность описания с помощью алгоритмов сводимости мыслительных процессов подчеркивается многими. Так, в монографии А. Р. Лурия и Л. С. Цветковой 165] указана следующая структура мыслительного акта. 1) Цель, которую нужно достичь. 2) Ориенти­ ровка в условиях, в которых дана цель. 3) Возникновение общей схемы решения — алгоритма. 4) Конкретный набор операций, посред­ ством которых достигается решение. 5) Сличение полученных резуль­ татов с исходными условиями задачи. О. К. Тихомиров и В. Ä. Тере­ хов уточняют эту схему, рассматривая аналогичные операции с про­ межуточными целями 1112]. Однако Л. Н. Ланда говорит не только об описании, но об управлении мышлением с помощью алгоритмов

стик объекта и которая все же обеспечила бы достиже­ ние требуемых динамических свойств...» [145]. По мнению Л. Н. Ланда алгоритмизация в обучении способствует формированию таких «самонастраивающихся систем» мышления.

В заключение отметим, что автор не считает алгорит­ мы универсальным и единственным способом обучения. Подчеркивается, например, что в задачах творческого характера велико значение несводимых к алгоритмам эвристических методов. Таковы, например, методы поиска доказательств при решении геометрических задач и др. Но в том-то и дело, что алгоритмы, в известной мере, выступают средством воспитания более высоких форм обучения и мышления. К сожалению, экспериментальные задачи, использованные Л. Н. Ланда, в частности по ма­ тематике, как правило, слишком стандартны, чтобы их решение служило серьезному исследованию эвристиче­ ских методов.

Во всяком случае, теперь время вспомнить слова крупного аме­ риканского математика Р. Веллмана о радикальном отличии матема­ тических методов, основанных на полной универсальности, от тех «правильных» лишь в общих чертах и вовсе не «строгих» методов работы, к которым прибегает мозг [8, стр. 25].

Остановимся специально на проблеме связи между алгоритмами и эвристиками. Судя по имеющейся литературе, нет единого тол­ кования понятия эвристики. Д. Пойа считает, что эвристики изу­ чают приемы, с помощью которых делаются открытия [159, стр. 132]. Он называет их правдоподобными рассуждениями. Пойа приводит

деляют эвристику как правило, сокращающее число потенциальных вариантов перебора [81, стр. 529, 156, 157].

A.В. Брушлинский не видит различия между эвристикой как наукой и психологией мышления [22].

B.Н. Пушкин отождествляет термины «творческий» и «эври­ стический» [93].

О.К- Тихомиров с этим не соглашается. По его мнению твор­

чество есть результат деятельности, эвристики же — не продукт, а организация процесса получения этого продукта [114, стр. 100].

Большинство авторов приписывают эвристикам следующие осо­ бенности. 1) Они удовлетворяют методу планирования (planning), или принципу редукции подцелей (subgoal reduction) — расчленения решения задачи на «подзадачи». 2) Ограничивают перебор. 3) В отличие от алгоритмов не гарантируют успешного решения, способны «увести в сторону». 4) Их использование высоко эффек­ тивно. Хорошие эвристики дают, по сравнению с алгоритмами, улуч­ шение работы на несколько порядков. 5) Эвристические методы мож­ но рассматривать как теорию поведения человека при решении за­ дач и др. [139].

Не имея возможности специально остановиться на проблеме творчества, укажем лишь, что еще в начале XX в. П. Энгсльгеймер создал теорию — эврилопчо, где попытался осмыслить основы твор­ чества. По его мнению творческий процесс включает:

1. Психологический (интуиция и ж ела н и е)связа н с возникно­ вением замысла.

2. Логический (дискурсивное мышление) — непосредственное по­ лучение знания.

3. Конструктивный — выполнение изобретения.

Нам кажется интересной мысль о творчестве как о логикопси­ хологическом процессе. Известный французский математик А. Пуан­ каре указывал, что основное в творчестве — обнаружение полезных

комбинаций без перебора всех. Ему же принадлежат слова о том, что механизм математического творчества не очень отличается от механизма творчества вообще [92]. Сказанное дает повод предпо­ ложить, что эвристики (в смысле Йыоэлла, Шоу и Саймона) играют основную роль в математическом творчестве и в силу этого к ним можно приблизиться с помощью логических и психологических мо­ делей.

Сопоставим на основе приведенных данных некоторые особен­ ности алгоритмов и эвристик.

Структурные особенности

А л г о р и т м ы Э в р и с т и к и

1.Массовость. Общность ме­ тода: применимость к множеству

однотипных задач.®

2.Шаговая структура: расчле­ нение задачи для ее решения на „подзадачи“.

Обычно эвристики противопоставляются алгоритмам. Говорят даже об -особой «эвристнческойлогике» [72] *>. Некоторые авторы, на-

*> Эти вопросы приобрели актуальность в связи с интенсивным развитием эвристического машинного программирования. Закономер­ ностям эвристических процессов посвящено большинство докладов на 4-м Всесоюзном симпозиуме по кибернетике (Тбилиси, 2—4 декаб­ ря, 1968) и на состоявшемся вслед за ним симпозиуме по моделиро­ ванию психических процессов (Тбилиси, 5—7 декабря, 1968).