книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Алгоритм «обучения отрицаниям» сообщается учащимся в ука­ занном виде. При выполнении упражнений они имеют возможность пользоваться алгоритмом по записи.

Теперь изложим методику обучения учащихся алгоритму. Пункты алгоритма выполняются в порядке их следования. Указания, для которых необходимо определенное условие (например, наличие

К нему, в соответствии с алгоритмом, применяется указание 4(а—в). *> Противоположные стороны.

конца «дoкaзàteльcтвa» не обнаружил ошибку. Более того, лишь не­ многие, уже зная, что рассуждение ошибочно, оказались в состоянии найти истинную причину — некорректность сформулированного «от­

рицания» теоремы Ферма.

2. Построение «отрицательных предложений», даже в простей­ ших случаях, часто требует перестройки известных учащимся поня­ тий, вычленения основных признаков, логических связен. Так, для определения «Не окружности» полезно исходить, например, из та­ кого определения окружности. (Плоская кривая) [и] (замкнутая ли­ ния) (и] [существует точка в плоскости кривой], что (для любых двух других точек], [если (они принадлежат кривой), то] (они равноуда­ лены от этой точки). «Не окружность»:

(Не плоская кривая) [или] (не замкнутая линия) [или] [для лю­ бой точки в плоскости кривой] [существуют две другие точки], ко­ торые (принадлежат кривой) [и] (не равноудалены ог этой точки).

Педагогический эксперимент выявил полную беспомощность школьников и студентов в вопросе построения отрицаний математи­ ческих предложений, -когда специальной работы не производилось. Так, из 50 опрошенных первокурсников физмата ни один не смог пра­ вильно ответить на вопрос: «Когда число а не является пределом последовательности {«п}?», хотя все знали определение предела последовательности. С другой стороны, учащиеся сравнительно бы­ стро овладевают алгоритмом и охотно его используют. Хотя строгое обоснование алгоритма возможно только с помощью аппарата ма­ тематической логики, учащиеся приучаются оценивать его резуль­ таты на интуитивно-содержательном уровне.

Интересно, что по истечении некоторого времени, по мере его применения, алгоритм словно преобразуется в сознании учащихся: отдельные указания объединяются, сливаются и, наконец, алгоритм

сказать, что навязанный учащимся извне способ рассуждений стал формой их внутреннего мышления.

III. Противоположные и обратные теоремы. Алгоритм построе­

ния.

1. Построение отрицаний необходимо, в частности, для образова­ ния теорем, противоположных данным.

П р и м е р . Если в четырехугольнике существуют (2 равные про­ тиволежащие стороны) и (они же параллельны), то (четырехуголь­ ник— параллелограм). Противоположная теорема образуется отри­ цанием условия и отрицанием заключения. Если в четырехугольнике каждые (2 противолежащие стороны не равны) или (они не парал­ лельны), то (четырехугольник — не параллелограм). Однако одно дело формально, с помощью алгоритма построить отрицания, дру­ гое— оценить истинность полученной противоположной теоремы. Последнее невозможно без содержательной оценки результата и, как показывает педагогический опыт, вызывает у учащихся затруд­ нения.

Здесь оказывается полезным одновременное рассмотрение теорем, обратных данным, которые равносильны противоположным. В на-

*> По заявлению м-ногих испытуемых «обилие мелких указаний только мешает», и они стараются поскорее избавиться от них.

шем примере: если четырехугольник — параллелограм, то у него существуют две равные и параллельные между собой стороны. Этот факт учащиеся знают. Следовательно, и противоположное предло­ жение истинно. Такая ситуация часто встречается в школьном курсе математики. Известно, однако, что теорема может иметь несколько различных обратных (противоположных) теорем. Установление свя­ зи между ними является для учащихся трудной логической зада­ чей. Было бы полезно иметь регулярный метод, позволяющий по обратной теореме строить соответствующую равносильную противо­ положную теорему и наоборот. К этому вопросу мы теперь пере­ ходим.

2. Нам потребуются леммы.

Лемма 1. В теоремах вида «Если А и В, то С» (А, В, С — простые высказывания) можно, не нарушая истинности теоремы, переносить любое из условий (А, В ) в заключение (правее «то»), взяв его с отрицанием «не» и заменив «и» на «или».

В символической форме — имеем 2 теоремы, равносильные дан­

но. Следовательно, истинно отрицание этого предложения: не С и В

Лемма 2. В теоремах вида «Если А и В, то С» можно, не на­ рушая истинности теоремы, переносить заключение в условие и од­ новременно любое высказывание из условия в заключение, взяв их

кулярна наклонной к плоскости — С).

Вместе с данной истинны следующие теоремы.

1)Если А, то С или не В,

2)Если В, то С или не А,

3)Если Л и не С, то не В,

4)Если В и не С, то не А,

5)Если не С, то не А или ие В.

3. О п р е д е л е н и я . Исходим из теоремы вида: ««Если А и В,

то С».

Теорема называется полностью обратной данной, если она полу­ чается из данной перестановкой условия и заключения. Теорема называется частично обратной данной, если она получается из дан­ ной перестановкой местами заключения и одного из высказываний условия. Теорема называется полностью противоположной данной, если она получается из данной отрицанием (взятием с «не») условия и отрицанием заключения. Теорема называется частично противо­ положной данной, если она получается из данной отрицанием одного цз высказываний условии и отрицанием заключения.

стно, равносильны.

Образуем теперь 2 частично обратные и соответствующие им

рема равносильна соответствующей частично противоположной тео­ реме (лемма 2).

П р и м е р . В теории положительных рядов доказываются 2 тео­ ремы.

1) Если (ряд (1) сходится — С) и (каждый член ряда (2) не превосходит соответствующего члена ряда (1)—А), то (ряд (2) сходится •— В).

2) Если (ряд (2) расходится — не б) и (каждый член ряда (2) не превосходит соответствующего члена ряда (1)—А), то (ряд (1) расходится — не С).

Но теоремы указанного вида, мы знаем, равносильны, следо­ вательно, достаточно доказать только одну из них. Для рассмот­ ренной ранее теоремы о 3-х перпендикулярах полностью обратная (полностью противоположная) теорема неверна. Неверна также ча­ стично обратная теорема «Если В и С, то А» и соответствующая частично противоположная теорема. Верна частично обратная (со­ ответственно — противоположная) теорема «Если Л и С, то В».

Таким образом, для теоремы о 3-х перпендикулярах верна толь­ ко одна из ее трех обратных (противоположных) теорем. К сожале­ нию, этот факт ускользает из поля зрения авторов учебников по геометрии. С другой стороны, легко видеть, что при истинности полностью обратной (противоположной) теоремы частично обратные (противоположные) теоремы также истинны.

Однако даже из истинности обеих частично обратных (проти­ воположных) теорем еще не следует справедливость полностью об­ ратной (противоположной) теоремы. Пример. Если (а биссектриса угла треугольника — Л) и (а высота треугольника — В), то (а медиа­ на треугольника — С). Это теорема, истинна. Истинны также 2 ее частично обратные теоремы: «Если Л и С, то В» и «Если В и С, то Л». Ложна полностью обратная теорема: «Если С, то Л и В».

В заключение отметим, что обнаруженные зависимости сохра­ няют силу и тогда, когда условие содержит более 2-х простых вы­ сказываний.

Теперь сформулируем алгоритм построения согласованных об­ ратных и противоположных теорем.

1) Для получения теоремы, обратной данной («Если Л и В, то С»), необходимо переставить заключение (С) с условием или

«не», берут с «не» и, наоборот, исключают «не» из тех высказыва­ ний, стоящих в скобках, где оно имеется.

в) Сохраняют неизменными те высказывания, которые при об­

Обратная теорема. Если С и В, то А. Соответствующая про­ тивоположная теорема. Если не А и В, то не С.

Читатель легко построит алгоритм получения обратной теоремы, когда дана противоположная теорема. Усвоение зависимостей в един­ стве с их отрицаниями, а также с обратными и противоположными утверждениями является одним из показателей готовности уча­ щихся мыслить в «любом направлении». Это необходимое условие развития у учащихся обобщенного математического мышления.

Г л а в а III

ОПЕРАТОРНО-ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ОБУЧЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПАМЯТЬ

I.Логическая модель знания

1.Опишем эксперимент. Двухчасовая письменная контрольная работа проведена в 10-м классе в естест­ венных классных условиях, без предварительного преду­ преждения учащихся. После проверки работы мы с неко­ торыми испытуемыми провели индивидуальные беседы.

Содержание работы. Считая из всех формул сложе­ ния известной только формулу косинуса разности двух аргументов и используя формулы приведения, вывести формулу тангенса двойного аргумента. Работу выпол­ няло 15 учащихся.

Целью эксперимента было выяснить:

а) Степень и механизм запоминания и способ вос­ становления материала (в операторной, логической, про­ межуточных формах и т. д.).

б) Последовательность ссылок и переходов при вы­ воде нужной формулы.

Всвое время (7 месяцев назад) вывод требуемой формулы в курсе тригонометрии выглядел так:

Нас интересовало, будут ли учащиеся вспоминать указанную последовательность или станут выводить «по-своему».

Учитывалось, что выводы формул после первоначаль­ ного изучения не повторялись, тогда как к самим фор­ мулам учащиеся часто прибегали в дальнейшем при решении примеров. Все это создавало условия для изу­ чения характера запоминания и восстановления мате­ риала после забывания, если оно имело место.

Результаты и их анализ

Закодируем преобразования (сложные операторы), выполненные испытуемыми при решении задачи (табл. 23). Тогда их действия опишутся структурой типа Ляпунова — Шестопал:

Ей соответствует граф (рис. 21). Решения, в зави­ симости от логических условий, отражены в табл. 24. 5 различных доказательств, использованных нашими испытуемыми, изображены наследующей схеме (рис. 22).

На основании анализа работы, а также наблюдений по ходу выполнения задания и последующих индивидуаль­ ных бесед мы пришли к выводу, что испытуемых, соот­ ветственно проявлению особенностей памяти, можно разделить на 2 группы.

Учащиеся первой группы рассуждали примерно так. Чтобы получить тангенс двойного аргумента, надо знать выражения для синуса и косинуса суммы (или двойного аргумента) и т. д. Они шли от конца, от требуемого, применяли аналитический метод рассуждений. Испытуе­ мые второй группы сразу направили все усилия на вос­ становление отдельных формул; выводили «все, что выводится», не представляя себе ясно общего пути до­ казательства. Большинство из них с заданием не спра­ вилось. Их синтез не опирался на предварительный анализ.

Вызывает интерес сравнение работ Р. и Л. Синтези­