книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Г л а в а I I

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Изложенная в первой главе операторно-логическая схема обучения школьников математическим понятиям *' требует убедительного подтверждения. На вопрос, на­ сколько формальный алгоритм обучения соответствует истинному мышлению учащихся (т. е- их «психологиче­ ской логике»), должен ответить констатирующий и фор­ мирующий психолого-педагогический эксперимент.

Далее, развитие модели, изучение частных, специаль­ ных случаев также возможно только в условиях ее про­ верки в школьном обучении математике. Мы попытаемся показать, как за продуктами мышления учащихся откры­ ваются определяющие их процессы; как в условиях обу­ чения операционально-логические структуры математиче­ ских понятий выступают в качестве моделей возможных систем действий; какими ориентирами руководствуются учащиеся в соответствии с их индивидуально-психологи­ ческими особенностями при выборе той или иной модели и какие ориентиры необходимы для выбора верной модели. Будет затронут ряд важных вопросов: о логике и интуи­ ции, о «стилях» математического мышления и др. Конеч­ но, не имелось в виду их решить. Для нас было важно подойти к ним под углом зрения гипотезы об операторно­ логической структуре мышления.

Наряду с материалом, накопленным нами на протя­ жении 30-летней работы преподавателем математики и методистом в школе, техникуме, педагогическом и техни­ ческом вузах, здесь использованы результаты специаль­ ного обучающего эксперимента, поставленного в 9—10 классах с физико-математическим уклоном средней шко­ лы № 6 г. Курска в 1962—63 и 1963—64 учебных годах.

Основной метод исследования — психологический ана­ лиз индивидуальных особенностей процесса решения учащимися математических задач разной степени труд­ ности по материалу школьной программы. Кроме задач, решавшихся в связи с изучением программного материа­ ла, подробно проанализированы решения свыше 300 спе-

Алгоритм для нахождения отношения отрезков *)

нет или неизвестно, — переходи к следующему указанию.

стно»— переходи к следующему указанию. Если оно не­ верно или вопрос остается открытым — заключи: отноше­ ние найти не умею.

в) Проверь, можно ли утверждать, что BD — высота треугольника.

Если да, то AD = DC. Если нет или неизвестно, то

AD/DC=AB/BC-

2. Формализация алгоритма (табл. 15). Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал

Первым срабатывает оператор и. Затем проверяется логическое условие р. После каждого логического усло­ вия поднимается стрелка с одной (вверху) или двумя (вверху и внизу) цифрами. Если р —1, то, не обращая внимания на стрелки, переходят к следующему операто­ ру или логическому условию (у нас — оператор Т). Если р = 0, то, согласно верхнему номеру стрелки, обращаются к оператору или логическому условию, перед которым опускается стрелка с таким же верхним номером (у нас— к оператору ß). Если р —2, то переход аналогичный, толь­ ко в соответствии с нижним номером стрелки (здесь — также ß). Точка после оператора означает, что процесс закончен.

Несколько нагляднее связь между операторами отра­ жена горизонтальной схемой

IJ

ОРечь идет не о единичной, а о типовой задаче. Поэтому алго­ ритмический подход здесь правомерен. Алгоритм применим к любой

задаче данного типа и, в соответствии с ее конкретным условием, приводит к различным последовательностям умственных действий.

Операторы распознавания а, ß, Y — не элементарны. Это алгоритмы, приведенные предварительно к свернутой логической форме и воспринимаемые вследствие этого как одноэлементные. По отношению к (1.1) их можно

назвать опорными подалгоритмами низшего.— первого порядка: а = Яц; ß= # 12; у = П із. Тогда наш алгоритм является иерархической структурой более высокого — второго порядка. Обозначим его П2.

106

Словесно: AD/DC—AB/BC, если <7=1 и /7 = 0 или <7=1; /7 = 2; г=\. Наконец, логическая формула, хаірактеризующая нерезультативное решение R:

ределенного заключения об отрезках сделать нельзя. При­ менение алгоритма сводится к выбору из трех признаков.

Теперь вернемся к задаче 1. Задача может быть ре­ шена путем нескольких применений алгоритма П2. Дого­ воримся наличие признака в логической форме обозна­ чать + , отсутствие —, неизвестно ± (табл. 17).

При совместном рассмотрении результатов получаем: BD/BC—1/2. Дальнейшее очевидно. В —90°.

Обратимся к эксперименту. Двум группам девяти­ классников по 15 человек, примерно одинакового уровня математического развития, было предложено решить за­ дачу 1 в течение 20 мин. При равных прочих условиях во второй группе дано указание: «Попытайтесь сравнить между собой отрезки основания треугольника». В пер-

*> Имеется в виду только биссектриса — медиана исключается или про нее, по крайней мере, ничего не известно.

вой группе задачу решили трое учащихся, наиболее спо­ собных к математике. Во второй — 11 человек. Как пока­ зали выполнение работы и последующий анализ, из не решивших задачу испытуемых первой группы по крайней мере 7 человек начали с рассмотрения отрезков осно­

BD — медиана ААВЕ. Конечно, — биссектриса и высота.

тоже равны. Теперь возьмем АЕ и ЕС. АЕ = ЕС. Что из этого? ...» Учащаяся так и не добралась до угла В.

Итак, задача 1 решается путем нескольких последова­ тельных «включений» алгоритма Я2. Как показывает экс­ перимент, применение учащимися алгоритма Я2 имеет более или менее выраженный регулярный характер (осо­ бенно заметный в решении К.). Рассмотрим такую-то пару отрезков. Применим алгоритм Я2. Рассмотрим сле­ дующие отрезки и т. д. По-видимому, здесь вне сферы действия Я2 работает новый алгоритм Я3, «объемлющий» Я2, и периодически включающий его. Назовем Я3 условно алгоритмом упорядоченного перебора. Так в процессе обучения используются иерархические системы «вложен­ ных» алгоритмов Яі, Я2, Я3 и т. д., в которых каждый следующий алгоритм содержит предыдущий в качестве подалгоритма.

Однако одно дело производить выбор, когда известно, что хотя бы некоторые варианты ведут к цели, и совсем

108

другое, — когда не ясно, что из этого получится. Вспом­ ним, что исходное допущение о сравнении отрезков осно­ вания треугольника имеет лишь пробный характер. Мож­ но было с самого начала предположить, что, испытав не­ сколько отрезков и не обнаружив решения, учащиеся не станут рассматривать остальные зависимости и откажут­ ся от гипотезы. Так это действительно и оказалось: многие испытуемые остались на полпути, прекратили ре­ шение, не разглядев заключительной ситуации.

Обратим внимание, что в решениях большинства испытуемых, справившихся с заданием, проявился дру­ гой, более гибкий вариант алгоритма Я3: «Рассмотрим отрезки. Если получится такой-то результат, то перейдем к одним отрезкам, в противном случае — к другим и т. д.». Здесь характер обращения к Я2 предусмотрен определенными логическими условиями. На этом пути многие исключили из рассмотрения отрезки AD и DC (так это, во всяком случае, проявилось внешне), «с ме­ ста» устранили избыточные равенства типа АВ = ВЕ, не имеющие применения в дальнейшем.

Возникает вопрос, на чем основана прозорливость испытуемых, решивших задачу. Психологический анализ показывает, что Д. и другие учащиеся действительно использовали алгоритм Я2 *7 Однако на первом этапе решения операторная процедура сокращена. В мышле­ нии решение, по-видимому, «нащупывается» на уровне частично свернутых действий, где-то на границе между психологической и логической моделями. Учащийся слозно обладает «дальнодействием» — способностью произво­ дить следующие действия, минуя предыдущие (137], [134]. Создается возможность одноактно удержать вместе все пары отрезков. Задача просматривается не до конца, но на такую глубину, когда уже удается оценить целесооб­ разность подхода-

При необходимости, в процессе решения задач, соот­ ветствующие операторные структуры (в «переводе»— стоящие за ними структуры умственных действий) вызы­ ваются и срабатывают автоматически. Этим можно бы объяснить быстроту, легкость заключений. Так как дей­ ствия имеют свернутый характер, они, как правило, не сознаются, и результат часто воспринимается решающим, как неожиданный [135],

*) Лучшие результаты испытуемых 2-й группы, по-видимому, обѣ» ясняются ртимулированием извне их обращения к этому алгоритму.

109