книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

тельных актах снижается степень сознавания В, и дейст­ вия становятся психологически неравноценными — дей­ ствие, соответствующее оператору С, выступает как ве­ дущее. Мы называем этот феномен поглощением (опера­ тора В оператором С). При поглощении, в соответствии с психологическим механизмом, оператор В не элимини­ руется, а входит в состав С, хотя внешне создается ил­ люзия одноактности. Этим отражается психологический процесс формирования «внутреннего алфавита», отлично­ го от «внешнего». Теперь реальный процесс рассуждения при решении задачи будет отличаться от тех его форм, в которых он отчуждается алгоритмом, «срезанием» не­ которых звеньев.

Далее, оператор F на низших уровнях усвоения алго­ ритма играет двойственную роль: он фактически срабаты­ вает то с {ßC}), то с {DE}, образуя подмножества {BCF} и {DEF} — в зависимости оттого, идет речь о противопо­ ложной стороне треугольника или о ее продолжении. На следующих уровнях операторы BCF и DEF как бы «склеиваются» по их обшей части, и синтезируется со­ кращенное образование {BCDE}, F, а затем {{BCDE}, F). Такое объединение операторов мы называем склеивани­ ем. Ему соответствует булево преобразование:

B&C&F\/D&E&F^-*(B&C\/D&E) &F-

Эти операции отражают разные аспекты свертывания структур в психологической модели. Механизм психоло­ гического сдвига, по-видимому, состоит в обобщении по­ нятия перпендикулярности как отношения между направ­ лениями отрезков (а не между отрезками, как это имело место вначале). Описанные особенности сокращения опе­ раторной формы характерны также для алгоритма пре­ образования.

В приведенном примере (2-й распределительный за­ кон) мыслительный акт, соответствующий оператору А, уже на уровне (1), оказывается, «поглощен», действием, соответствующим оператору В (в схеме А опущено.) Сложный оператор < C Z )> — не простая композиция С и D, т. е. последовательность соответствующих операций. Учащиеся теперь не сознают каждое действие в отдель­ ности как проявление переместительного и распредели­ тельного законов. Возникло качественно новое действие <С£>>, не проводимое к С и D и т. д. За счет поглоще­ ния ведущим становится действие, соответствующее опе­

ратору Е, которое закрепляется в памяти как представи­ тель всей психологической структуры [129]. Степень сознавания других операторов падает. Теперь многое вы­ ступает как одноОбразовавшиеся связи позволяют по условию непосредственно получить ответ. В алгоритме это отражается «потерей» операторов, вследствие чего обнажаются «в чистом виде» логические связи.

Таким образом, процесс свертілвания действия в пси­ хологической модели может быть отражен в математиче­ ской модели приближением операторной формы к логи­ ческой. В следующем параграфе предложена матричная модель перестройки операторных структур.

VI. В заключение сведем в таблицу соответствующие понятия психологической и математической моделей (табл. 8).

4. Матричное описание процесса развития операторной формы

структур. Он, как будет показано, обязан возникновению многосторонних ассоциаций, когда вслед за одним дейст­ вием актуализируется целая система связей.

Генезис начальной операторной формы проследим на алгоритме принципа математической индукции.

Алгоритм в словесном задании (табл. 9),

на единица, то соответствующий строчный оператор на­ зовем безусловным. При большем числе единиц — опе­ ратор условный. Существенно как количество единиц, так и их место. Например, в строке В: когда итогом действия оператора будет 1 (выполняется), управление пдредается С (т. е. оператору столбца, в котором находится первая единица данной строки); если 0, — управление переходит к Е. В строке D: если после срабатывания оператора D логическое условие принимает значение 1, управление пе­ редается Е\ 0 — Ё; 2 — G и т. д. Все места матрицы, не занятые 1, считаются нулевыми, что означает отсутствие вызова.

Получилось матричное описание алгоритма. Действи­ тельно, мы видим, что сначала срабатывает оператор А. В строке 2 единицы — оператор А условный. Если логи­

Е .........................................

Е ..................................

F ..................................................

G ..................................................

В нашем случае матрицы выше четвертого порядка — нулевые.

Введем несколько понятий. Будем говорить, что опе­ ратор А я-звенно управляет оператором С, если сущест­

это означает реализацию упорядоченной последователь­ ности вызовов (импликаций) : A-^-Bp, Bi-^BZ\ ...; ß n -i^C . На этом основании можно говорить также об я-звенном вызове. Чем меньше я, тем непосредственнее (прямее) связь между Л и С. В этом смысле будем понимать бо­ лее высокую связь, или управление. Наивысшим, по-ви­ димому, является однозвенное управление Л-^-С, т. е. прямой вызов.

Определение. Если на множестве операторов опера­ тор Л управляет другими я-звенно и выше, то Л осу­ ществляет на множестве управление не ниже я-звенного- Определение. ІЧножество операторов называется п-звенно управляемым, если из любых двух операторов множества по крайней мере один управляет другим не

ниже, чем я-звенно.

Нам потребуется теорема 1 [46, стр. 245]. Если мно­ жество операторов однозвенно управляемо, то найдется, по крайней мере, один оператор, управляющий любым другим оператором не ниже, чем двузвенно. Уточним: речь идет об операторе К, производящем наибольшее число однозвенных управлений (такими могут быть не­ сколько операторов и даже — все).

Докажем от противного. Пусть управление К ниже двузвенного, т. е. найдется оператор R, которым К не управляет одноили дву­ звенно. Тогда, по условию, R одиозвенно управляет К. С дрѵгой стороны, если К однозвенно управляет некоторым оператором S, то R также однозвенно управляет этим оператором, г. противном случае, К управлял бы R двузвенно, что противоречит допущению. Итак R производит однозвенных управлений на одно больше, чем К, что также невозможно: К. по условию, имеет наибольшее число одно­ звенных управлений. Допущение неверно, теорема доказана.

Определение. Оператор А называется оптимальным на множестве операторов, если его управление не ниже управления любого другого оператора множества.

Следствие из теоремы. На однозвенно управляемом множестве операторов оператор с наибольшим числом однозвенных управлений является оптимальным, а само его оптимальное управление — не ниже двузвенного.

Естественно следующее обобщение теоремы 1.

Теорема 2. Если множество операторов n-звенно уп­ равляемо, то оператор с наибольшим числом управлений управляет любым другим оператором не ниже, чем 2п- звенно.

Доказательство аналогично предыдущемуПри п= 1 получаем теорему 1.

Теперь вернемся к матрицам. Легко заметить, что 1 в матрице М2 соответствует композиции двух последова­ тельных вызовов, т. е. двузвенному управлению. Напри­ мер, Л х С = 1: между Л и С имеется опосредованная

->•£■ вследствие трех вызовов: Д-»-С; C->Z); D ^ E . В та­ ком случае степень матрицы, в которой находится 1, ха­ рактеризует «звенность» (т. е. количество звеньев в со­ ответствующей цепочке) управления оператора строки оператором столбца. Тот факт, что Л15 состоит из нулей, означает, что наше множество операторов четырехзвен- но-управляемо. Мы предполагаем, что реальный процесс научения отражается, в первом приближении, законом изменения связей между соответствующими оператора­ ми. Точнее, процедура преобразования матрицы вызовов М могла бы служить описанием процесса сокращения психологических форм при научении.

Действительно, матрица М и ее степени отражают тенденцию к возрастанию управления, к образованию прямых вызовов за счет элиминирования связующих опе­ раторов. Тот факт, что логический результат действий многозвенных и соответствующих однозвенных управле­ ний может быть одинаков (выпадание промежуточных операторов), возможно, отражает феномен свертывания психологических структур. Далее, когда множество опе­ раторов в матричной модели однозвенно управляемо, то оператор, производящий оптимальное (двузвенное — тео­ рема 1) управление, мог бы выступить, в мышлении «представителем» всей формы. Этим были бы созданы условия, с одной стороны, для перекодирования алго­ ритма в одноэлементное образование, с другой. — для свертывания стоящего за ним психологического про­ цесса.

Исследуем генезис операторной формы психологиче­ ской модели в реальном мышлении. Рассмотрим следую­ щие задачи:

1. Доказать: 1* + 22 + ... + я2 = \п{п + 1) (2л + 1)]/6.

Йа логическую форму. Анализ решения Ш. и других ис­ пытуемых показывает, что необходимым условием, подго­ тавливающим свертывание операторной структуры (структуры действия), является наличие в математиче­ ской модели большого числа связей между операторами, возникновение у учащихся состояния готовности перейти от одного действия к другому, минуя промежуточные. В итоге форма теряет свою алгоритмическую «жест­ кость» -алгоритм фактически приходит к своему отри­ цанию. Именно благодаря более разветвленному управ­ лению, вызовам «с дальних расстояний» Ш. удалось, как это отразилось внешне, сразу «перескочить» к операто­ рам С и D, минуя, в явном виде, А и В, что создало эф­ фект одновременности всех действий и обеспечило успех решения.

С другой стороны, попытки заставить учащихся, не решивших задачи 2 и 3, начать рассуждения сразу с опе­ раторов С или D, как правило, заканчивались неудачей. Испытуемые сбивались, начинали механически проделы­ вать предлагаемые экспериментатором действия, теряли связь, и это почти всегда заканчивалось одинаково: «Я лучше подряд-..» Вероятно, можно говорить об отсут­ ствии (или слабости) у этих учащихся многосторонних связей, об ограниченности управления операторов. В гл. Ill будет показано, что одно из преимуществ обу­ чения с помощью алгоритмов как раз и состоит в стиму­ лировании образования дальних вызовов.

Рассмотрим 3 типа операторов. 1) Элементарные. Речь идет об отражении неделимых актов переработки информации, о своеобразных психологических квантах. Таков, например, наш оператор А. 2) Сложные опера­ торы алгоритмического типа. Они сами являются алго­ ритмами, «вложенными» в другой алгоритм. Например, оператор В в задаче 1. Он отражает частичный процесс, вычислительную процедуру локального характера, отра­

димому, не существует общей закономерности перехода от п к п+1 в задачах на метод математической ин­ дукции.

За счет действий, обозначенных операторами первых двух типов, при известной степени обученности, разви­