книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

нечноГо числа множеств его утверждение верно.) Пере­ нос произошел «с места», без обосновании. Достаточно было К. перейти к рассуждениям, т. е. развернуть коор­ динату в систему действий, как оказалось, что «интуи­ ция конечного» не выдерживает логического разбора.

Некоторые испытуемые в подобной ситуации упорно «доказывали», что предельная точка суммы предельна и для какого-либо слагаемого. Это, как правило, имело место у менее способных к математике, но добросовест­ ных студентов, у которых, таким образом, наиболее от­ четливо проявилась инерция незрелой интуиции. Речь идет о дефектах в механизме функционирования опера­ тора D. Логический анализ не проходит бесследно для интуиции. Так, в последующей теореме (о пересечении открытых множеств) большинство испытуемых уже не считало очевидным, что пересечение — всегда открытое множество, хотя возникающая здесь ситуация аналогич­ на предыдущей. Подумав, они приводили примеры пере­ сечения бесконечного множества открытых множеств, не являющегося открытым множеством. Совершенствова­ ние интуиции имеет, таким образом, основой предшест­ вующий логический анализ. Характерно, что группа студентов, для которых был изменен порядок изложения материала, —сначала рассмотрела теорему об открытых

множества открытых множеств.

В ряде случаев, однако, интуиция опережает логику, ведет ее за собой. Так, обосновывая самостоятельно не­ возможность дедекиндовых сечений 4-го рода (нижний класс имеет наибольший элемент, верхний — наимень­ ший), ряд студентов ссылается на то, что в противном случае у классов был бы общий элемент, что противоре­ чит определению сечения *\ Психологический анализ показывает, что утверждение, опирающееся одним кон­ цом на логику определения сечения, в еще большей сте­ пени обязано интуитивному представлению рациональ­

*) Интересно, что в определении сечения фактически нет пункта о невозможности общих элементов. Однако по нашему требованию студенты быстро «доводили» ссылку до определения: «каждое число нижнего класса меньше каждого числа верхнего класса (по опреде­ лению), значит, общих чисел нет». Психологический анализ пока­ зал, что приведенное умозаключение явно отсутствовало в рассуж­ дениях, но предполагалось. Вероятно, мы здесь столкнулись с фе­ номеном «свертывания» рассуждений.

ных чисел, как образующих всюду плотное множество

на числовой оси.

Несомненный интерес представляет механизм возник­ новения геометрической интуиции. Не имея возможности подробно осветить вопрос, укажем, что геометрические представления явились побочными логическими коорди­ натами логико-операторной структуры изображения дей­ ствительных чисел бесконечными (десятичными) дробя­ ми. Существенно, что координаты образовались непро­ извольно, учащиеся над этим вопросом никогда ранее не задумывались. Все же в подсознании представления возникли, и, когда потребовалось, они актуализирова­ лись. Однако сами учащиеся не догадываются, на чем основано их геометрическое «видение». Об этом свиде­ тельствует тот факт, что испытуемые оказались не в со­ стоянии сразу убедительно обосновать ложность пред­ положения, при котором имеется наибольший элемент нижнего класса (гі), не совпадающий с наименьшим элементом верхнего класса (г2) (хотя все утверждали, что «это невозможно, потому что... как же это возмож­

ду, что между Гі и г2 можно вставить 3-е рациональное число, которому фактически нет места во множестве рациональных чисел. Таким образом, основой правиль­ ного ответа испытуемых послужила геометрическая интуиция — не доведенные до логических обоснований представления,— и только впоследствии появились не­

обходимые ссылки.

Связь между формально-логическим и интуитивным в мышлении отчетливо проявилась при психологическом

тервалами можно выделить конечное подпокрытие.)

мента— конечная длина. Значит, как бы ни были малы интервалы, можно выбрать несколько из них для той же роли покрытия сегмента. Однако в опорном образе от­ сутствует существенная особенность, характеризующая структуру сегмента (его замкнутость), вследствие чего интуиция «пробуксовывает» каждый раз, когда перехо­

дят к другим покрытиям, например, к покрытию полу­ сегмента интервалами. Мы предложили слушателям следующее покрытие полусегмента [а, в):

Каждый следующий интервал покрытия содержит левый конец в предыдущем интервале, а правый — всередине еще не покрытого полусегмента. Передаем при­ мерную беседу студента, опирающегося на свои сложив­ шиеся интуитивные представления, с экспериментато­ ром, пытающимся с помощью логического анализа рас­ ширить эти представления.

Интуиция:— это не покрытие — вне любого интерва­ ла Ді, Д2 и т. д. остаются точки {а, b): Логика: — Возь­ мем произвольную точку полусегмента. Как бы ни была близка она к точке Ь, найдется Au, внутри которого она окажется. Значит, покрытие? Интуиция:—Но вне Au, каким бы оно ни было «правым», существуют «непокры­ тые» точки? ... Логика: — И все же для каждой точки найдется интервал покрытия — в этом суть. Интуиция:— Согласна, здесь действительно покрытие, из которого нельзя отбросить ни один интервал. Я просто не видела, что возможны покрытия, не имеющие крайнего правого интервала ... Но для сегмента это все же невозможно, и теорема справедлива для сегмента. Теперь я вижу раз­ личие.

Отсюда ясно, что в первоначальном интуитивном образе неправомерно отождествлены две логические формулы: для каждого интервала существуют «непокры­ тые» им точки и существуют точки, не покрытые ника­ ким интервалом. Если первая формула истинна, то вто­ рая— ложна. Логический анализ направляет, развивает ограниченные наглядные представления. Возникает обо­ гащенный интуитивный образ. Это подтверждается сле­ дующим психологическим экспериментом. Двум группам студентов, по 15 человек в каждой, с примерно одинако­ вым уровнем математического развития мы излагали лемму Бореля, используя разные методики. В первой группе после формулировки теоремы сразу было сооб­ щено доказательство. Оно просто (рис. 43).

скую структуру и объяснить непригодность доказатель­ ства для интервала (ссылкой на его пезамкнутость), утверждали, что обоснование придумано потом. Снача­ ла они «просто увидели, что сегменты могут стягивать­ ся к крайней точке, и тогда ничего из рассуждения не получится». Таким образом, геометрическая интуиция опередила формально-логическое обоснование. Харак­ терно, что испытуемые этой группы оказались в состоя­ нии обобщить лемму и её доказательство на замкнутые

Рис. 44.

множества (сегмент — только частный случай), хотя теперь «геометрическое зрение» уже не помогает и рас­ суждения проводятся в' словесно-аналитическом плане, с опорой на операторно-логическую форму алгоритмиче­ ской структуры. В этом, вероятно, сказалась стимули­ рующая роль развитой геометрической интуиции.

Таким образом, взаимодействие между логическим и

систему логических координат к интуиции более высо­ кого порядка, и от нее к высшему уровню операторно­ логической структуры. Чем абстрактнее становится изу­

териале связи имеют более широкое значение и должны учитываться в процессе обучения, как школьного, так и вузовского.

История матеіматики показывает, что некоторые заблуждения, имевшие основой недостаточность существующих интуитивных пред­ ставлений, завершились открытиями, которые приводили к возник­ новению новой интуиции. Как отмечает И. К- Андронов, ма­ тематическая интуиция по крайней мере дважды подводила челове­ чество: в теории параллельных прямых, и это привело к открытию геометрии Лобачевского, и в вопросе, завершившемся построением непрерывных, нигде не дифференцируемых функций (Вейерштрасс).

Что касается гипотезы об операторно-логическом мышлении, то в ней, по-видимому, можно говорить о новом звене — интуитивных представлениях. В итоге развитие мышления изобразится следующей схемой: операторная форма алгоритма; логическая форма; логи­ ческие координаты, интуитивные представления (рис. 44)

5.Дополнительные линии обратной связи при программированном обучении

Поставим вопрос: что нового вносит в организацию мышления учащегося программированное обучение? Оказывается, на этот вопрос ответить не так просто, и,

порций материала, к каждой из которых имеется 1конт­ рольный вопрос. При неверном ответе учащемуся дается первое указание, после чего предлагается вернуться к вопросу. Если следующий ответ также неверный, дает­ ся второе указание. Учащийся, который не в состоянии ответить верно на вопрос после второго указания, зна­

Приведем некоторые экспериментальные данные. Группа шести­ классников решала арифметическую задачу по разветвленной про­

обучающих устройств, снабженных записывающей приставкой, кото­ рая позволяет экспериментатору учитывать: время ответа на каждую порцию, количество неправильных проб, число и последовательность получения указаний и т. д. {128].

Неожиданным для нас оказалось, что почти все испытуемые воспользовались методом деления в данном отношении. Еще пара­ доксальнее— некоторые ученики со средними математическими спо­ собностями получили ответ быстрее способных учеников. В резуль­ тате анализа записи на ленте записывающей приставки, а также по­

3 : 5 и получили 15 и 25. Остальное их уже не интересовало. Многие утверждали, что «больше тут ничего не придумаешь». Учащихся да­ же не смутило, что решенных оказалось 15 задач, нерешенных — 25, тогда как проверка показывает, что должно быть наоборот. Они просто поменяли ответы местами, и этим удовлетворились. Несмотря на внешнее благополучие, задача фактически не решена. Основной момент — количество решенных и нерешенных задач обратно пропор­ ционально числам 3 и 5 — учащимися не усвоен. Выяснилось, что не­ сколько более способных к математике учеников, прочтя условие, самостоятельно выбрали метод предположения. Однако, познако­ мившись с 3-м пунктом 2-й порции, они предпочли перестроиться: указанный способ оказался более заманчивым. Это потребовало торможения уже активизировавшихся связей и, естественно, задер­ жало решение. Интересно, что в контрольной группе, где учащиеся решали задачу без специальной программы, все воспользовались ме­ тодом предположения.

включать во вторую порцию пункт 3. Но это не соответствовало бы принципу максимального ветвления, при котором должны пред­ усматриваться все способы решения. В связи с этим мы в дальней­ ших экспериментах заменили пункт 3 второй порции следующим: «3) Другими методами». Такая нейтральная формулировка резко из­ менила как стратегию учащихся, так и результаты эксперимента, проведенного в аналогичных условиях. Испытуемые теперь решали задачу методом предположения и лишь двое (из 15) наиболее спо­ собных к математике уже после привычного решения самостоятельно обнаружили другой способ. У нас, конечно, нет уверенности, что выбранный вариант программирования является оптимальным.