книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

метода анализа в решении математических задач. Среди методистов широко распространено мнение об анализе как более денном сред­ стве для развития математического мышления, чем синтез [77, стр. 65], [125, стр. 293].

Другие авторы (например, Новоселов Ф. П.) считают, что ана­ лиз полезен лиши для человека, уже решившего задачу. В поиске решения он мало помогает. С «им, в основном, соглашаются психо­ логи Н. А. Менчинская. 3. И. Калмыкова и др. [71, стр. 137, 367]. Педагоги-практики, однако, знают, каким сильным средством являет­ ся умело организованный анализ при решении математических (осо­ бенно геометрических) задач.

Как могло случиться, что по важнейшему вопросу методики ма­ тематики имеются столь разноречивые высказывания? Дело в том, что одни исследователи и педагоги смотрят на анализ как на эвристический метод, помогающий при решении задач. Другие — предъявляют к нему непомерное требование алгоритмической обус­ ловленности решения. Нет ничего легче, чем дискредитировать метод путем выхода за область его применения *). По если эвристики прин­ ципиально отличны от алгоритмов, го нельзя согласиться с попытка­ ми сведения мышления только к эвристикам (А. В. Брушлинскип). В противном случае, пришлось бы сознательно исключить один из перспективных способов управления обучением и мышлением с по­ мощью алгоритмов **).

Некоторые авторы усматривают отличие алгоритмов от эври­ стик в том, что последние обязательно включают элемент интуиции, точнее, являются интуитивно оправданными процедурами [31]***). Интуиция обычно противопоставляется аналитическому, или дискур­ сивному мышлению [21]. Все без исключения исследователи усматри­ вают важнейшую особенность интуитивных решений в их неосозна­ ваемое™. Приведем несколько авторитетных высказываний.

Павлов: человек, признающий только осознаваемые процессы, ходит в темноте с фонарем, освещающим лишь небольшие участки [84, стр. 105].

Крупный специалист-математик Д. Мордухай-Болтовский: глубо­ ко внедрение математика в бессознательную сферу мышления [74].

Колмогоров: «Наше сознание, которое все направляет и выби­ рает, опирается на уже имеющийся огромный резервуар подсозна­ тельной информации. Там идет активная работа по созданию новых комбинаций, идей, образов» [5]. В этом высказывании особенно от­ четливо выражена связь подсознательного с психологической мо­

решении задач на электронно-вычислительной машине. Результаты оказались весьма обнадеживающими [82].

**) Мышление нельзя сводить только к эвристикам, очевидно,

стр. 178, 304] и на А. Пуанкаре: «Логика доказывает, а интуиция творит» [92, 105].

Короче, ассоциативные связи, интерпретируемые как импликации, — истинны.

При выполнении перечисленных условий будем, как это принято в математической логике, называть импликативные структуры логической моделью соответствую­ щей психологической связи. Таким образом, ассоциации, согласно нашим представлениям, самим своим сущест­ вованием предполагают в качестве объективного адреса­ та некоторые логические импликации. Обратное, по-види­ мому, неверно: логико-математические связи не обяза­ тельно имеют соответствующие психологические эквива ленты. Они объективны и не зависят от того, существуют у данного человека адекватные ассоциации или нет. Если так, то приобретение знаний, возможно, обязано процес­ су синтезирования новых вызовов, соответствующих ло­ гическим связям.

Установленное соответствие, как показано, не изо­ морфно— оно однозначно определено только в направ­ лении от психологического к логико-математическому. Объективно-логическое богаче связями, содержательнее своего психологического отражения. Психологическая теория как бы «вкладывается» в модель. Образно выра­ жаясь, ассоциации являются перенесенными в «мышле­ ние» реально существующими импликативными связями. (Под «реальностью» импликации мы понимаем следую­ щее: из эксперимента над объективными явлениями в не­ котором приближении может быть извлечена таблица истинности, задающая связку логического следования.)

Рассмотрим, как установленное соответствие проявля­ ется при отображении понятий из психологической моде­ ли в логико-математическую.

Пусть А'і, А'2, А'з, ..., А'п — конкретные объекты пси­ хологической модели М', объединенные понятием П'. (Например, — восприятия множества конкретных тре­ угольников, принадлежащих понятию треугольник.) Тогда имеются вызовы: А'.; (—П' (г=1, 2, ..., /г). В силу соответствия в математической модели для Лг- и Я удов­ летворяется: А і— уП —-истинно (і—1, 2, ..., п).

Сошлемся на формальное определение «понятия», предложенное известным американским математиком и логиком Чёрчем. Элементам некоторого множества объ­ ектов присваивается символ (наименование). «Понятием» наименования является правило, решающее для произ­ вольного объекта вопрос о его принадлежности множе-

ству. Множество объектов образует содержание «поня­ тия» [153]. Тогда П естественно истолковывается как некоторое множество, А — его элемент, а — имплика­ ция,— как принадлежность элемента множеству (А<=П).

Таким образом, понятию в логической модели соот­ ветствует закон, решающий вопрос о принадлежности произвольного элемента /1 множеству П. Соответствие сохраняется и для более сложных форм мышления. П. А. Шеварев указывает, что умозаключения в психоло­ гическом смысле это те интеллектуальные процессы, ко­ торые при логическом анализе их содержания оказыва­ ются умозаключениями в логическом смысле и т. д. [137].

С позиций математической модели находит объясне­ ние ряд психологических закономерностей. Так, напри­ мер, из дедуктивной цепочки хі— ух2— >■... — ухк, вслед­

вительно открытому в умственной деятельности учащихся и т. д. Мы, однако, думаем, что можно рассчитывать на большее — математическая модель позволит посредством дедукции предсказать некоторые нетривиальные резуль­ таты, закономерности, которые трудно уловимы в про­ цессе реального обучения. Но главное— мы попытаемся показать это в исследовании — в том, что логико-мате­ матическая модель обучения постепенно «присваивается» мышлением и выступает как управляющая, по принципу обратной связи, инстанция; психологическая же модель соответственно становится управляемой, функционирует в соответствии с навязанной логикой. Нарушение соот­ ветствия должно свидетельствовать о «неисправности» психологического механизма, или, то же самое, о слабо­ сти связи между моделями. Например, когда учащиеся отказываются «признавать» высоты в тупоугольных и прямоугольных треугольниках, хотя знают определение высоты треугольника, то это, оказывается, признак не­ достаточности управления со стороны логической модели.

В связи с этим возникает потребность в таких формах логического, которые позволили бы увидеть решение еще до его строгого доказательства [38, стр. 302], а в обуче­ нии «подстораживали» бы отклонения психологической модели от «логической нормы», обеспечили бы оптималь-

йую адаптацию психологической модели. Построение И апробация такой логической модели — одна из задач данного исследования. Весь предшествующий анализ по­ зволяет заключить, что трудности, связанные с решением этой важнейшей проблемы психологии, в большей мере обязаны описательным методам исследования, недоста­ точному использованию математического моделирования. В связи с этим мы видим другую задачу исследования в развитии алгоритмического метода описания процесса обучения, а также мыслительных процессов при решении задач учащимися.

3. Об алгоритмическом описании формирования математических понятий

В математической модели обучения, как мы видели, импликации ставятся в соответствие сложившимся реаль­ ным знаниям, основанным на ассоциативных связях. Мы

С. Л. Рубинштейна мыслительному «ходу» предшествует некоторое состояние объекта (относительно субъекта). В это состояние, по-видимому, входит степень неопреде­ ленности, содержащейся в объекте для субъекта *>. На­ пример, если требуется узнать, является ли точка сере­ диной отрезка, то имеется два возможных исхода: да, нет.

Задача на выяснение четности функции, вообще гово­ ря, более неопределенна, так как имеется 3 исхода: чет­ на, нечетна; не относится ни к одному из классов и т. д. Конкретный мыслительный акт направлен на уменьше­ ние (снятие, раскрытие) неопределенности, на выбор одного из нескольких исходов. Предварительное знание числа возможных исходов (и их вероятности) характери­ зует готовность к мышлению.

Состоянию объекта в математической модели поста­ вим в соответствие логическое условие, которое прини­ мает одно из нескольких четко указанных значений, обо­ значаемых, чаще всего, — 0,1**). Например, логическое

*) Этим подчеркивается, что мышление начинается там, где есть выбор (гл. I, § 1), а выбор предполагает неопределенность.

**> При описании ситуации дихотомия не является ограниче­ нием— любое число значений привадится к дихотомиям. Пусть, на­ пример, (0, 1, 2). Сначала решают, окажем: 0 или (], 2)? Если (1,2), то следующий шаг: 1 или 2?

условие а равно і означает, что точка является середи­ ной отрезка; а = О— точка не является серединой отрез­ ка. Условная запись:

1, если точка — середина отрезка,

О —- в противном случае.

Мыслительному «ходу» соотнесем в модели оператор, характеризующий аналитико-синтетическое действие сня­ тия неопределенности. В результате мыслительного акта возникает новое состояние объекта, новая неопределен­ ность. Это отразится в математической модели перехо­ дом к другому логическому условию, и, в зависимости от его значения, совершится переход к тому или иному опе­ ратору и т. д.

Например, пусть логическое условие а находится по­ сле оператора проверки равенства /( —x)=f(x) . Если окажется а= 1 (равенство справедливо), то следующим оператором будет утверждение: функция f(x) — четна. Если же а = 0, то следующим должен быть оператор про­ верки равенства /( —х) = —f(x) и т. д.

Таким образом, процесс приобретения знаний фор­ мально отражается с помощью логических условий и операторов, которые «в переводе» означают: генерирова­ ние состояния выбора и действие анализа, оценки, от­ бора. Упорядоченную последовательность состояний объ­ екта и мыслительных актов в процессе решения задач некоторого типа отобразим в модели с помощью алго­ ритма.

Покажем нашу модель «в работе» при формировании

в известном смысле деление необходимо нам для обособ­ ления процедуры формирования понятий от ее результа­ та. Операторная форма связана с процессом формирова­

даются на «хранение» памяти.

Эти формы относятся друг к другу, как низшая сту­ пень познания к высшей. Раскроем содержание и связь двух форм понятий на примерах из школьного курса математики.

I. Алгоритм формирования понятия высоты треуголь­ ника. Под алгоритмом обычно понимают жесткое указа­

ние о том, какие операции и в какой последовательности надо произвести для решения любой задачи из некото­ рого множества однотипных задач. Подчеркивая роль шаговой структуры, американский математик и логик А. Чёрч определяет алгоритм как «эффективный метод вычисления, особенно, если он распадается на отдель­ ные шаги, среди которых последующие зависят от пре­ дыдущих» [123, стр. 374].

Таблица 2

Логи­ Операторы ческие Характеристика оператора или логического условия

условия

АПроверка, является ли одним из концов отрезка

I, 0—в противном случае

НЗаключение о том, что данный отрезок—не вы­

сота.

ВНахождение противолежащей стороны треуголь­

ника.

СПроверка принадлежности 2-го конца отрезка

I 0—в противном случае.

DПродолжение противолежащей стороны.

ЕПроверка принадлежности 2-го конца отрезка

ОЗаключение в том, что данный отрезок—высота.

Алгоритм содержит операторы и логические условия. Операторы по существу отражают элементарные акты переработки информации. Логические условия, как мы видели, характеризуют ситуацию при выборе одного из нескольких возможных операторов.

1. Операторы и логические условия для распознава­ ния высоты треугольника. Опорным является предвари­ тельно усвоенное понятие перпендикуляра к прямой (табл. 2).

2. Граф алгоритма (рис. 2). А — вход в граф, G и Я — выходы.

Граф изображает структуру действий (операций), ко­ торые нужно осуществить для распознавания высоты тре­ угольника. Он является операторной формой понятия вы­ соты треугольника.

Правило пользования. Сначала обращаются к опера­ тору А — к нему нет стрелок. Затем, как это показывает стрелка, переходят к логическому условию р, означаю­ щему выбор.

Если ц=1, то переходят кВ , Си т. д.

Если р = 0, то переходят к Я (из которого стрелок нет), и на этом процесс прекращается.

Операторную форму можно описать с помощью алго­

Пояснение. Сначала «срабатывает» крайний слева член схемы (Л). Если после него нет стрелки f, то пере­ ходят к следующему справу члену; если же такая стрел­ ка имеется (после логического условия), то возможно одно из двух: а) логическое условие принимает значение 1— тогда переходят к следующему спра­ ва члену; б) логическое усло­ вие принимает значение 0 —

нтогда переходят к тому члену, перед которым опускается стрелка с тем же номером.

Например, если /7= 1, <7= 0, то получается ABCDE . . . пт . д. Если па некотором этапе не оказывается члена, к которому надо перейти (например, пос­

ле Я), то на этом работа за­ канчивается. Заканчивается она также после оператора

с точкой (у нас G). В зависимости от значений логиче­ ских условий процесс распознавания приводит к различ­ ным операторным последовательностям (табл. 3).

*> s означает «не s»: s =l , если s = 0; s = 0, если s=l .

*V — ! ^ *еслн отрезок—высота.

\0, в противном случае

* * <7=1 и s = l одновременно невозможно. Для прямоугольного треугольника условимся <7=1. Поэтому,строки 14 и 16 вычеркнуты.

Спомощью известной формулы [34, 78] представим ѵ

всовершенной нормальной дизъюнктивной форме и про­ изведем необходимые упрощения

Это и есть завершающая логическая форма понятия. Словесно формула читается так:

«Отрезок является высотой треугольника, если:

а) один из его концов — вершина треугольника

(Р=1),

б) он перпендикулярен к направлению противолежа­ щей стороны (г —1),

в) второй его конец принадлежит или противолежа­ щей стороне или ее продолжению» ( s \ J q=l ) .

Мы пришли к обычному определению высоты тре­ угольника.

*> «-«—>-» знак логической равносильности. Две логические фор­ мулы равносильны, если они принимают одинаковые значения ис­ тинности, ка«ие-бы значения не придавать входящим в них пере­ менным.

**> qs=0, значит pqrs —0, а прибавление нулевого слагаемого не изменяет значения и.