книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

формы алгоритма конструкции*). Это проливает свет на ориентирующую функцию логической формы и стоящей за ней логической модели мышления, которая, оказыва­ ется, является в задачах на построение средством выдви­ жения гипотез, прогнозирования, предвидения.

Если учесть, что «. .. при решении задач на вычисле­ ние с числовыми или параметрическими (буквенными) данными мы следуем — или, во всяком случае, должны следовать — тому классическому порядку, который уста­ новлен для задач на построение» |33, стр. 6], то станет ясно, что отмеченное явление имеет более широкий ха­ рактер-

3. О сокращении и развертывании форм мышления

Приведенные ниже эксперименты имеют целью найти подход к выяснению тех сдвигов, которые происходят

вмышлении при обучении с помощью алгоритмов.

I. Кодирование. Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (НОД) мето­ дом вычитания.

1)Сравни числа.

2)Если первое число больше второго, перейди к ука­

занию 5.

3)Если первое число меньше второго, переставь чис­ ла местами. Перейди к указанию 5.

4)Прекрати вычисление. Полученное число является

НОД.

5)Вычти из 1-го числа второе.

6)Замени первое число полученной разностью-

7)Вернись к указанию 1.

Правила пользования алгоритмом.

1.Указания выполняются в порядке следования, если нет специальных указаний об изменении естественного порядка.

2.Условное указание (2, 3) пропускается, если не вы­ полнено содержащееся в нем условие. Алгоритм пред­ ставлен в операторах, близких к атомарным (элементар­ ным).

Эксперимент. Результаты и их обсуждение. Испытуе­ мыми были 100 студентов 3-го курса физмата. Алгоритм

*> Выражаясь языком математической лингвистики, можно ска­ зать, что порождающие (логические) формы выполняют функцию распознающей грамматики (гл. I, § 5, пункт 3). Процессы порож­ дения и распознавания сомкнулись в психологической модели.

предложен при изучении курса математической логики и продемонстрирован на решении нескольких примеров. Через неделю испытуемым, без предупреждения, было рекомендовано восстановить алгоритм и решить с его помощью пример. Оказалось, что 78 человек опускали указание 6, хотя пример решали верно. 88 испытуемых исключили указание 1.

Как правило, устойчиво сохранились отраженные в со­ ответствующих операторах действия вычитания и пере­ становки чисел в сочетании с упорядочивающими эти опе­ рации логическими связями. Однако логические условия при решении примера во внешнем плане не отражались. Вот типичное «мышление вслух»: «Отнимаем .. . Пере­ ставляем . . • Отнимаем .. . и т. д.». Вопрос о том, почему в одних случаях сразу вычитают, а в других — сначала переставляют, не «выведен» наружу, решается во вну­ треннем плане с помощью логической модели знаний, управляющей в скрытом виде операторами (т. е. соответ­ ствующими действиями).

Через месяц 55 испытуемых уже исключали оператор перестановки (3). Решение выглядело примерно так: «Отнимаем от большего меньшее, уменьшаемое отбрасы­ ваем, с оставшимися числами повторяем то же самое и т. д.». Формальная часть описания сократилась до ми­ нимума, сохранилось, в основном, содержательное нача­ ло. В таком редуцированном виде алгоритм закрепился в памяти, образовав соответствующую логическую мо­ дель знаний.

Попытаемся объяснить результаты эксперимента. Пе­ рестановка чисел является определенным способом фор­ мализации процесса вычитания, при котором уменьшае­ мое привязывается к первому местуОтказ от такого упорядочивания приводит к замене действия, соответст­ вующего оператору 5, усложненным, более емким (менее определенным) действием вычитания из большего числа меньшего, — независимо от места, где стоят числа.

Изменение содержания символов, вследствие их объ­ единения, укрупнения мы называем кодированием. В свя­ зи с переходом к новому коду в математической модели возник символ повышенной информационной плотности за счет исключения оператора перестановки и соответст­ венно— изменения оператора вычитания. Однако психо­ логически, оказывается, в некоторых случаях действия при кодировании не выпадают, а включаются в состав

других действий. Такая перестройка с поглощением отра­ жается в модели, например, вхождением оператора 6 в состав оператора 5. При этом образовалась не простая конъюнкция двух операторов. Оператор 5 внешне не изменился. Возникла композиция с поглощением опера­ тора 6, который явно не представлен в действии, но вы­ ступает при решении примеров как само собой разумею­ щаяся экстраполяция оператора 5. Подобным образом из структуры элиминирован оператор сравнения 1, который при актуализации алгоритма все же играет роль необхо­ димого предварения оператора вычитания. Все это явля­ ется отражением феномена «скрадывания» в психологиче­ ской модели отдельных логических звеньев, на который указывают многие авторы [137, 53] и др. В итоге, по исте­ чении некоторого времени, оказывается, что алгоритм уже не тот, каким он был сообщен. Возникает вопрос, откуда берется «приращение», каков психологический ме­ ханизм перекодирования? Ответ, нам представляется, возможен только один — от прямого взаимодействия субъекта с объектом, т. е- с задачами в процессе их ре­ шения, когда в мышлении как бы сплавляются начальная форма алгоритма с ранее известными содержательными связями.

II. Декодирование. Рассмотрим обратную задачу. Пусть испытуемые владеют некоторым правилом, опера­ торы которого даны в виде комплексных образований. Предложим им формализовать его в виде упорядочен­ ной системы по возможности более простых указаний и исследуем особенности декодирования, расщепления сложных форм.

Опишем эксперимент. 100 студентам 3-го курса реко­ мендовано составить алгоритм сложения многозначных чисел. Образцом могло бы быть следующее описание.

Алгоритм сложения двух многозначных чисел. Указания.

1. Подпиши числа одно под другим так, чтобы одина­ ковые разряды стояли друг под другом.

2.Сложи цифры данного разряда.

3.Если над первой цифрой стоит точка, прибавь

ксумме 1.

4.Если полученная сумма меньше 10, то подпиши ее под слагаемыми. Переходи к указанию 8.

5.Если полученная сумма больше или равна 10, то вычти из нее 10.

6. Запиши разность под слагаемыми.

7- Над первым слагаемым следующего слева разряда поставь точку.

8.Смотри следующий слева разряд.

9.Если в разряде есть хотя бы одна значащая цифра,

вернись к указанию 2.

10. Если в разряде нет ни одной значащей цифры, то посмотри, есть ли в этом разряде точка.

11.Если есть точка, то подпиши в данном разряде 1.

12.Прекрати вычисление — полученное число являет­

ся суммой.

Начальное условие: вычисление начинать с разряда единиц.

Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал (табл21) (рис. 12).

Результаты и их обсуждение. 80 испытуемых оказа­ лись не в состоянии разложить процесс на элементарные шаги (действия) и упорядочить действия с помощью алгоритма. Как правило, описания построены на основе сложных операторов и не удовлетворяют предъявленным требованиям. Приведем несколько примеров простого объединения операторов и логических условий в работах испытуемых. «Поставь точку слева, заметив, что десятков будет на 1 больше» — здесь отражение конъюнкции опе­ раторов: G&H&C.

преобразования операторной формы в логическую (коди­ рованием), организуется логико-психологическая модель знания. Образовавшаяся предельно свернутая идеальная модель обладает способностью к самосохранению и ока­ зывается столь прочным сплавом формального с содер­ жательным, что преобразовать ее к элементарным дей­ ствиям, выделить в чистом виде формальный компонент (декодировать) трудно, даже при специальном стимули­ ровании извне. Мы приходим к выводу, что наряду с при­ сваиванием мышлением «предписываемых» ему формаль­ ных структур приходится признать невозможность пол­ ной формализации психологической модели мышления.

Переходим теперь к проверке полученных результатов в обучающем (формирующем) эксперименте, к построе­ нию механизма, отраженного в операторно-логической модели обучения.

4. Алгоритмизация формирования понятия «определенный интеграл»

Напомним, в двух словах, суть нашей гипотезы. При формировании знаний мышление идет от развернутых структур, отраженных в математической модели опера­ торными формами, к сокращенным образованиям, кото­ рым соответствуют логические формы. Если так, то из этого следует важная методическая рекомендация. Про­ цесс обучения должен быть организован преимуществен­ но в направлении от операторного к логическому, от вы­ полнения развернутой системы действий к окончательно­ му знанию, когда эти действия выступают в идеальной форме логических связей.

Поясним на простейших примерах.

Обратим внимание—здесь не указано, как проверить кратность чисел трем. Дается только логическая связь, которую можно отразить формулой: (х-^у)&(у^-х) . Пред­ полагается, по-видимому, что школьники при решении примеров в состоянии самостоятельно «разменять» связи на соответствующую систему арифметических действий. Обычно правило подкрепляется несколькими примерами, решенными учителем, и создается впечатление, что оно

•усвоено. Однако многие учителя и методисты обратили внимание, что школьники не руководствуются правилом, а поступают по образцу — решают примеры так, как по­ казано на доске. Их «правилосообразные»действия идут не от правила, не плюс к правилу, а скорее вместо пра­

то и данное число кратно трем. Если нет, то число не кратно трем. После нескольких примеров сообщается

синуса произвольного аргумента равна 1.

Здесь отражен процесс сокращения структуры за счет объединения умственных действий на пути к окончатель­ ному знанию (3-й вариант).

Хорошо, скажет читатель, но откуда мы знаем, что такая (или подобная) последовательность изложения со­ ответствует реальному мышлению учащихся, т. е., что в голове все происходит так, как описано в модели. Можно бы сослаться на педагогический опыт, экспери­ мент. Однако мы предвидим возражения. В констати­ рующем эксперименте обучения с помощью алгоритмов снимаются только отдельные срезы. Но по нескольким «точкам» мыслительный процесс строится неоднознач­ но. Следовательно, модель может оказаться произ­ вольной.

Мы теперь попытаемся показать в обучающем экспе­ рименте, что обучение с помощью алгоритмов по способу последовательного свертывания действия формирует ло­

гическую модель знания, позволяющую эффективно ре­ шать задачи. Для этого использовано формирование по­ нятия определенного интеграла, предусмотренного ноной школьной программой в X классе.

Определенный интеграл является примером понятия, которое, ввиду его сложности, невозможно ввести иначе, чем в виде некоторой процедуры действий. Суть в том, что определение понятия как предела суммы некоторого вида не содержит явно состава действий. Отсутствует указание логико-математических операций и порядка их выполнения. Как показывает опыт, определение не раз­ вертывается автоматически в упорядоченную совокуп­ ность действий, обеспечивающих решение задач. Поэтому понятие обычно дается в виде описания.

Пусть функция y=f(x) задана в промежутке [а, Ь].

произвольной точке: ■£<>, Еі, • • -, Еп-і.

П—1

г) Составим интегральную сумму: ^ /( £ г-)-AJC2-и т. д. г=о

Постановка эксперимента

Для решения задач мы сообщали учащимся следую­ щий алгоритм.

1.Среди переменных, которыми определяется искомая величина (z ), найти ту, при постоянстве которой задача сравнительно легко решается. Обозначить ее у.

2.Обнаружить величину х, от которой зависят z я у.

3.Если зависимость у от х не дана, то найти ее.

4.Начертить отрезок, изображающий условно проме­ жуток изменения х и указать конец его, соответствующий наименьшему значению искомой величины (начало отсче­ та). Направление возрастания х указать стрелкой.

5.Разбить отрезок на п частей (можно — равных) —

элементарных отрезков и обозначить их длины Дх'о, Ахі, ..., Дл-я—I.

6. На каждом элементарном отрезке выбрать по одной произвольной точке и обозначить расстояния этих точек до начала соответственно: |о, ..., %п-\-