книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Пне не закончено. Оператор Ё отражает выбор дальней­ шего шага после чего вновь срабатывают («вложен­ ные» в третий) первый и второй циклы. Завершение 3-го цикла происходит при г = 0 — свидетельство о полу­ чении ответа.

Итак, 3-й цикл (продвижения) =выбор действия + + свернутое (пробное) выполнение действия (1-й цикл)+ -[-развернутое действие (2-й цикл). Такова формула функционирования нашей модели.

Циклы отражают замкнутые психические акты, и их связь, единство осуществляется с помощью логических условий *К Действительно, процессом управляют логи­ ческие условия р и г , которые, в конечном итоге, опре­ деляются величиной рассогласования. Чтобы имело ме­ сто сравнение рассогласований в последовательных действиях, каждый раз необходим возврат к началу (цикл), т. е. наличие обратной связи в психологической модели мышления. В рассмотренном случае управляю­ щий сигнал о целесообразности выбранного преобразо­ вания вырабатывается вследствие сравнения результата промежуточного действия с эталоном-— известным отве­ том. Однако в ряде случаев этого недостаточно**!, и возникает потребность во внутренних стимулах. Вопрос решается с помощью состояния, формализованного логическим условием q.. Предварительное сокращенное («свернутое») выполнение действий на основе наиболее общих функциональных координат является, по-види­ мому, вынужденной формой организации самоконтроля, особенно при отсутствии или недостаточности внешних эталонов для сравнения. Контрольный механизм про­ цессов «свертывания — развертывания», о котором мы писали ранее, очевидно, есть не что иное, как отражен­ ная в сокращенных логических формах модели антици­ пирующая схема решения (Зельц).

Слабостью процесса «свертывания» объясняются попытки многих учащихся е ограниченными математи­ ческими способностями решать задачи «в лоб», без предварительной прикидки, предположения о возмож­ ном результате [133]. Фактически речь идет о неспособ­ ности их психики к организации эффективно действую-

*> Это согласуется с представлениями Н. А. Бернштейна о дис­ кретных и непрерывных составляющих нервных сигналов [14], а так­ же с гипотезой акцептора действия П. К. Анохина [6].

**•> Хотя бы в тех задачах, где ответ неизвестен.

Щей линии обратной связи, отражаемой недостаточной активностью операторно-логической модели. Так, идеи кибернетики позволяют по-новому взглянуть на природу и структуру математического творчества. К этому во­ просу мы вернемся в § 5 в связи с проблемами програм­ мированного обучения.

3. Свернутость умозаключений как парциальное проявление силы нервной системы

I. Мы сознаем, что описанные выше модели имеют фрагментарный характер и речь идет скорее о разведке, подходе к построению моделей мышления, о некоторых моментах, которые для этого полезны. Приведенные схемы требуют «развертывания», наполнения конкрет­ ным содержанием в реальной ситуации обучения.

Несомненно, центральной психологической «пружин­ кой» в механизме так называемого озарения является процесс свертывания информации, проникновения в за­ дачу на уровне сокращенной логической формы, ее основных ориентиров — логических координат. Это, повидимому, относится не только к оператору F свернуто­ го выполнения действия. Операторы А, Р предполагают оценку и принятие решения на основе минимизирован­ ной логической формы. Действия в снятой форме логи­ ческих координат составляют внутреннее содержание операторов выбора С, D, Е и т. д.

обсуждавшемуся в данной книге, и рассмотреть его в новом плане — под углом зрения парциального прояв­ ления силы нервной системы в математической деятель­ ности. Этот вопрос, в связи со способностью школьников к математике, впервые поставлен В. А. К'рутецким і[52]. На важность проблемы парциальных типов для изуче­ ния специальных способностей указывал Б. М. Теплов [ПО], [111].

Методика и организация эксперимента

В описываемом эксперименте, состоящем в решении геометрической задачи на построение, участвовало 20 девятиклассников, математические способности которых были изучены предварительно в ходе длительного на­ блюдения и экспериментирования. В исследовании были

б) Нахождение точки пересечения двух прямых. В данной конкретной ситуации они выглядят так.

Учащимся предстояло выбрать из того, что они зна­ ют, необходимые сведения и привести их в определен­

проанализировал решение, исследовал его на единст­ венность и непротиворечивость, т. е. воспринял решение обобщенно. Аналогичное явление имело место и у дру­ гих учащихся со средними математическими способно­ стями. Возникает вопрос, почему они не смогли само­ стоятельно решить задачу. Можно было подумать, что более способные учащиеся интуитивно «увидели» необ­ ходимые построения, а другие, вследствие ограниченно­

отсутствием более точного специального термина мы будем условно называть быстроту нашего специфичного переключения лабильностью математического мышле­ ния. Эксперимент показывает, что одна лишь лабиль­ ность мышления еще не определяет успеха при решении, задачи. Так, некоторые учащиеся рассмотрели все 3 варианта решения, сравнительно легко переходили от одной стратегии к другой (т. е. проявили высокий уро­ вень лабильности) и все же не обнаружили центрально­ го звена решения, т. е. симметричного отображения одного из концов отрезка относительно /. В связи с этим встает вопрос о некоторых достаточных условиях, обе­ спечивающих догадку.

Уже было отмечено, что и у испытуемых, справив­ шихся с заданием, путь к решению задачи далеко не всегда прямолинеен: имеются пробы, колебания, отступ­ ления, переключения. Действительно, учащийся, остано­ вившись на некоторой стратегии, сосредоточенно дума­ ет в «выбранном направлении», ищет план решения, «нащупывает» стыки между операторами D и Е. Прохо­ дит некоторое время, и он переключается на другую стратегию. Время ушло на «пробные шаги», угадывание очередного хода, мысленное прикидывание. Приводим психологический отчет учащегося Д., решившего задачу

чек А и В пересекались на прямой ... Это не удалось. (В работе действительно имеется 2 чертежа, отражаю­ щие соответствующие попытки построения окружности—

Одно только мелькнуло: углы 1 и 2 всегда равны. (Независимо от положения точки С на прямой — С. Ш.)

тельно / и даже сделал соответствующее построение. Это подтверждается также анализом его работы и на­ блюдениями по ходу ее выполнения. Однако Ч. не оце­ нил значения этого шага и прошел мимо решения за­ дачи.

Таким образом, Д. и Ч. оба сделали правильный первый шаг, однако Д. решил задачу, Ч. — нет. Тот факт, что у Д. симметрия «сработала» в данной ситуа­ ции и за первым построением последовало второе, сви­ детельствует о широте, обобщенности усвоения понятия симметрии точек относительно прямой. Однако, как указывалось выше, Ч. также мыслит обобщенно, и все же у него симметрия только «проявилась». Дело в том, что Д., еще фактически не выполнив первого построения, уже «видел» следующий шаг, более важный, завершаю­ щий. Создается ситуация, когда учащийся словно пере­ скакивает через первый этап, который, как мы видели (совсем или частично), не отражается в сознании уче­ ника. В связи с этим результат субъективно восприни­ мается как ничем не детерминированный. Происходит то, что П. А. Шеварев называет свертыванием рассужде­ ний и соответствующих действий [137]. Процесс мышле­ ния у Д. непрерывен за счет «свертывания» умозаклю­ чений. В итоге — быстрый синтез логических форм из отдельных координат *).

Мышление Ч., напротив, прерывно, дискретно, раз­ вернуто. Он не способен сразу, одноактно увидеть, про­ делать несколько шагов вместе, слитно. В этом суть. Это не значит, что мышление Ч. инертно. Наоборот, Ч. быстро делает предположения, пробует, переходит от одной стратегии к другой. И все же скорость этих опе­ раций не становится у него скоростью переработки полезной информации, т. е. мерой приближения к цели. Речь идет об особом свойстве психики («дальновиде­ нии») •— способности как бы мгновенно увидеть и про-

*> В модели можяо, іпочвидимому, 'Говорить о «дальнодействии» стратегического оператора, обеспечивающего эффективное переклю­ чение с одного значения оператора Е (тактического выбора) на другое.

извести последующие действия, не производя явно пре­ дыдущих.

Теперь мы подошли к главному — мыслительная функция способных к математике учащихся в большей степени определяется эффективностью оператора F свер­

пытуемые. Анализ процесса «мышления вслух» при решении учащимися задачи полностью подтверждает факт временной неожиданности догадки. Может пока­ заться, что учащиеся после .построения симметричной точки пришли к известной задаче, к ранее усвоенной логической форме и, не решая, просто вспомнили ответ. Но в том-то и дело, что они таких или подобных задач прежде не решали. Далее, если бы здесь имел место акт

процесса переработки информации, своеобразном каче­ ственном скачке, характерном для математического мышления способных к математике школьников. Если рассмотреть нешаблонную задачу как сильный раздра­ житель, а ее решение как ответную реакцию, то вероят­ ной предпосылкой изменения скорости (возникновения

структуры, а уплотненная непрерывность. Не претендуя на полную адекватность гипотетической «силовой» модели, попытаемся объяснить на её основе некоторые факты.

1) Многократно отмеченный в литературе феномен связи между так называемыми осознаваемыми и неосо­ знаваемыми процессами в умственной деятельности можно, вероятно, объяснить тем, что «свернутость», являющаяся во многих случаях причиной неосознавания, есть функциональное состояние, связанное с опре­ деленным скоростным режимом работы соответствую­ щих информационных каналов. Возрастание скорости переработки информации выше некоторой грани снижа­ ет степень сознавания процесса, и, напротив, уменьше­ ние скорости — приводит к его осознаванию.

В [116] высказана гипотеза о том, что сила нервной системы является причиной, превращающей общую под­ вижность, скорость вообще в скорость переработки полезной информации. Если так, то мы здесь, возможно, сталкиваемся с особым проявлением силы при перера­ ботке математической информации. Это согласуется с ги­ потезой В. А. Крутецкого о парциальном проявлении силы нервной системы в математической деятельности

успособных к математике школьников [52].

2)«Свертывание» зависит от способности нервных каналов к одновременной переработке больших объ­ емов информации при минимальном торможении; оно обеспечивается выдерживанием длительного возбужде­ ния (при решении математических задач) без обнару­ жения запредельного торможения и, следовательно, связано с наблюдаемой повышенной умственной работо­ способностью способных к математике школьников [116].

3)Возможны 2 пути к «свертыванию»: постепенное преодоление инерции нервных каналов в результате большого числа однотипных упражнений и быстрое свертывание вследствие особой «податливости» нервной системы, её готовности к проведению информации при минимальном торможении. Экспериментально установ­ лено, что именно во втором случае мы сталкиваемся