книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

й они актуализировались без видимой ойорЬі tià reoMet-

рические представления *\

Еще резче различие в геометрическом и аналитическом подхо­ дах учащихся проявилось при решении следующей задачи. «На олим­

Основой решения задачи служит геометрическая модель, которую условно назовем «круговой координатой». Опираясь на свою мо­ дель, III. уже после решения задачи нашел возможность упростить аналитические рассуждения, т. е. более экономно развернуть логи­ ческую координату в операторную структуру. Приводим протоколь­

ІУ + г = 7

— 2z = 5 не имеет целых корней.

Итак, х = 8; и = 2; z = 2; у = 6».

Решение А. (Для удобства сравнения с решением Ш. изменим обозначения). А. использовал «прямоугольную модель» (рис. 33).

Заштрихованная часть — 25. Из рисунка 2 5 + 3 z+ 1 == (Зг+и)4; 9z+4u = 26, и А. пришел к тому же решению, что Ш. На наш вопрос,

*> Убедительный пример. На вопрос, могут ли синус и косинус одного аргумента быть одновременно равны нулю, одни учащиеся отвечают: «Нет, иначе сумма их квадратов не равна единице» («ана­ литики»); другие — «Нет, синус обращается в 0 на концах горизон­ тального диаметра, косинус — на концах вертикального» («геомет­ ры») .

как он догадался сделать такой чертеж, А. ответил: «Можно иначе». И, почти не задумываясь, привел «точечную модель». Точнее, заме­

В отличие от предыдущих, решение испытуемого Д. чисто ана­ литическое. Познакомившись бегло с условием, Д. сказал, что в за­ даче, по-видимому, 7 неизвестных, которые можно связать уравне­ ниями. Еще не представляя себе ясно картины в целом, он (если пользоваться предыдущими обозначениями) по ходу чтения задачи получил систему уравнений:

х-\-у z-\- и-\-ѵ w 1 = 2Ъ.

y+u= 2(z+u),

x = v + w + t+l,

1

x=~2 ~ Lx+y+z).

Сделав ряд преобразований, Д. пришел к уравнению 9с+4и=26 и легко справился с ним. Когда мы после получения этого уравне­ ния попросили Д. наглядно изобразить зависимость между данными, то оказалось, что никакие наглядные представления в связи с ре­ шением данной задачи у него не возникли. Однако, несколько поду­ мав, Д. промоделировал задачу геоме­ трически. Его модель можно условно назвать линейной (рис. 35).

и+ (Зг+и)3—1 =25; 9г+4и = 26.

Таким образом, дело вовсе не в том, что Д. не способен к образованию на­ глядных моделей. Он просто не испыты­ вает нужды в них, аналитическое реше­ ние ближе складу его математического мышления. С другой стороны, Ш. и А. свободно решают задачи аналитически­ ми методами. Можно было предполо­ жить, что Д. приучен преимущественно

каналитическому решению задач, а Ш.

иА. — « опорам на наглядно-образные интерпретации. Однако, как

показывают другие эксперименты и многочисленные наблюдения, все учащиеся одинаково хорошо справляются как с чисто геометрически­ ми, так и с алгебраическими задачами, не имеющими геометрического истолкования. Речь, таким образом, идет об устойчивых индивиду­ альных особенностях математического мышления, вероятно, о гео­ метрическом и аналитическом «стиле» проявления математических способностей [53].

При геометрическом решении задача как бы воспринимается сна­ чала в целом, без деталей, как единый наглядный образ. Логиче­ ская, а затем и операторная формы возникают на базе первичного индуктивного «схватывания» связей, и можно говорить о своеобраз­ ной геометрической интуиции [48]. Напротив, аналитическое решение начинается с логико-математического анализа, с логических коор­ динат и завершается образованием связного образа. Таким образом, решение математических задач, в соответствии с индивидуально-

психологическими различиями учащихся, опирается то на логические координаты и их сочетания (а в стереотипных задачах — на готовую форму знаний), то на интуитивные представления. В сложной задаче эти факторы действуют в сочетании и образуют экономную компози­ цию, которую математики называют красивым решением.

Рис. 34.

Напомним, что оба компонента творческого мышления — логиче­ ские координаты и интуитивные представления — возникают в ре­ зультате свертывания операторно-психологических, а затем и логи­ ческих структур умозаключений. Поэтому представляет интерес и другой подход к проблеме — исследование феномена «озарения» при

2 5

Рис. 35.

решении математических задач с позиций парциального проявления силы нервной системы в связи со скоростью и эффективностью про­ цесса «свертывания». Этот вопрос был подвергнут нами специальному экспериментальному изучению и рассматривается в § 3, гл. IV.

III. Ясно, что не все координаты, участвующие в син­ тезе решения задачи, играют одинаковую роль. Среди них есть ведущие, после актуализации которых даль­ нейшее решение почти не вызывает затруднений. Такие координаты назовем главными. Нас, естественно, инте­ ресуют способы распознавания главных координат,

Задача. В выпуклом п-угольнике все (внутренние)

Однако, когда решение задачи предстает в готовом виде, не всегда просто найти главные координаты. Не­ легко их обнаружить и в процессе решения.

Опишем кратко специальный эксперимент, имевший целью выявить главную координату решения 2. В нем участвовало 4 девятых класса с примерно равным со­ ставом учащихся. Задача решалась в течение 10 минут. В первом классе (9і) задача была предложена на уроке после изучения не связанного с ней материала. В клас­ се 92 задача дана при повторении свойств внутренних и внешних углов многоугольника. - В классе 93 условие сопровождалось указанием: «Рассмотрите внешние углы многоугольника». В классе 94— указание: «Рассмотрите сумму внешних углов многоугольника». Таким образом, в каждом следующем классе, при прочих равных усло­ виях, усиливался стимул к актуализации координаты (2).

9з и 94: первым способом никто не решил, вторым — со­ ответственно 70% и 85%. Эксперимент, по-видимому, дает основание заключить, что Einlall при решении за­ дачи обязан преимущественно координате (2). Таким образом, вопрос о главных координатах решается путем допущений и экспериментальной проверки. Аналогично выявлена главная координата первого решения — нера­ венство: 2d(n—2 ) ^ n d для п'^4. (Так как условие (5) этому противоречит, то я<4.)

Обратим внимание, что в рассмотренных случаях главными координатами оказались числа или отношения, инвариантные относительно варьируемых данных зада­ чи: в первом решении неравенство справедливо для

тенузы и высоты не входит явно прямой угол. Если признак сознается, то он является логической координа­ той. Сознавание может быть адекватным и неадекватным.

Сознавание координаты адекватно, если оно отра­ жает истинную (объективную) роль признака в харак­ теристике ситуации. Если отражение неполно или не­ верно, то сознавание неадекватно.

П р и м е р : sin 2a=2sin а • cos а.

Начальная ситуация (1-й вариант). 1) Синус. 2) Сложный аргумент, состоящий из: а) простого аргу­ мента, б) коэффициента 2 при нем. Требование. Выра­ зить через синус и косинус простого аргумента. Ответное действие. 2 умножить на синус и косинус простого аргумента. Здесь все координаты сознаются адекватно, и действие выполнено верно.

2-й вариант. 1) Синус. 2) Сложный аргумент, состоя­ щий из: а) простого аргумента а, б) коэффициента при нем. Ответное действие. Коэффициент умножается на синус а и на косинус а.

В обоих вариантах отражения ситуации ответ вер­ ный. Однако во втором случае координаты 2(a) и 2(6) сознаются неадекватно — правильный результат получен на основе ошибочного решения задачи. Чтобы в этом убедиться, достаточно изменить условие. Так, sin За мно­ гие учащиеся представляют как 3sina-cosa — соответ­ ственно второму варианту сознавания координат. Лож­ ность результата сигнализирует об ошибочности ре­ шения.

Итак, при правильном ответе сознавание признаков может быть: 1) Адекватным. 2) Неадекватным. 3) Ос­ лабленным (неполным). В последних двух случаях дей­ ствие часто выполняется на основе ошибочных связей.

Например, признак 2 в примере с прямоугольным тре­ угольником. Неадекватно сознаваемые признаки будем называть квазиинформационными координатами. Ослаб- ленно-информационные признаки впервые исследованы П. А. Шеваревым. На основе сформулированной законо­ мерности [137] ему удалось объяснить некоторые ошибки школьников при выполнении алгебраических преобразо­ ваний. Позднее оказалось, что эта закономерность дей­ ствует также в арифметике [146] и геометрии [107].

Закономерности up оявления квазнинфар мaционных координат, кажется, специально не исследовались.

Координаты 2 и 3 — квазиинформационные, хотя сих помощью (в данном случае) все же получается правиль­ ный ответ. Если учащиеся действительно ориентируются этими признаками, то можно ожидать, например, сле­ дующего выражения для tg3<x:

Такие ошибки действительно имеют место в школьной практике, если после изучения формулы тангенса двой­

учащимся представить по этой формуле, скажем, tg3a.

Большое число ответов имело вид: (a + b)3 = a3 + 3ab + Ь3. Анализ, а также последующая беседа позволили выяс­ нить, что эти учащиеся в формуле (a + b)2=a2 + 2ab + b2 опираются на признаки: 1) Сумма двух чисел. 2) Сте­ пень этой суммы. Ответное действие. Каждое число возводится в указанную степень, и к сумме степеней прибавляется произведение чисел, умноженное на пока­ затель степени. Вторая координата является квазиинформационной, хотя в формуле квадрата суммы она «работает» и приводит к правильному ответу.

Аналогичное явление имело место в 8 классе, когда учащимся было предложено возвести в квадрат трех­

координаты квадрата суммы: 1) Сумма нескольких чи­ сел. 2) Квадрат этой суммы. Ответное действие. Сумма квадратов всех чисел, сложенная с удвоенным произве­ дением этих чисел. Координата 1 и связанные с ней действия являются квазиинформационными, и все же, в случае двух слагаемых ответ верный. Таким образом, одна и та же ситуация субъективно может характеризо­ ваться различными, неравносильными наборами логи-

196

ческих координат. (Или неравносильными интерпрета­ циями одних и тех же координат.)

Результаты приведенных и многих других наблюде­ ний и экспериментов дают основание высказать следую­ щую гипотезу. Пусть при каких-то (ограниченных) усло­ виях задачи опора на различные интерпретации коорди­ нат (в том числе — на квазиинформационные) в равной степени приводит к правильному ответу. Тогда с повто­ рением этих условий:

1)Возрастает степень сознавания одной из интер­ претаций координат. Если эта интерпретация содержит квазиинформационные координаты, то решение оши­ бочно.

2)Уменьшается степень сознавания других интер­ претаций.

3)Ошибочность решения может проявиться при из­ менении условия, когда становится необходимой опора на другие интерпретации.

Отсюда — методический совет. В каждом конкрет­ ном случае обучения педагог должен учитывать воз­ можные интерпретации координат, обеспечивающих уча­ щимся правильное ответное действие. Если имеются интерпретации, содержащие квазиинформационные ко­ ординаты, то нужно как можно раньше нейтрализовать их влияние, предупреждая учащихся от возможных оши­ бок в рассуждениях. Организуют также специальную систему упражнений с целью поставить учащихся в ус­ ловия, когда использование этих интерпретаций приво­ дит к неверному ответу.

Гипотеза имеет общую часть с закономерностью

П.А. Шеварева.

1)Особенность сознавания признака не соответст­ вует объективной роли этого признака в характеристике ситуации (неполное сознавание, неадекватное сознавание).

2)Особенность сознавания не служит препятствием

для правильного выполнения ответного действия —

вопределенных условиях.

3)Эти условия повторяются. Дальше идет различие. По Шевареву: степень сознавания признака уменьшает­ ся. Согласно нашей гипотезе: если по каким-либо при­ чинам возникло, в частности, неадекватное сознавание признаков, то степень этого сознавания возрастает. Таким образом, закономерность П. А. Шеварева носит

ного сознавания. Но как только условие окажется вы­ полненным, оба психологических процесса уже работают в одном направлении — усиление особенности сознава­ ния.

Есть, однако, подход, объединяющий, на наш взгляд, оба феномена и позволяющий видеть в них проявление более общей закономерности психики. Суть этого под­ хода такова. При прочих равных условиях из возмож­ ных интерпретаций признаков, в первую очередь, актуа­ лизируются те, которые позволяют решить задачу ценой »меньшего числа и более простых действий. Укажем, по крайней мере, 3 случая, когда это имеет место.

1. Одним или несколькими признаками представля­ ется возможность пренебречь, не учитывать их (они исключаются из сферы сознавания). Соответственно сокращается состав действий. Этот случай исследовался П. А. Шеваревым. Так, если требуется представить трех­ член в виде квадрата суммы, то: а) складывают осно­ вания данных квадратов, б) полученную сумму возво­ дят в квадрат. Элиминировано и может не сознаваться

.контрольное действие: проверить, является ли второй член удвоенным произведением оснований квадратов.

2. Некоторые признаки инвариантны (постоянны) относительно исходной и производной ситуаций. Срав­ ним действия (отраженные в модели соответствующими операторами) в двух вариантах интерпретации призна­

синуса и косинуса правой части равенства.

Здесь левая и правая части инвариантны относитель­ но коэффициента и аргумента — последние в неизмен­ ном виде перешли из левой части в правую. Кроме того, также «сэкономлено» одно действие. Для sin 2а обе

интерпретации, как легко убедиться, приводят к одина­ ковым ответам. И если учащиеся «воспитаны» на при­ мерах такого типа, то, как показывает опыт, у них чаще будет актуализироваться более простая, но, в общем, ошибочная вторая интерпретация координат.

3. «Простота» признака или действия — в большой степени субъективная категория. Так, интерпретация признаков, опосредованная прошлым опытом учащихся, может оказаться более доступной и приемлемой, даже если она объективна, возможно, и не проще других ин­ терпретаций.

П р и м е р ы , а) Нередки ошибки типа: 2~3=1/}//'~2 (при условии знания соответствующих правил). Анализ показывает, что учащиеся, допускающие ошибку, в об­ щем, правильно оценивают ситуацию: необходимо изба­ виться от знака минуса в показателе степени. Однако действуют они в соответствии с другой, более привычной ситуацией. Оказывается, в большинстве «родственных» ситуаций, с которыми учащимся приходилось иметь дело ранее, степени, как правило, имели' одновременно отри­ цательные и дробные или только дробные показатели. Ошибка явилась результатом «наложения» прошлого

опыта. (Действительно, 2~Ѵ3= 1/1/ 2.) Признак, ранее многократно повторявшийся и приводивший неизменно к правильному решению, воспринимается и тогда, когда он заменен другим признаком.

б) —х2+Аху—4у2 = —(х2—Аху + Ау2) = — (х—2г/)2 =

= (х—2у)2. Мы привели решение примера учащегося 8 класса П.

Вот выдержка из протокола. П. « ... Теперь изменяем знак и получаем ответ...» Экспериментатор: «Изменяем знак!?» П. «Умножаем на —1 ...»

Далее выясняется, что учащийся «интерпретировал» равенство — (х2—Аху + Ау)2= — (х—2у)2 как уравнение. Характерно, что учащиеся 6 класса,-не знакомые с ре­ шением уравнений, ошибок типа «отбрасывания минуса» не делают. В обоих примерах координаты, приведшие к ошибкам, были ранее информационными. Но ситуация изменилась, и они продолжают действовать уже как квазиинформационные.

В связи с этим сформулируем следующий принцип наложения, или индукции. Если общей частью двух форм являются логические координаты одной из них, то при совместной актуализации этих форм другие при-