книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

7. Один из элементарных отрезков (произвольный) считать і-ы (итым). Его длина Ахи соответствующая точ­ ка і і .

8. Условно допустить все величины, через которые определяется искомая величина на і-м отрезке, постоян­ ными, равными значениям, которые они принимают в точ­

всем промежутке изменения х равно сумме ее значений на элементарных отрезках. Если нет, искать вместо тре­ буемой другую величину, обладающую этим свойством

ичерез которую выражается требуемая величина.

10.При допущениях, перечисленных в указаниях 8, 9,

найти приближенное значение искомой величины Azi (или заменяющей ее величины) на отрезке Дду.

11. Составить сумму приближенных значений иско­

мой величины на всех элементарных отрезках: лг—Ï

о 1=0. „

значений Ах.

14.Вынести постоянные множители за знак предела.

15.Заменить предел интегральной суммы определен­ ным интегралом, взяв за границы интегрирования значе­ ния X, соответствующие концам промежутка его измене­ ния.

16.Вычислить полученный интеграл-

17.Определить параметры (коэффициенты) на основе условия задачи.

18.Записать значение искомой величины.

К алгоритму прилагается список 10 задач, решение которых выполнено как реализация предложенного алго­ ритма. Для каждой задачи имеется контрольная задача, которую нужно решить самостоятельно.

Эксперимент по обучению определенному интегралу с помощью алгоритма поставлен впервые <в 1952—54 уч,

о

16.36

4 - е * 3

17.—

ходила перестройка самой программы действий. (Эти особенности мышления учащихся были нами учтены в изложении решенных задач.) В решениях испытуемых неизменно сохранились указания 1, 2, 3, а также указа­ ния 8—10, вызывающие, как правило, наибольшие за­ труднения, т. е. именно те указания, которые варьиру­ ются в задачах и выполнение которых отличает решение одной задачи от другой. Эти указания содержат значи­ тельную неопределенность, следовательно, наиболее информационно насыщены.

Таким образом, усвоение алгоритма происходит по линии все большего свертывания элементов, присущих всем задачам, в пользу подчеркнутого вычленения указа­ ний, заключающих индивидуальные особенности данной задачи или групповые особенности некоторого класса задач.

и др. К этим формулам испытуемые, как правило, при­ ходили самостоятельно при решении соответствующих задач в общем виде.

Таким образом, вместо ожидаемого шаблона, связан­ ного, казалось бы, с природой алгоритма, учащиеся при­ шли к творческому усвоению метода, который они при­ способили к своему мышлению. При этом индивидуаль­ ные особенности проявились не только в скорости овладевания алгоритмом для приложения его к решению за­ дач, но (и особенно отчетливо) в быстроте и эффективно­ сти свертывания программы.

Вот как спустя месяц решалась задача. «Какую рабо­ ту нужно совершить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму обращенного меньшим основанием вниз усеченного конуса с радиусами оснований R u r и высо­ той Н.?» (Рис. 16).

откроют описанный или аналогичный алгоритм и пег нужды навязывать нм готовую обобщенную схему рассуждений. По в том-то и дело, что, как показывает изу­ чение материала в контрольных группах, большинство учащихся, даже после решения 10 задач, в более или ме­ нее трудных ситуациях не знали, с чего начать, что де­ лать дальше. С другой стороны, под руководством преподователя («Попробуйте найти то-то...», «А если бы эта величина была постоянная?» и т. д.) они справились с задачами.

Эти учащиеся, оказывается, видят единство задач лишь в том, что все они решаются с применением опреде­ ленного интеграла. Выходит, не единство содержания за­ дач, описанных в них процессов определяет возможность применения интеграла, а наоборот, сам интеграл якобы сообщает общность этим процессам. Следствие неправо­ мерно поставлено на место причины. Игнорирование алгоритмической структуры решения задач не проходит безнаказанно для качества знаний. Уже через полгода учащиеся, неплохо решавшие в свое время задачи, справ­ ляются только с наиболее простыми из них, для которых достаточно знания готовых формул. В отличие от них наши испытуемые и после более длительного срока реша­ ли довольно трудные задачи, даже если они не помнили соответствующих формул. Характерно, что многие из них, как правило, забыли алгоритм. Сохранились лишь— и то фрагментарно — некоторые указания: 1, 2, 3, 7, 8, 10, 15. Этого оказалось достаточным для решения задач, восстановления необходимых формул. Так квантифици­ руется материал, и с помощью малых порций в мышле­ нии и памяти создается оптимальный режим переработ­ ки информации. В своих высказываниях большинство испытуемых говорило не о формулах, а о методе инте­ грирования.

Отметим в заключение, что нам удалось в сравни­ тельно короткий срок обучить учащихся техникума реше­ нию таких задач, с которыми обычно с трудом справля­ ются студенты технического вуза. Особенно хорошие ре­ зультаты по сравнению с традиционным изучением полу­ чились у студентов заочных и вечерних отделений, заня­ тых на производстве, в основном, практической работой, с более низким уровнем теоретического мышления.

Выводы. Каждое указание алгоритма неявно включа­ ет 2 вопроса: «Что делать?» и «Как делать?».

Алгоритм содержит указания 3-х видов. Указания 1-го вида отвечают сразу на оба вопроса: 4—7; 11 —13; 18. Указания 2-го вида явно решают вопрос «Что делать?». На вопрос «Как делать?» отвечают известные алгоритмы (методы, правила): 14—17. Наконец, имеются указания 3-го вида, для которых структура действий не поддается единому описанию — нет алгоритмов реализации указан­ ных действий: 1—3; 8—10. В них локализована наиболее трудная, творческая составляющая решения задачи. По­ добно тому, как механическое движение не исключает более сложных форм движения, алгоритмирование не исчерпывает всего многообразия неприводимых форм ма­ тематического мышления (см. приложение 1) - Роль алго­ ритмов вовсе не в подмене творческого компонента за­ дачи. Алгоритмирование понятия способствует организа­ ции такого режима мышления, когда основные психиче­ ские усилия обучающихся сосредоточиваются на наибо­ лее сложных указаниях — 3-го вида, а указания первых двух — выполняются как бы при «выключенном созна­ нии». Результатом являются не только более глубокие и прочные знания, но — и самое ценное — накопление мате­ матического развития учащихся, важным элементом ко­ торого является умение правильно мыслить. Экспери­ мент, по-видимому, подтверждает гипотезу о развитии мышления в процессе усвоения знании от развернутых операторных структур действий к свернутым логическим моделям. Это согласуется с нашей операторно-логической моделью обучения.

Наконец, как и в предыдущем параграфе, приходим к выводу о невозможности полного описания процесса решения задач с помощью алгоритма.

5. О «раздвоенности» понятий

Исследуем в свете операторно-логической схемы обу­ чения феномен раздвоенности понятий — вида «разрыв­ ного» мышления, когда единое понятие, в соответствии с процессом его возникновения, распадается на несколь­ ко относительно независимых образований.

Для примера рассмотрим распознавание ~ как тан­

генс угла а. Приведем развернутые алгоритмы, которы­ ми руководствуются учащиеся на начальных этапах усвоения.

I. Распознавание тангенса острого угла в прямо­ угольном треугольнике. Опорные понятия: прямоуголь­ ный треугольник; острый угол; противолежащий и при­ лежащий катеты.

Указание 1. Проверь, является ли а острым углом в прямоугольном треугольнике — оператор А. Если яв­ ляется, переходи к указанию 2. Если нет — к указанию 5.

<1, если да,

а — {

\0 —в противном случае

Указание 2. Посмотри, будет ли т противолежащим катетом — оператор В. Если будет, переходи к указа­ нию 3. В противном случае — к указанию 5.

f 1, если будет,

\0 — в противном случае.

Указание 3. Проверь, будет ли п прилежащим кате­ том— оператор С. Если п — прилежащий катет, пере­ ходи к указанию 4; если нет — к указанию 5.

/1, если п — прилежащий катет,

\0 — в противном случае.

Указание 4. Заключение: т/п = tgcc — оператор D. _ Указание 5. Заключение: т /п ф t g а — оператор D. Алгоритм Ляпунова — Шестопала:

Его логическая форма abc (5.2) словесно читается: если а — острый угол в прямоугольном треугольнике, то tg a есть отношение противолежащего катета к приле­ жащему.

II. Распознавание отношения как тангенса про­

извольного угла. Для удобства пользуемся в обозначе­ ниях прежними буквами. Опорные понятия. Система координат; подвижный радус-вектор; направленный угол, а также утверждение: если точка взята на направ­ лении радиуса-вектора, то отношение ее ординаты к абсциссе есть величина постоянная для данного на­ правления.