книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

Понятие сформировано. Получился сгусток знаний, «сжатых» в одну мысль» (Ланда).

4.Когда мы говорим о формах понятий, то имеются

ввиду формы отражения понятий алгоритмическими структурами. Так как обе формы, операторная и логи­ ческая,— это, по существу, правила для эффективного решения вопроса о принадлежности «элемента множест­ ву» (например, о принадлежности данного отрезка мно­

жеству объектов, удовлетворяющих понятию высоты), то они являются формализованными понятиями в смыс­

ле Чёрча (гл. I, § 2).

Операторная форма алгоритма отлична от простой суммы операторов. В ней оператор формализует не толь­ ко действие, но, в известном смысле, также последствие, т. е. «вызов» следующего оператора. Такая упорядочен­ ность согласуется с непрерывным характером психологи­ ческих процессов. В связи с этим операторная форма алгоритма ставится в соответствие понятию в психологи­ ческой модели, как оно проявляется во взаимодействии

субъекта с объектом.

Логическая форма алгоритма отражает понятия в зна­ ниях, когда они рассматриваются с точки зрения логи­ ческой структуры. Ей, следовательно, соответствует логи­

ческая модель мышления.

Читатель, вероятно, спросит, откуда нам известно, что в голове учащегося происходит именно то, что «пред­ писывается» математической моделью. Мы ответим, что этого мы пока не знаем. Но если следствия, выводимые из модели дедуктивно, объяснят некоторые закономер­ ности реального мышления, то, по-видимому, в модели имеется «рациональное зерно». Если, сверх того, удастся теоретически получить нетривиальные результаты, под­ тверждаемые экспериментом, то это усилит объективное значение модели. И, наконец, когда окажется, что обу­ чение, организованное в соответствии с моделью, даег лучшие результаты по сравнению с традиционным обу­ чением (т. е. механизм «работает хорошо»), можно го­ ворить о приближении модели обучения к модели мыш­

ления.

Поясним свою мысль на примере из области матема­ тики. Доказывается, скажем, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d. За исходное берется аксиома па­ раллельности. А аксиома? Она принимается как свое­ образное соглашение, допущение, и смотрят, что из этого

Получится. Если выводимые следствия согласуются с практикой, то заключают, что, вероятно, в аксиоме есть доля истины.

Но наш практический опыт всегда ограничен. На ка­ ком-то этапе может оказаться, что результаты теории уже не вполне соответствуют действительности, и тогда приходится менять, расширять исходные позиции и т. д. Отсюда, конечно, не следует, что аксиомы выбираются произвольно. Напротив, за ними стоит предварительно накопленный опыт. Сказанное полностью относится к на­ шей модели обучения.

Мы пытались подчеркнуть 2 особенности модели.

1) Модель на начальном этапе ее развития есть не более чем правдоподобное допущение.

2) Модель всегда приближенно отражает реальный

процесс.

Но есть еще одно свойство модели — она выражает явления, объект, процесс как бы на другом языке, в пере­ воде. Естественно возникает вопрос, как можно с помо­ щью внешних по отношению к оригиналу языковых средств судить о его внутреннем механизме. Поясним это на жизненном примере. Пирожок стоит 10 коп. Это, конечно, не значит, что, проглотив гривенник, мы получим тот же результат, что и съев пирожок. Тождества здесь нет. Но вот продавец, распродав пирожки, решил узнать, сколько их было. Для этого он подсчитывает выручку в копейках и делит ее на 10. Если бы он мог проанали­

Между количеством пирожков и денег имеется соответ­ ствие. Оно и позволяет, подсчитав деньги, сделать за­

в жизненных ситуациях, как видим, это происходит лег­ ко, естественно. В теоретических науках, связанных с моделированием, необходимы специальные усилия для преодоления языкового барьера.

5. Пришло время сказать несколько слов о трудностях языко­ вого характера в вопросах моделирования. Дело в том, что элементы

*) От этого, между прочим, пирожки не перестают быть пирож­ ками, точно так же, как не исчезает психологическая теория, когда о ней говорят на языке математической модели.

математической модели мы стараемся вводить последовательно, кор­ ректно, конструктивно. Совершенно, например, ясно, что такое импли­ кация, оператор, логическое условие, операторные и логические фор­ мы алгоритма и т. д.

Эти понятия распознаются, однозначно, их отличишь друг от друга и от других понятий. Соответствующие психологические экви­ валенты в большой степени, из-за сложности процессов, не всегда точны, часто многозначны. Например, логическое условие в нашей модели является, по существу, мерой неопределенности, содержащей­ ся в объекте (для субъекта), а, следовательно, и мерой информации которую получает субъект после раскрытия неопределенности. Оно конструктивно, может быть выражено числом и т. д. К сожалению, этого нельзя сказать о его аналоге — психологической характеристи­ ке состояния объекта (относительно субъекта).

Другой пример. Выражение «Оператор срабатывает» означает, что имеет место соответствующий мыслительный ход в психологи­

неизвестны. Сказанное верно и для большинства других элементов модели. В связи с этим мы часто переносим «детали» математиче­ ской модели в ситуацию реального мышления. Мы словно говорим, что если бы реальное мышление однозначно «перевелось» на язык нашей модели, то произошло бы то-то или так-то. Думается, что при четком понимании соответствия между моделями «одушевление» математической модели позволяет лучше описать те стороны несом­ ненно более сложной психологической теории, которые поддаются формализации Д

6. Выбранная нами вначале жесткая последователь­ ность действий для распознавания высоты треугольника в известной мере произвольна. Той же задаче удовлет­ ворял бы граф со входом «С» (проверка принадлежности одного из концов отрезка стороне треугольника) или «F» (проверка перпендикулярности отрезка направлению стороны треугольника). Причина — в независимости при­ знаков, определяющих высоту. Однако логическая струк­ тура результата ѵ, характеризующего сформированное понятие, инвариантна относительно способа формирова­ ния (коммутативность логических сомножителей, а так­ же слагаемых). Это важно в психологическом плане, так как позволяет на высшем уровне воспринимать все при­ знаки высоты вместе, сразу. Учащийся как бы «видит» высоту, не различая признаков. Каждый признак в от­ дельности не осознается, признаки выступают в совокуп­ ности, слитности и осознаются как высота.

*> Нам кажется, что иначе и невозможно в вопросах моделиро­ вания. Например, говорят: «думающая машина» и понимают, что если бы неизвестный нам механизм мышления соответствовал извест­ ному механизму машины, то это означало бы, что машина думает.

Только в этом случае можно утверждать, что понятие окончательно сформировалось. Таким образом, дискрет­ ность и очередность умственных действий, присущие пер­ вому, операторному этапу формирования понятия, пере­ ходят в непрерывность, когда понятие окончательно соз­ дано.

II. Одновременное восприятие всех признаков в ряде случаев необходимо, когда понятие используется при ре­ шении задач. Для примера рассмотрим формирование и применение понятия arcsin т. Опорным является умение находить синус аргумента.

2.Граф алгоритма (рис. 3).

3.Алгоритм в форме Ляпунова — Шестопал

4. Теперь изменим постановку задачи. Пусть требует­ ся не распознать дугу как arcsin т, а вычислить значе-

ми, для этого достаточно закодировать основные логиче­ ские связки и кванторы. Так, возможно, откроется путь к решению вопроса о вводе информации в автоматиче­

Сделаем несколько замечаний. Прежде всего, необ­ ходимо подчеркнуть, что в описанных случаях речь идет об определенном способе обучения некоторым понятиям, об алгоритме обучения. Учащиеся еще не усвоили (не вполне усвоили) понятие и овладевают им в процессе применения сообщенного алгоритма для распознавания объектов. На некотором уровне алгоритм, которому уча­ щиеся обучались, как бы присваивается мышлением, оно начинает следовать ему.

В соответствии с идеями П. Я- Гальперина, схемы обучения становятся схемами мышления об описываемых объектах. Однако к этому времени в восприятии алго­ ритма уже произошли сдвиги: исходным в мышлении выступает возникшее знание, отраженное логической фор­ мой, операторно-действенные компоненты вычленяются путем ее развертки. Процесс применения знаний оказы­ вается обратным процессу обучения и отражается в мо­ дели переходом от логической формы к операторной.

Разумеется, высказанные утверждения нуждаются в серьезном теоретическом и экспериментальном обосно­ вании. Кроме того, остается неясным психологический механизм процесса формирования и применения понятий. Эти центральные вопросы данного исследования рассма­ триваются, в основном, в гл. II, III и IV. Пока же допу­

щение об операторно-логической структуре мышления ссматривается как возможное объяснение результа-

.JB, полученных при обучении школьников нескольким конкретным понятиям, в свете указания С. Л. Рубинштей­ на о том, что психика формируется в деятельности (§ 1).

Далее, построенные алгоритмы не вполне удовлетво­ ряют точному (математическому) понятию алгоритма. Некоторые операторы не элементарны (например, «про­ верка перпендикулярности отрезка направлению сторо­ ны», «нахождение синуса»). Упорядочение операторов в ряде случаев произвольно (как это имеет место, на­ пример, в случае высоты треугольника), и этим нару­ шается свойство детерминированности алгоритма. Что касается логической формы, то в ней вообще отсутствует характерный для алгоритма шаговый характер структу­