книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

4г=а

\ - 2

n

i t i f

( * ) в - 2 я " , * е - 8 я

" 1 » Л .

1

Таким образом,

j\Vu(x,y)\2dx

=

j

8n*\tF\f(t)\2e-**\<\ydt,

у>0,

и, следовательно,

R"

I

о

,

i

Отсюда

l l ^ ( / ) I L =

2-V l ||/lb.

(3)

8i

(f) (х) =

(

°°

ди

(х,

2

У'

,

( j"

I

- £

у)

ydyj

\о

/ •

/ <*>

y/i

(4 )

\Vxu(x,

У)?ydyj

.

Отметим, что g2

— g\ +

g\

и, что

еще

более интересно,

доказа­

тельство

равенства (3) показывает

также,

что

И£.(/)1!2 =

11£Л/) И2 = у11Л12.

Теорию можно строить, основываясь как на

функции

g, так

и

на g\ или gx,

во всяком случае все они связаны

преобразованиями

Рисса (см. §

7.1).

1.3. LP-неравенства, где р ф 2, будут получены

как следствие

теории сингулярных интегралов для функции

со

значениями

в

гильбертовом пространстве, о которой шла речь

в § 5 гл.

I I . Опре­

делим нужные нам гильбертовы пространства

и <Ж2. Простран­

ство 3$i — одномерное гильбертово пространство

комплексных чи­

сел. Что

касается

<Э#, то

определим

Ж\

как пространство L

2

на

(Q, оо) с

мерой ydy,

2

т. е.

Iff

= |

\f(y)\2ydy<oo\l

§ 1. g-функция Литтлвуда — Пэли

101

„

, ч ( дРу+г(х)

дРу+е(х)

дРу+в(х)

ду

дх.

дх„

Заметим, что для каждого

фиксированного х

Кг (х)

Это

равносильно

тому, что

Легко

показать, используя

явную

формулу для пуассоновского

U Г у

дРа

V I у

ядра (из § 2 гл. I I I ) , что и

и

ограничены выражением

А

я

+ 1 . Поэтому1 )

( Ы 2 + </2)

2

оо

102

Гл. IV. Теория

Литтлвуда — Пэли и мультипликаторы

Функции f комплекснозначны (т. е. принимают значения

в Ж\), а

Te(f)

принимают значения в Жг-

Заметим, что

\Твф(х)\=^\

\\/и(х, y + e)\2ydyj

<

g (/)(*).

(7)

Следовательно, || T J (х) ||2 <2~'/ 2 || f ||2,

если

/ е

L 2 ( R " ) ,

В силу (3),

поэтому

| £ е ( * ) 1 < 2 - ' / 2

( 8 )

(что можно проверить и непосредственно).

В

силу (5), (6) и (8) и в силу теоремы

5 гл. I I можно

приме­

нить

вариант теоремы

1 гл. I I для гильбертова

пространства. По­

лучаем, что \\Te(f)\\p

^ Ap\\f\\p,

1 <

р < со, где Ар не зависит

от е. В силу (7) для каждого х

\TE(f)(x)\

возрастает до

g(f)(x)

при е —• 0; таким образом, получаем

\\g(f)\\p<Ap\\f\\p,

1 < р < с о .

(9)

1.4. Хотелось бы вывести обратные неравенства,

A'P\\f\\p<\\g(f)\\p,

\<р<оо,

( Ю )

4

1

|

У^^'^^ЬТ

(*• У"1 D

Y D X ^

/

^ М

М d x '

где fu fz е

L 2

( R N ) и где функции

щ являются

пуассоновскими ин­

тегралами

от fj, j ==• 1,2. Это тождество

в свою очередь

ведет к

неравенству

f h (х) Ш

dx I < J g, (/,) (x) g i

(f2) (x) dx.

Предположим

дополнительно, что /, e

L " ( R " ) и ^

I

' ( R " ) , г

II/г l l t f ^ l

и

1/P -Ь 1/^ === 1 • Тогда

в силу

неравенства

Гёльдера

Используется равенство Ф»»Ф» — - у

+ q > , g - l q > i - ч > « | § ) . - П р и м . рей.

$ !• g-функция Литтлвуда — Пэли

103

и

неравенства (9)

j fi (x)f2(x)

dx < -TII fiTi (fi) l|p II ffi (f2 ) IU < 4-

^

l -

tl i (/i) Hp- (П)

|R"

Возьмем в (11)

супремум no f2, меняющимся

в

L 2

f \ L q ,

причем

II /2

% ^

1- Тогда мы получим искомый результат (10), где А'р =

4/Aqi

но

на

f наложено

ограничение f^L2f\Lp.

Общий

случай

полу­

следовательность

функций

из L2f]Lp,

сходящаяся

по

норме L p

к /

(произвольному элементу из L p ) . Отметим, что

| g

(fm)

(х)

—

—

g ifn) (х) К

g (fm

— fn) (x).

Поэтому g (/„) сходится

по норме

L p

к

g(f),

и мы получаем неравенство (10)

для / как

следствие

соот­

ветствующих

неравенств для /„. Попутно доказано

следующее

утверждение,

которое мы

сформулируем в виде

следствия.

1.5. Необходимо

указать

некоторые

очень простые

варианты

вышеизложенного.

1)

Результаты

остаются

верными, если

заменить

g(f)

на

gx{f).

Прямое неравенство \\gx(f)

Hp Лр||/||р

является, очевидно,

след­

ствием

неравенства

для

g.

Обратное

неравенство

доказывается

затем так же, как для

gi.

2)

Для любого

целого k,

k

>

1, определим

gkif)

(*) =

И

дук

(х, у)

, У2к-\

dy

Тогда ^-неравенства справедливы и для

gk.

Результаты

1)

и

2)

изложены более систематически в § 7.2.

3)

Для

дальнейшего

полезно

отметить,

что

для

каждого

х

gh(f)

(х)^

Ahgi(f)

(х),

где Ah

зависит только

от

k.

Легко

прове­

рить

с

помощью

формулы

для

интеграла

Пуассона,

что

если

{<= L P ( R n ) ,

1

р <

о о ,

то

дки

(х, у)

0

для

любого

х

при

у - > о о . Таким

образом,

дук

дки

(х,

у)

_

dk+lu(x,

s) k

ds

дук

ds k+l

В силу неравенства Ш-варца

дук

<1

d k +

d s k + l

s

ds

дки(х,

у)

l u ( x , s)

2к

,

'

r 2

h d t

в силу леммы 2. Отсюда

следует

искомый результат

для р = 2.

Пусть теперь

1 <

р < 2. В

силу (15)

f (g (/,

х))р

dx^Cpp

f

(Mf)

(x)p

(2"p)/2

(/ (x)f2

dx <

R"

R*"

<

J

(Mf

(x))p

dxjr'

^ J

/ (x)

dxjr;

такими, что

1 / г + 1 / г ' = 1 ,

1 < г < 2 ,

что возможно, так как ^ 2 2 р j рг7' =

р и г р / 2 = 1 , если г = 2/р.

теоремы

о максимальной функции

из гл. I

величиной

С'р\\ f

\\pJr'.

Применяя эти две оценки, получаем

\\g(f)\\P

^

Лр||/||р, 1 < р =s: 2,

если f — положительная

бесконечно

дифференцируемая

функция

с компактным

носителем.

Для

произвольной

функции

f e = L P ( R " )

(считаем

функцию

для простоты действительнозначной)

выпишем

ее разложение

на

положительную

и отрицательную

части: f =

/+ — / - ;

далее, надо

приблизить р+

и f~ по

норме последовательностями

положитель­

тельство не проходит для р > 2. Имеется

более сложный вариант

той же идеи, справедливый для р > 2, но

мы не будем приводить

его здесь 1 ) . Зато мы получим с помощью

использованных

выше

идей важное обобщение неравенства для ^-функций.

Имеются

в виду неравенства для положительных функций g*K,

определяемых

следующим образом:

оо

(£(/)(*))*= J l(JTf+j)Kn\Vu(x-t,y)?y<-»dtdy.

(17)

§ 2. Функция g*K

107

T = {(t,

у)^Г++Х:

\ t\<y,

у>0).

Для любого J C E R "

пусть Г(х) — конус

Г, сдвинутый так,

чтобы

его вершина попала в точку х. Определим

положительную

функ­

цию S(f)(x)

равенством

[ 5 ( f ) W ] 2 =

J \Vu(t,

y)?y^dydt^

ГИ

=

j\Vu(x-t,

y)\2y'-»dydt.

(18)

r

Утверждается

(вскоре мы это докажем), что

g(/) ( * ) <

CS (f) (x) < Crfi(/)(x).

(19)

Какую интерпретацию можно дать неравенствам, связывающим

эти три величины?

Представление об этом

можно

получить, рассматривая

три

а)

Пусть и(х,у)—интеграл

Пуассона

от

f(x).

Простейший

способ

приближения к граничной точке

R"

получается, когда

у -* 0 при фиксированном х.

Это — приближение по

перпендику­

б)

Более

широкий

подход

получается,

если

переменная

точка

(t, у)

приближается к

(х,

0), находясь внутри

некоторого

конуса

Г(л;) с вершиной в точке

х. Это нетангенциальное

приближение,

которое впоследствии

(в

гл. V I I и V I I I )

будет

играть

важную

роль. Как должно быть уже

заметил читатель,

связь между S-

функциями

и ^-функцией

в

некотором смысле

аналогична связи

нице. Добавим, что S-функции имеют важное

значение сами

по

себе, но мы не будем пока это обсуждать 1 ) .

в)

Наконец, наиболее широкий подход получается, если точка

(t, у)

может приближаться к (х, 0) произвольным

образом;

это

подход

без всяких ограничений. Функция g*K

имеет

аналогичный

ность

g*K в смысле

LP зависит существенно от соотношения между

р и К. Последнее,

должно быть, самое интересное в функции

g*x,

именно это

делает

изучение ее более трудным, чем изучение

g

(или

S).

Вернемся от этих неточных и эвристических указаний на твер­

дую почву. Единственное, что нам

нужно

доказать, — это

утверж-

дение

(19). Неравенство СS (f) (х) ^

Сxg*k

(f) (х) очевидно,

посколь­

ку интеграл

(17)

оценивает ту часть интеграла, которая

берется

только по Г, а в этой области

Нетривиальную часть составляет доказательство того, что

g(f)(x)^CS(f)(x).

Достаточно

доказать

это неравенство

для

х =

0. Обозначим

че­

рез Ву шар

в

R + + 1 с центром

в точке

(0, у),

касающийся

границы

конуса Г. Тогда радиус шара

Ву пропорционален у. Частные

про­

йм

ди

как ни,

— гармонические

и

г-г

тео-

изводные -г—

и - г — ,

функции. По

оу

k

где пг(Ву)

есть

(п +

1)-мерная мера

Ву,

т. е. m(Bv)

= cyn+i с со­

ответствующей

константой с. В силу неравенства Шварца

ди

(0,

у)

—г-

ди

,

\

dxds.

ду

J

-ч-

(X,

S)

т(В у)

ду

к

Интегрируя

его,

получаем

ди

(0,

у)

^/<J

с^2у-п(

J

(х,

s)

2dxds\dy.

ду

Из

того что (х, s ) e Ву, с

очевидностью следует,

что CyS ^

у ^ Czs

для

двух положительных

констант с{ и с%. Таким

образом,

послед-