Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 352 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

О Б О З Н А Ч Е Н И Я

Общие обозначения

dx — мера Лебега на R"; т (Е) — мера множества Е L p (Rn) — пространство L p относительно меры dx


Ск	— класс	функций, имеющих					непрерывные		производные до
	порядка		k	включительно
$Ь	— пространство				бесконечно		дифференцируемых функций
	с компактным				носителем
9"	— пространство				бесконечно		дифференцируемых			функций,
	все производные которых остаются ограниченными после
	умножения			на любой		многочлен
°Е	— дополнение			множества		Б,
	Следующие	обозначения приведены						в порядке	их	первого
	появления	в	тексте; указаны				также те места			книги,
	в которых			они играют		наиболее		важную	роль.
					Г л а в а		I

§ 1. В(х, г) — шар радиуса г с центром в точке х M(f) —максимальная функция

§ 2. б (х)»б (х, F) — расстояние от точки х до множества F

I(х), It(x)	—интегралы	Марцинкевича,	содержащие функ
	цию 6(х)	(см. также гл.	V I I I , § 3)
§ 3. Q„	Qf t , . . . - к у б ы ; Q = ( j Q f t

Г л а в а I I

§ 1. C0 (R"), $(R") —пространство непрерывных на R" функций, обращающихся в нуль на бесконечности, и сопряженное к нему пространство конечных борелевских мер

Обозначения

(j, =

f x 1 * | i 2

—свертка мер fXj и ц2

/ (у) — &~.(f)(у)~

преобразование

Фурье

функции /

# ( / ) —преобразование

Гильберта

(см. также

гл.

I l l , § I)

Sn~l,

da — единичная

сфера в

элемент

ее

площади

L P (R", ^

— пространство V

функций

со

значениями

про

странстве

Г л а в а

I I I

1. ^

— преобразования

Рисса

R++ 1 — верхнее полупространство {(х, у}

е R"+ 1 :

Rrt ,

> 0}

Ри(х)

°пУ

,„,,,,„

— ядро Пуассона

( I х |2 + г/ 2 ) ( " + 1 ) 1 2

А — лапласиан

(см. также гл. V I I , где

лапласиан рассматри

вается

на

R+ + I ,

гл.

V I I I ,

где

он

рассматри

вается на

R")

— пространство

пространственных

сферических

гармоник

— пространство

поверхностных сферических

гармоник

Г л а в а

I V

1- g> ёь

gx,

ek ~~ варианты

g-функции

Литтлвуда — Пэли

§ 2 .

ё%~

Другой вариант g-функции Литтлвуда — Пэли (см. также

гл. V I I ,

— конус

{(а:,

у):

x e R " ,

| х |<

у}

(см.

также

гл. V I I , § I)

—интеграл

площадей

Лузина

(см. также гл. V I I , §

и 3)

Тт

— мультипликаторное

преобразование

мультипликато

ром т

Жр

— алгебра

//-мультипликаторов

S p

(f)

— оператор

взятия

частичной

суммы

S%(f)

— аналогичный

оператор,

соответствующий

семейству

прямоугольных

параллелепипедов

гт

— функция

Радемахера (см. также приложение

Г)

12						Обозначения
						Г л а в а		V
§	1. / 0		— потенциал Рисса
§	2.	L U ( R " ) — пространство Соболева
§	3.	З'а (/) =		Оа * / — бесселев			потенциал
		^ a ( R " ) — пространство бесселевых								потенциалов
		юр	(t) — // - модуль			непрерывности
		up (t) — // - модуль				непрерывности			второго порядка
§	4.	A A	( R " )	—пространство			Липшица
§	5.	A a 9 ( R " )		—пространство			Бесова
						Г л а в а		V I
§	1. А (л;) — регуляризованное						расстояние
§	2. <8k		—оператор			продолжения		Уитни
§	3.	L l (D)		пространство Соболева					для области D
		(£	— оператор продолжения					с	области D
						Г л а в а		V I I
§	1. Га (дс°) -			конус {(х,		i , ) e R f : \х-х°\<				ау)
		Га	— усеченный			конус,	Г 2 ( / ) =			Г а ( х ° ) f \ { 0 < y < h }
		&	=	( J	г а ( / )	(см. также		гл.		V I I I , § 2)
§	3.	Нр	— пространство			сопряженных				гармонических функций
			удовлетворяющих соответствующему //-неравенству
		<ВЧ — вариант			интеграла площадей

Глава I

НЕКОТОРЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Основные идеи теории функций действительного переменного связаны с понятиями множества и функции, а также с операциями интегрирования и дифференцирования. В то время как принци пиальные аспекты этой теории были выяснены уже в начале на шего века, некоторые ее приложения были развиты гораздо позд нее. Именно с более поздней точки зрения мы будем подходить к той части теории, которая нас здесь интересует. Выделим некото* рые основные моменты.

1. Теорема		Лебега	о	дифференцировании	интеграла.	Изучение
свойств,	связанных с		операцией дифференцирования			интеграла,
удобнее	всего	проводить		в терминах «максимальных		функций»;

это понятие возникло именно в связи с этими вопросами. Основные свойства максимальных функций описываются с помощью так называемых «слабых» неравенств.

2. Леммы о покрытиях. Идея состоит в том, чтобы покрыть произвольное (открытое) множество попарно непересекающимися кубами или шарами (тем или иным способом в зависимости от рас сматриваемой задачи). Одним из примеров осуществления этой идеи является лемма Уитни (теорема 3). Иногда достаточно по крыть только часть множества, как, например, в простой лемме о покрытиях, применяемой для доказательства вышеупомянутых не равенств слабого типа.

3. Структура произвольного множества в окрестности общей точки этого множества. Простейшим связанным с этим понятием является понятие точки плотности. Более тонкие свойства выра жаются лучше всего с помощью специальных интегралов, которые

впервые были	изучены систематически	Марцинкевичем.
4. Разбиение	функций на большую	и малую части. Этот метод

встречается часто, хотя и не имеет самостоятельного значения, а представляет собой технический прием. Особенно полезен он при доказательстве LP-неравенств, как, например, в первой теореме этой главы. Та часть доказательства этой теоремы, в которой по лучены 2>-неравенства, подытожена далее в интерполяционной теореме Марцинкевича, обсуждаемой в § 4 этой главы, а также в приложении Б.

Гл. I . Некоторые фундаментальные

понятия

§1. Максимальная функция

1.1.Согласно фундаментальной теореме Лебега соотношение

выполняется для почти

всех

х,

если f — локально

суммируемая

функция, определенная

на

Rn ; здесь В(х, г)—шар

радиуса

г с

центром в точке х и пг(В(х,

г ) ) — е г о

мера. Для

изучения

пре

дельного соотношения

(1)

рассмотрим

аналог

его

левой

части,

получающийся

при

замене

l i m

на

sup;

это

даст нам

макси-

мальную функцию

Mf.

г-»о

г > о

Поскольку

естественно,

чтобы

свойства

этой функции

выра

жались в терминах относительных значений функции / и не зави сели от возможного погашения положительных и отрицательных значений функции f, мы заменим / на |/|. Таким образом, но оп ределению

(Mf)(х)

= з Я ] m { B

l r))

\f(y)\dy.

(2)

В (х,

г)

Заметим, что

функция

(Mf)

{х)

может быть бесконечной

при

любом

х.

Такой переход от предельного соотношения к соответствующей

максимальной функции — часто встречающийся

прием.

Рассмотренный нами первый пример такого

перехода

(1) — (2),

как выяснится, является и наиболее важным.

1.2. Теперь дадим подходящую характеристику

относительных

«размеров» функции. Пусть функция g(x)

определена

на

R";

рас

смотрим

для каждого а

множество

х, таких,

что

\g\ больше

а:

{х:

\g(x)\>a).

Введем функцию Х ( а ) , равную мере данного множества. Это и

будет искомая характеристика;

она

называется

функцией

распре

деления

функции

I g l 1 ) .

') Функция g(у),

обратная

к функции распределения

Х ( а ) , называется

пере

становкой

функции

\g{x)

| в убывающем

порядке.

Одним

из

основных

свойств

функции

является

ее

«равноизмеримость»

с функцией

\g\;

частности,

если

g е= LP,

то

оо

J \g(x)\Pdx=

(g(y)Ydy.

R »

Из этого равенства следует равенство

(2'),

если положить

g(у)

а.

По

дробнее

перестановках

см., например, в книге Харди,

Литтлвуда и

Полна

[1],

гл. X; см.

также приложение Б, 2, — Прим,

ред.

	§ 1. Максимальная		функция					15
В частности, скорость убывания функции					1(a)	с увеличением		а
характеризует	относительную «величину» функции					\g\< это	по	су
ществу локальная характеристика функции \g\.
Рост функции К (а)		при стремлении		а к	нулю характеризует
относительное	убывание	функции	\g\	«на	бесконечности»,		т.	е.

дает ее глобальную характеристику; последняя не представляет

интереса, например, в случае, когда носитель функции									f	ограни
чен.
Любая величина,					зависящая	только	от	«размеров»	g,	может
быть	выражена			через	функцию	распределения К(а).			Например,
если	g	е	L P , то			оо
						оо
				\\g(y)\pdy=~		\а"	dX(a),			(2')
и если		g	е L°°,	то	HfflL = i n f { a , Я(а) =			0}.
					HfflL = i n f { a , Я(а) =			0}.

Близкое утверждение, относящееся к функции распределения, вскоре будет использовано. Это утверждение таково: если функ ция g суммируема, то

М « ) < 4 ' г д е А = =

\\s(v)\dy.

Действительно, это неравенство следует из того, что

j\8(y)\dy>

{

\g(y)\dy>aX(a).

R" lg|>a

1.3. Этих определений достаточно для формулировки нашей первой теоремы, в которой содержатся основные результаты, ка сающиеся максимальных функций, и следствием которой является дифференцируемость почти всюду интеграла, фигурирующего

В О ) -
ТЕОРЕМА 1.		Пусть	функция		f определена		на	Rn .
а)	Если f e L P ( R n		) ,	где	1 <^ р ^	оо,	то	функция	Mf почти
всюду	конечна.
б)	Если f е	L ^ R " ) ,		то для	любого	а >	О
		ш{х:		( М / ) ( д с ) > а } < 4			\\f\dx,
						Rn
где А — константа, зависящая					только от размерности п				(например,
можно	положить А =			5п).
в)	Если / e = L p ( R " ) ,		где 1 < р < о о ,			то M / e L " ( R " )			и
				\\Mf\\p^Ap\\f\\p,

где Ар зависит только от р и размерности п.

16 Гл. I . Некоторые фундаментальные понятия

СЛЕДСТВИЕ

Если

f^Lp(Rn),

1 ^

р ^

о о , или, в

более

об

щем случае,

если

f локально суммируема,

то

I ' m — Т г П — г г

f(y)dy

f(x)

для почти всех

х.

В (Ж. /•)

1.4. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем

несколько замечаний.

Если

р =

1, то в

противоположность случаю

/г >

1 отобра

жение

f - * i W ( f )

неограничено

как

отображение

из

L ^ R " )

L ' ( R n ) .

Далее,

функция

не

суммируема

на всем

Rn , если /

не есть тождественный нуль. Это следует

из простого неравенства

Щ{х)

с|д;|-'п

для \х\~^ 1. Более того,

даже для

ограниченного

подмножества в R" суммируемость функции Mf имеет место толь

ко при условиях на функцию /, более сильных, чем

суммируемость

(см. ниже § 5.2).

Полученный результат,

а именно оценка б ) , слабее,

как по

казывают замечания в § 1.2,

чем утверждение,

что отображение

f—*M(f)

ограничено в Ь1(Я.п).

Поэтому

в дальнейшем б)

упоми

нается

как оценка

слабого

типа. Эта

оценка

наилучшая

(по

по

рядку

величин)

для

функции

распределения

M(f),

где f — произ

вольная

функция

в L 4 ( R n ) . Чтобы

убедиться

в этом, заменим

меру

\f(y)\dy

в определении

(2)

на единичную меру

d\x, сосредоточен

ную

начале

координат

(с?|л — это

мера

Дирака).

Тогда

M(d\x(x))

— с\х\~п,

где с - 1

равняется

объему

единичного шара.

В этом

случае

функция

распределения

К(а)

равна

в точности

1/а.

Однако

всегда

можно

найти

последовательность

{fm{x)}

положи

тельных интегрируемых функций, норма каждой из которых

в L 1

равна

единице,

слабо

сходящуюся

мере

d\i.

Таким

образом

нельзя ожидать оценки существенно лучшей, чем б ) , поскольку в

пределе	для M(d\i) также должно	было бы выполняться	более
сильное	неравенство.
1.5.	Доказательство теоремы 1	и ее следствия. Докажем	тео

рему и следствие, считая известной лемму типа Витали о покры тиях, которая будет сформулирована в § 1.6 и доказана в § 1.7. Определим Еа следующим образом:

		Еа	= {х:	Mf{x)>a).
Тогда из	определения	Mf	следует,	что для любого х е Еа	сущест
вует шар	Вх с центром	х,	такой, что
		\\f{y)\dy>am(Bx).			(3)

С одной стороны, из (3) следует, что m (Вх) < ~ II / Hi для всех та ких х; с другой стороны, когда х пробегает множество Еа, объеди-

§ I . Максимальная

функция

нение соответствующих Вх покрывает Еа. Таким образом, приме няя лемму о покрытиях (§1.6), можно выделить из этого семейства шаров специальную последовательность шаров, которую мы обоз начим {Bh}. Эти шары попарно не пересекаются и обладают тем свойством, что

2 т ( В й ) > С « ( Я а )

(4)

ft=0

(например,

можно

взять

С =

5~п ). Применяя

каждому

из

по

парно непересекающихся

шаров (3) и затем

(4), получим

\f(y)\dy>a^m(Bk)^aCm(Ea).

•

и Bk

Первый член неравенства

мажорируется

||/|h; положив А = Л/С,

получим утверждение

б)

теоремы

(и, соответственно,

утверждение

а) при р — 1).

Докажем

теперь

одновременно

утверждение

а)

(конечность

почти всюду

(Mf) (х))

и .утверждение

в)

(LP-неравенство)

для

1 <р^оо.

Случай

р =

о о

тривиален,

здесь

Л о о =

Поэтому

предположим,

что

1 <

р <

о о .

Применим

технику

разбиения

функции на ее большую и малую части, о которой мы говорили в

начале	главы. Определим	fi(x)	следующим образом: fi(x)		=f(x),
если	\f(x)\ ^ а/2, и f i ( x ) = 0		в противном	случае. Тогда	мы
имеем	последовательно	неравенства \| / (х)		\| ^ \| /, (л;) \| +	а/2 и

М (/) (х) < М (f,) (х) + а/2, так что

{х: М (/) (х) > a) с= {х: М (/,) (х) > а/2},

и, наконец,

т (Еа) =

m{x:Mf(x)>a}^\\fl\\u

откуда следует, что

т(Еа) = т{х: М / ( * ) > а } < - ^ -	J \f\dx.	(5)
	I f I > а/2

Последнее неравенство получается в силу утверждения б) тео ремы, которое применимо, поскольку f i е L 1 , когда / е L P . Пола гаем теперь g = M(f), и пусть Я, — функция распределения g. Ис пользуя замечания, сделанные в § 1.2, и интегрируя по частям, по лучаем

оо

J (Mf)p d x = - ^a?d% (а) = р J а " " 1 Я (а) do.

18 Гл. I . Некоторые фундаментальные понятия

В частности, в силу (5)

	оо	оо
\\Mffp=p	{ a P - " m ( £ a ) r f a < p		{ « " " ' ( ^ Г	\	\f{x)\dx\da.
	О	О	V \|f\|>a/2		/

Двойной интеграл оценивается с помощью перемены порядка интегрирования и интегрирования в начале по а; внутренний ин теграл будет равен

21 f м I			,
Г	a p - « d a =	i W ( x ) l ' - ' ,
оJ		р — 1
поскольку /? > 1. Таким	образом,	двойной	интеграл равняется
Jin-l2fr1 ^ = W			J l f № ,
И я			R*

чем и доказывается утверждение в). Подсчитывая константу, по лучим

/ спп \ 1/р

^ = 2 ( ^ г )

К р < о о .

Для некоторых приложений полезно заметить, что

Перейдем к доказательству следствия. Можно легко свести доказательство к случаю р = 1. Для этого надо умножить нашу первоначальную функцию на характеристическую функцию шара и затем построить бесконечное объединение таких шаров, исчер пывающее все пространство R". Обозначим через fr функцию

				I	f(y)dy>r>°-					(6)
				В (х, г)
Известно1 ), что если г—>• 0, то и					\|\|/г — /Ц± —*• 0			при	/ e L J ( R n ) .
Поэтому для	подходящей последовательности					{/&}->-0 почти				ВСЮ
ДУ f r k - * f .
Осталось	лишь		доказать,	что	lim fr (х)	существует				почти
всюду. Для этого		обозначим			г->0
всюду. Для этого		обозначим
		(х)	= I Hm sup gr (х)		— Hm inf gr		(x)	\|		(7)
			R->0		R->0
') Это — свойство		аппроксимаций		единицы. Подробнее			об	этом	см. гл. I I I ,
§ 2.2; относящиеся сюда результаты				из гл. I I I можно		применять без опасений;
логического круга не возникает.

/. Максимальная

функция

для всех

g <= L 1 , * е

и g r , определенных как /г . Здесь Qg пред

ставляет собой колебание семейства {gr}

при г —> 0.

Если

g — непрерывная

функция

компактным

носителем,

то

сходится

g равномерно и,

следовательно, Qg

тождественно

равно нулю в этом случае.

Далее, если g

принадлежит

L J ( R R ) ,

то, согласно

утверждению

б)

теоремы,

т{х:

2M(g)>e}<t2£\\g\\l.

Очевидно, однако,

что

таким

образом,

Qg(x)^2Mg(x);

т {х:

Qg (х) >

е} <

1| g ||„ g е= V

(Rn ).

(8)

Наконец, любая функция f^Ll(Rn)

может

быть

записана

виде f —

h +

g, где h непрерывна и имеет компактный

носитель, а

норма

в L 1

может

быть

выбрана

по

нашему

усмотрению. Но

Q/ ^

Qh +

Qg и

Qh =

поскольку

непрерывна.

Поэтому

из

(8)

следует,

что

т{х: Q / W > e } < ^ - | [ g [ | 1 .

Так как норму g можно выбрать произвольно малой, то мы полу

чим Qf	=	0	почти всюду; отсюда следует, что	lim fr (х) суще-
ствует	почти		всюду.	г->0

Стоит		сделать следующее резюме по поводу		доказательства

следствия. Использованное доказательство весьма общо и часто

встречается. Доказательство		сходимости	почти всюду		разбивает
ся на две части: одна из них является очень глубоким					результатом
и в	ней уже заключено существо результата; как и утверждения
б\	и в) теоремы, эта часть	выражается	в	терминах	неравенств
для	максимальных функций.	Вторая часть		обычно много проще,

но почти так же существенна. Она заключается в доказательстве сходимости почти всюду на плотном подмножестве рассматривае мого функционального пространства, в данном случае на подмно жестве непрерывных на R n функций с компактным носителем.

1.6. Лемма о покрытиях. При доказательстве теоремы 1 и ее следствия мы доказали все, за исключением одного важного шага, а именно за исключением леммы о покрытиях, доказательство ко торой было отложено. О фундаментальном характере этой леммы свидетельствуют простота ее формулировки, то применение, кото рое мы дадим ей, а также множество ее вариантов, которые можно найти в математической литературе. Читателю следует обратить внимание на то, что формулировка и доказательство леммы тесно

<<< < Предыдущая 12 / 352 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ