Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 356 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

50	Гл. // . Сингулярные	интегралы
то е~пК	( е - 1 * ) также удовлетворяет	этим предположениям с теми

же константами. (Аналогичное замечание имеет место для условий всех теорем этой главы.) Для заданного К пусть К' = гпК(ех). Тогда К' удовлетворяет условиям нашей леммы с той же констан

той В,		т. е. если
		К\{х)	при	\| * \| > 1 ,
		0	при	\| х \| < 1,
то	\| Ki (у) \^СВ. Преобразование		Фурье от		г-пК\ (е_'лг) есть /([(е!/),
и	оно	также ограничено константой		СВ;	однако &~пК\ ( е - 1 * ) =

=Кг(х), поэтому лемма полностью доказана.

3.4. Теперь мы можем доказать теорему 2. Так как К удов летворяет условиям (18) и (19), то Ке(х) удовлетворяет тем же условиям с константами, не превышающими СВ. Мы указали на это для Ki при доказательстве леммы; переход от К\ к Кг осуще

ствляется с помощью растяжений, он	также	проведен при	дока
зательстве леммы. Очевидно, что каждое ядро		/ < e e L 2 ( R n ) ,	е > 0 .
Таким образом, применение следствия	из § 3.1 доказывает		(21);

т. е. наши	операторы	равномерно	ограничены по норме L P . Пред
положим,	далее, что	f\ — непрерывная функция с компактным но
сителем,	имеющая	непрерывные	первые частные производные.

Тогда
Ге	( / , ) ( * ) =	J -		K(y)f1(x-y)dy^
	=	J*	K(y)h(x-y)dy+		J	K(y)[fl(x-y)-fl(x)]dy
	\У\>\			•	I > \| y l > E
в	силу условия			сокращения	(19). Первый интеграл есть функция
из	L P , так	как	это свертка		функции из Z,1	и функции К (у)	из L P ,
поскольку		\К(у)		В\у\~п,	если \| у \| > 1 .	Второй интеграл	имеет

носителем фиксированное компактное множество и сходится рав

номерно по х

при

так

как

| /, (х

— у) — fi (х) | <

А \ у | в

силу

дифференцируемое™

/ь

Окончательно

Te(fi)

сходится

по

норме

L P ,

если

е—•О.

Наконец,

произвольную

функцию

/ е LP

можно

записать

виде

/ =

/ i + / 2 , где

fi — описанного

выше типа, а ||/211р

мала.

Применяя

основное

неравенство

(21)

для / 2

вместо /,

получаем,

что

lim Тг (f)

существует

в смысле LP; тогда

очевидно,

что

пре-

е-»0

(21); тем

дельный оператор Т также удовлетворяет неравенству

самым доказательство теоремы закончено.

Следует указать,

что

ядро

К(х) =~>

* e

R 1 , очевидно

удов

летворяет условиям теоремы 2. Следовательно, мы доказали су ществование гильбертова преобразования в том смысле, что если

§	4. Сингулярные		интегральные операторы		51
L P ( R ' ) , 1 <	р < о о , то	существует		предел
	lim —		—	—dw
	е->0 я	, J	г/	у
		\|!/\|>е

по норме L P и результирующий оператор ограничен в LP. Более тщательное изучение этого примера и некоторых важных n-мер ных аналогов будет предпринято в следующем параграфе.

§ 4. Сингулярные интегральные операторы, коммутирующие с растяжениями

4.1. Основным классом операторов в любой абелевой группе

является	множество операторов,	коммутирующих	со сдвигом (на
группе).	Однако пространство R"	есть не только	абелева группа
и, кроме	сдвигов, обладает еще	некоторыми важными группами

.преобразований, которые действуют на нем и связаны с его ев

клидовой структурой.
Мы имеем		в виду	обсуждавшиеся ранее		растяжения те :	х-+гх,
е > 0, и соответствующее этим				растяжениям	преобразование	функ
ций: xef(x)	—	f(zx).	.	операторы,	которые коммутируют
Нас	будут	интересовать те

не только со сдвигами, но и с расширениями. В их числе мы изучим класс сингулярных интегральных операторов, подпадаю

щих под действие теоремы 2. Если оператор							Т соответствует		ядру
К(х),	то,	как	мы уже		указывали, оператор		Te-i7Te соответствует
ядру е~пК		(е~1х).		Таким образом, если xe-iT4=T,			то это приводит к
условию		К(гх)	=	епК(х),	е > О, т. е. /( — однородная функция				сте
пени п. Положим
					K(x)=f$,				(23)
где	функция		Я	однородна степени 0,		т. е.	Q(ex)=Q(x),	е > 0.
Это	условие		на	Я эквивалентно тому,		что	функция Я	постоянна

на лучах, выходящих из начала координат. В частности, Я пол

ностью определена своим сужением	на единичную	сферу S n _ l .
Попытаемся интерпретировать условие	теоремы 2 в	терминах Я.

Во-первых, в силу (18) функция Я(х) должна быть ограничена и,

следовательно, суммируема	на S n _ 1 .	Условие		сокращения	экви
валентно условию
J	Q(x)da =	0,			(24)
sn-i
где da —индуцированная евклидова		мера	на	S n _ 1 . Условие	(18)
трудно переформулировать	в терминах Я;		очевидно, однако, что

от Я требуется некоторая гладкость. Ограничимся изучением того случая, когда Я удовлетворяет следующему условию «типа Дини», которое подсказано условием (18):

52 Гл. II. Сингулярные интегралы

если

								1
sup	)Q(x)-Q(xl)\			=	®(6),	то f		°> W d a <	оо ,	(25)
U \| = \| * ' l = i						0
Конечно, любая функция Q класса							С1	или просто непрерыв
ная по Липшицу удовлетворяет					условию		(25) 1 ) .
4.2. ТЕОРЕМА	3.	Пусть		функция		Q	однородна		степени	0, и
пусть Q удовлетворяет свойству					сокращения			(24) и свойству		глад
кости (25). Для 1 <		р <	оо и / ( = L P ( R " )				положим
	М / ) М		=	{	/(-</)<//.
а) Тогда существует			константа Ар			(не зависящая			от f или г),
такая, что

\]Te(f)WP<Ap\\f\\p.

	б) Предел		lim Te(f)=		T(f) существует в смысле			V	и
			е-»0.		II г (Л 11 Р <лр ц/\|\|р .
					II г (Л 11 Р <лр ц/\|\|р .
	в) £Ъш / e L J ( R " ) ,				ТО преобразования		Фурье	от f и Т (/) свя-
за/ш соотношением				( Г / ) " (я) = 7 n (x)f (л:), где пг — однородная						функ
ция	степени		0. В явном виде
m	W = I [хsien				• ^ +In W 1 х • У I ) ] Q ^ r f ( T ^ ' 1 *\| = = L <26>
		sn-i
	Утверждения а) и				б) данной теоремы будут прямыми след
ствиями		теоремы		2,	если мы докажем,		что для		любого	ядра
К(х)	вида		•yjrjr	выполняется		неравенство		J	\К(х — у)—
							\х\>2\у\
— К(х)\dx^В.если				Q удовлетворяет условию (25). В самом						деле,
					1		dx<C
Второе		слагаемое		удовлетворяет		нужным	dx<C		поскольку
Второе		слагаемое		удовлетворяет		нужным	оценкам,		поскольку
					\х-у\п	\х\п

и функция Q ограничена. Для оценки		первого		слагаемого заме
J ) Обобщение этого	условия см. в § 6.10 в конце этой		главы.
тим, что расстояние	между проекциями	х — у	и	х на единичную

§ 4.	Сингулярные интегральные операторы	53
сферу 1 ,Л_ у .	r^-r-l не превышает С \— I, если \х\^2\у\.	Та-

ким образом интеграл, соответствующий первому слагаемому, оценивается следующим выражением:

с/2

с ' I	• H f f ) w - - c - J - s f - < « » < - - -
\х\>2\у\	О

4.3. Поскольку Т — ограниченный в L 2 коммутирующий со сдви гами оператор, то из предложения § 1.4 известно, что Т можно представить с помощью мультипликатора пг, так что (77)" полу чается умножением f на т. Для таких операторов коммутирова ние с растяжениями эквивалентно однородности степени 0. В част ности, для наших операторов мы имеем не только факт суще ствования т, но и явное выражение мультипликатора в виде ядра.

Эта	формула получается следующим		образом. Пусть 0 < е < ц		<
<	оо и
	, .„ ,	если	е < h e	< t i ,
	О	в противном		случае.
	Очевидно,	Если	f e L 2 ( R " ) , то (/Св.ч * f ) "		=

=KZ „ Ш f (У)-

Докажем два факта относительно Ке,^(уУ-

1) sup| /С,Г л (я) К А, где. А не зависит от е и ту,

если

х ф

то \im Kg „(х)

— т (х) (см.

(26)).

е-»0

Для

этого

удобно ввести

полярные

координаты.

Пусть

х =

Rx',

Я = | * | , х'

xl\x\<=S«-x

И y =

ry',

r =

\y\,

у'

y/lyl^S^-1.

Нам

потребуется

также вспомогательный интеграл:

•

h, г, (х,

у')

J" [exp {2mRrx'

• у')

cos {2nRr)\

у-,

R>0.

Как

показывает

интегрирование

по

частям,

его

мнимая

часть

ч\

| 8Ш2Я/?А(Л: • У ) fa р а в н о М е р Н о

ограничена

сходится

s j g n ( * '

• У') =

у sign (*' • у%

Его вещественная часть, как показывает интегрирование по ча стям, по абсолютной величине не превосходит С In 1/|х'-у'\ + С.

Г л. И.

Сингулярные

интегралы

Кроме

того,

lim Re (/е

• г/')) =

In 1/| х'

• у'

в силу ю г о ,

что

е->0

H m

f f t W - M H

Д Г =

Л (0)1 П ( Ц Д ) ,

8->0

Т1->со

если ц,

1>0

Л — подходящая

функция1 ). В

этом

случае

h (г) =

cos 2лг,

А = # | л : ' - / |

р,

Теперь

s n - l

В силу того

что

j *

Q ( 0 ) d a ( / ) = O,

s n - i

мы можем ввести

в интеграл,

определяющий

Кг,т\(х),

множитель

cos2nrR

(не зависящий от у').

Получаем

К2ъ(х)=

J /,.„(*,

y')Q{y')da(y').

sn-\

В силу только

что доказанных

свойств

интеграла

/ е , ^

\KZn(x)\<A

j " [l +

\nl/\x'

•

у'(у')\do(у'),

sn-l

откуда

следует

1 )

(равномерная

ограниченность

Ке,г\(х)),

по

скольку функция й сама ограничена. Из только что найденного

предела / е , •ц(х) при е—*0, ц —• со и теоремы Лебега о									сходимости
.под знаком	интеграла		видно,	что
			l im	Кг,х\(х)	=	пгх
			е-»0
			Г1->оо
при х ф О, т. е. имеет			место 2 ) .
Далее,	по	теореме Планшереля,				если / < = L 2 ( R " ) ,			то	Ke,r\*f
сходится в	L 2	при т] —• со и		е - * 0 ,	и	преобразование Фурье				этого
') Этот интеграл носит название интеграла							Фруллани.	Приведенное		здесь
равенство справедливо, если функция h непрерывна на [0, оо)								и l i m h(r)—		0 или
								г - > о о
					оо
если существует несобственный интеграл					J Al^L		^ г < _ Прим.	ред.

§ 4. Сингулярные интегральные операторы

предела есть		m(x)f(x).	Однако	если е фиксировано			и ц —• оо, то,
очевидно,	интеграл		j " Кг, ц(у)	f (х — у)dx		сходится	всюду к
J К (у)	f (х	— y)dy,	т. е. к	TE(f).	Достаточно теперь			устре-
\у\<я
мить е к 0, и мы получим утверждение					в), чем и закончим			дока
зательство	теоремы.

4.4. Необходимо заметить, что доказательство пункта в) спра ведливо при весьма общих предположениях относительно Q. За

пишем Q = Qe +	0 o 1 ) >	г Д е &е — четная часть Q,		Qe(x)=Qe(—х),
и Q0 — нечетная	часть,	й 0 ( — х ) = —Q0(x).	Тогда	в силу равно

мерной ограниченности интеграла с синусом нам требуется только

тот	факт, что	\|	\| Q0 (у')\ do (у') <		оо, т. е. суммируемость		нечет-
		sn-l
ной части. Для четной части в доказательстве используется							равно
мерная ограниченность
			j "	\Qe(y')\\nl/\x'-y,)da(yf).
Это	наблюдение		подсказывает	некоторое обобщение теоремы				2
(см.	§ 6 . 5 ) .
Очевидно,		что	преобразования,		описанные	в теореме	3,	не
ограничены ни		в	L ' ( R " ) , ни в	L°°(R n ) . В случае		гильбертова пре

образования можно взять в качестве примера преобразование ха

рактеристической функции		интервала ( а , 6 ) , которое равно
' i n	' х I) I	описаны в § 6.1.
	. Другие примеры	описаны в § 6.1.

4.5. Из теоремы 3 следовало существование сингулярного ин

тегрального преобразования
Hm	J Ш-!(х-у)йу	(27)

в смысле сходимости по норме L p . Естественной составной частью этого результата является сходимость почти всюду. В классиче ском случае, соответствующем гильбертову преобразованию, ре зультаты, относящиеся к сходимости почти всюду, предшествовали результатам, относящимся к L P . Последние были получены как следствие теоремы Фату, гарантирующей существование почти всюду граничных значений ограниченных гармонических функций.

') Индексы „е" и „ о " суть.начальные буквы слов еиеп и odd (четный и не ч е т н ы й ) . — Прим. ред.

Гл.

I I . Сингулярные

интегралы

Теперь

же результат о

сходимости почти всюду будет следствием

уже

доказанного существования

предела (27)

смысле

L P .

Как

и в

других

случаях,

когда

рассматривается

сходимость

почти

всюду,

лучше

всего

привлечь

соответствующую

максимальную

функцию.

ТЕОРЕМА

Пусть

функция Q

удовлетворяет

условиям

преды

дущей

теоремы.

Для

/ e L P ( R N ) ,

1 ^

р <

оо, рассмотрим

интег

ральное

преобразование

Te(f)(x)=

J j$-f(x-y)dy,

е > 0

\У\>е

(интеграл

сходится

при почти всех

х).

а)

lim Тг

(f) (х) существует

для

почти всех

х.

б) "Пусть

7"(/)(*) =

sup| Te(f)(x)

Если

E I

' ( R " ) ,

ТО

ото-'

Е > О

типа (1,1).

брожение

f->T*f

есть отображение

слабого

в)

Если

р <

оо, то

(/) ||р <

Ap\\f\\p.

4.6. Доказательство теоремы 4 проводится в три приема. В наг чале доказывается неравенство в), получаемое как относительно простое следствие уже доказанного существования lim Те в смы-

8-»0

еле L P , а также некоторых общих свойств «аппроксимации еди ницы». Доказательство свойства в) будет отложено до следующей главы, где все эти вопросы будут разбираться более система тически.

4.6.1. Перейдем ко второй, наиболее сложной, части доказа тельства, доказательству неравенства б ) . Доказательство прово дится в основном так же, как доказательство неравенства слабого типа (1,1) для сингулярных интегралов, в частности как вариант этого доказательства, изложенный в § 3.1. Воспроизведем это до казательство, но кратко, не повторяя уже исследованных деталей. Для заданного ос > 0 разложим f = g + b, как в § 2.4. Рассмот рим для каждого куба Qj куб Q/ с тем же центром у\ но растя нутый в 2п'/ г раз. Следующие дополнительные геометрические замечания относительно этих кубов почти очевидны.

3)	Пусть	х е CQ]		(В	частности,	так будет,		если	х ^	F * )	и
предположим, что			\х — у\ = г для			некоторого y^Qj.			Тогда	зам-
кнутый шар		с центром		в х радиуса упе			содержит	Qjt т. е.В(х,		r)zD
=э Qj,	если	г =	упг.
4)	При тех же		предположениях, что и в 3), справедливо							нера
венство \ х — у \|> у'п&				для любого у е			Qj.
Постоянные у			и у'п		зависят только от размерности				п, но не		от
куба	Qj.

§ 4. Сингулярные интегральные операторы 57

	4.6.2.	Имея это в виду и следуя		рассуждениям	§ 2.4, докажем,
что	если	х е F*, то
	sup\| Гв (&(*)) К У		l\K(x-y)-K(x-y*)\\b(y)\dy		+
		+ С г	8 ; Р 0 т ( д ! х , 0 )	1	( 2 8 )
				В (ж. г)
где	, .	Q (Л:)
где	/ С ( * ) = - г т р г

Таким образом, появление максимальной функции в правой ча сти (28) является основным новым элементом доказательства. Для доказательства (28) зафиксируем x e f * и е > 0 . Теперь все кубы

.Qj можно разделить на три класса:

а) I х — у \| < е	для всех		у е	Q/,
б) I л — у I > е	для всех		у е	Q / t
в) существует точка y^.Qn				такая, что \| х — у\ — г.
Рассмотрим
		= 2	j K*(x-y)b(y)dy.		(29)
Случай а) . Если		\|х — г/1 <	е, то /Се (х — у) = 0		и интеграл по
кубу Qj в (29) равен		нулю.

Случай б ) . Если \х — у \ > е, то Кг (х — у) = К(х — у) и, следо вательно, интеграл по Qj равняется

J К (х - у) Ь(у) dy = J [К (х - у) - К (х - у1)] Ь (у) dy.

Этот член по абсолютной величине мажорируется следующим вы ражением, появляющимся в правой части (28):

j\K(x-y)-K(x-y')\\b(y)\dy.

Случай	в) . В силу 3)
J	Ks(x-y)b(y)dy	< \\Kt{x-y)\\b{y)\dy	=
Qj	I	Q,
		\	\KAx-y)l\b(y)\dy,
		В (x, т) П Q

58 Гл. //. Сингулярные интегралы

где г =	упе.	Однако \| Ке	(х — у)		К	в	в силу 4)
						(у'пТ*п
и ограниченности Q. Следовательно, в данном
						случае
J	Ke(x	— y)b(y)	dy	m	[В(х, г)]	/	\b{y)\dy.
						г) П Q,
					В(х,

Суммируя по всем кубам Qj, получаем

/ О/
1		J"	\|6(y)\|df/,	r = Y„e.
от [В (лг,	г)}
		В (х,	г)

Беря супремум по е, получаем (28). Это неравенство можно запи сать в следующей форме:

	I ТЬ(х)	\|<2	+ СЛН>(*),	* е Г ,
и,	следовательно,
tn{x	е= Г : \| Г 6 (*) \| >	а/2} < т ( л е Г : 2		> а/4} +

Т т ( ^ е Z7*: СМ>(*) > а/4}.

Меры обоих множеств, фигурирующих в правых частях выписан ного неравенства, ограничены величиной - ^ - H H i в первом случае в силу того, что неравенство, аналогичное неравенству (17) из § 3.1, справедливо для ^ ; для второго множества потому, что оценка слабого типа имеет место для максимальной функции М (теорема из § 1.3 гл. I ) . Оценка слабого типа (1,1) для Т* дока зывается так же, как то же свойство для Т в § 3.1 (или, более под робно, в конце § 2.4).

4.6.3. Последняя часть доказательства теоремы, переход от не равенств для Т* к существованию пределов почти всюду, прово

дится по знакомой схеме, описанной								в § 1.5	гл. I . Точнее,		пусть
для	любого { е		L P ( R n ) ,		1 <	р <	<х>,
		Л (/) (х) =1		lim sup Те (f) (х) -				lim inf Ге (/) (х) \|.
					в-»о			е-»0
Очевидно, что			Л(/) (х)	^	2(7*/) (л:). Запишем				/ = / i +/2,	где	функ-
.ция	f i	имеет	компактный носитель и принадлежит классу С1 , а
11/гИр ^		б. Мы	уже отмечали в § 3.4, что Tefi						сходится	равномерно
при	е — 0 , так		что Л/,(*) s			р. Но	Л(/) (х) ^		Л(/,) (х)	+ Л ( / 2	) (х);

§ 5. Векторнотачные

аналоги

таким образом,

Ц Л ( / 2 ) | | Р < 2 Л Р | | / 2 | ^ < 2 Л А

К / > < ° ° .

Отсюда следует, что Л/г = 0 почти всюду, а значит, и Л/ = 0 почти всюду, и, следовательно, lim Ге / существует почти всюду при

е-»0

1 <	р <	оо. Аналогично		в случае р = 1		получаем
		m{x:			Af(x)>a}<^\\f2\\l<~,
и,	следовательно, опять			Л/(х) =	0 почти всюду, откуда следует,
что	lim Тг (/) (х) существует почти				всюду.
	Е-»0
		§	5. Векторнозначные			аналоги
	5.1.	Интересно,	что результаты этой			главы, где функции при

нимали вещественные или комплексные значения, могут быть рас пространены на случай функций, принимающих значения в гиль бертовом пространстве. Приведем это обобщение, так как оно может быть очень полезно в целом ряде задач. Насколько это

может

быть

полезно,

показывает

теория

Пэли — Литтлвуда

(гл. I V ) . Начнем

с того, что кратко

опишем

некоторые

факты

тео

рии интегрирования, связанные с этим вопросом.

Пусть Ж— сепарабельное гильбертово пространство. Тогда

функция

f(x)

из R " 'в

измерима,

если

измеримы

функции

(/(*), <р), принимающие

скалярные

значения,

где

(•,

•)

означает

скалярное

произведение

ф — произвольный

вектор

из

Ж.

Если f(x)

измерима в этом

смысле,

то функция

\f(x)

| также

из

мерима

(как функция с неотрицательными значениями)

(|-| озна

чает норму

в Ж).

Далее, L P ( R ™ , 5 ^ )

для

р <

оо

определяется

как

множество

классов эквивалентности

измеримых

функций

f(x)

из

R N

в Ж,

обладающих тем свойством, что норма|| f ||р =[

[| f(x)

fdx

конечна; для р =

оо определение

аналогично, за исключением того,

что

||/||со

esssup|/(x) |.

Далее,

пусть

Ж\ и Жч — два

сепарабельных

гильбертова

про

странства, и пусть В(Жи

Ж2)

обозначает

банахово

пространство

ограниченных

линейных

операторов

из Ж\ в Ж2

с обычной

опера

торной

нормой.

Назовем

функцию

f(x),

действующую

из

R "

в В(Ж\,Ж2),

измеримой,

если

/(х)ф

для

каждого

ф Е ^ ,

яв

ляется измеримой функцией со значениями в Жг- В

этом

случае

\f(x)

| — также измеримая

функция,

и мы можем

определить

про

странство

L P ( R " , В(Жи

Жг)),

как и

ранее

(здесь

|-| также

обо

значает

норму,

но уже

пространстве

В(Ж\,Жъ)).

При

этих

условиях

справедливы

обычные

свойства

свертки.

Например,

пусть

L * ( R " , f l ( 3 & i , 3 f c 2 ) )

и f ( x ) s L P ( R " , 3 » 1 ) .

Тогда g(x) =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 356 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ