Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20	Гл.	I . Некоторые фундаментальные		понятия
связаны	с более тонкой, но, возможно, более			известной леммой Ви
тали ' ) .
ЛЕММА. Пусть		Е — измеримое	подмножество		в R™ и	имеется
покрытие	этого	подмножества	объединением		семейства	шаров

{Bj}

ограниченного

диаметра.

Тогда можно

из этого

семейства

вы

брать подпоследовательность

Ви

В2, ...,

Bh,

...

(конечную

или

бесконечную)

попарно

непересекающихся

шаров

так, чтобы

2>т(Вк)^Ст(Е),

где

С — положительная

константа, зависящая

только от

размер

ности п; можно взять С = 5 _ п .

1.7. В начале доказательства опишем выбор

Ви В2,

это

Bh, ... .

Выберем «почти» наибольший возможный шар Ви

означает,

что

диаметр

S i больше

или

равен

y s u p { d i a m 5 / } .

Конечно,

шар

В и удовлетворяющий

этому условию, так же,

как и

рассматривае

мые далее шары Bh,

можно

выбирать не

единственным

образом,

но

для нас

это не

существенно. Предположим,

что

Ви В2,

...,

уже выбраны. Нужно выбрать теперь шар Вь+ь который не пере

секался	бы	с Ви	...,	Bk. Снова выбираем		«почти»	наибольший
возможный шар, т. е. выбираем шар					Bk+l,	не пересекающийся с
Ви	Bk	и такой,		что u\amBk+\^	1/2 sup {diam Bj,		Bj	не пере
секается	с В\, Вг,		...,	Bh}.
Таким образом, получаем последовательность шаров Ви								В2, ...
..., Ви,	. . . . Вообще			говоря, последовательность может быть ко

нечной и заканчиваться на Bk', это произойдет в том случае, когда среди шаров последовательности не существует шаров, не пересе

кающихся с Ви	В2, ..., Bk.
Теперь необходимо рассмотреть два случая в зависимости от
того, Em (5f t ) =	о о или же 2 m ( 5 f t ) < о о . .В первом случае утверж

дение уже доказано независимо от того, конечна или бесконечна

мера	множества Е. Поэтому	перейдем	к случаю, когда Е т ( Б й )	<
<С с».	Обозначим через Bk	шар с тем	же центром, что и у	Bh,

диаметр которого в пять раз больше диаметра Bk. Мы утверж даем, что

\JB%=>E.	(9)
k
Для доказательства (9) нужно показать, что \JB%±>B/	ДЛЯ

любого фиксированного Bj из заданноро семейства, покрывающего

Е.	Можно,	конечно,		предположить,	что	Bj не принадлежит
Ви	В2, ...,	Bk,	потому	что иначе все было бы доказано. Посколь
ку	I,m(Bk)	<	о о , то diam(Bft) —* 0 при		k-*oo,	поэтому выберем

') Лемму Витали см, ниже в § 5.44

§ 1. Максимальная функция 21

первое

обладающее тем свойством, что diam (Bk+l)

< -g- diam (В/).

Шар

обязательно

пересекает

один

из

предыдущих

шаров

Ви

В2,

...,

Bk, иначе он был бы выбран

как

(k +

1)-й шар

вместо

Bh+i,

так как его диаметр более чем вдвое превышает диаметр

Bh+i.

Таким образом,

Bj пересекает

В/о

для'некоторого

\^Cj04^k

(diam By) ^ diam В/0 .

Из простых

геометрических

соображе

ний

очевидно, что Bj

содержится в

шаре, центр

которого

совпа

дает

с центром В'\ а диаметр в пять раз больше диаметра

В/„, т. е.

BjCzB*,.

Таким

образом, мы доказали (9), и,

следовательно,

ffl(£)<2ffl

(В\) =

5 " 2 m ( B k ) ,

что

и доказывает

лемму.

1.8. Лебегово

множество. Доказанная

выше теорема

диффе

ренцировании относится к пределам усреднений относительно ша ров. Однако из этой теоремы как достаточно простое следствие вытекает обобщение, где средние берутся относительно более об щих семейств множеств.

Пусть

&~ — семейство измеримых

подмножеств

в R".

Семей

ство называется

регулярным,

если

существует

константа

с >

О,

такая,

что

для

любого

S e

существует

такой

открытый

шар

В :=> S

с центром

в начале координат,

что

m(S)

cm (В).

Приме

рами

регулярных

семейств

являются:

семейство 2F всех

мно-

-жеств

8U,

0 <

б < оо, растяжений

фиксированного

множества

где U ограничено

и т{и)

0; 2)

семейство

всех

кубов, расстояние

которых от начала координат не превышает некоторой константы, умноженной на диаметр куба; 3) любое подсемейство регулярного семейства ffr. Определим максимальную функцию по аналогии со специальным случаем семейства всех шаров с центром в начале координат:

MAf)	(х) ^ s u p ~щ		\\f{x-y)\dy.
Тогда, очевидно,		(/) (х) ^ c~lMf	(х),< и,	следовательно, для
М&- справедливы	те же	утверждения,	что и для М в теореме 1.
Повторение доказательства следствия приводит к тому, что для
локально суммируемой функции f для			почти	всех х справедливо
равенство
	}!™1^[п-у)*=№			(ю)

m(S)->0

Все это очень просто, но не совсем удовлетворительно по сле дующей причине. Мы доказали, что для заданной локально сум мируемой функции / соотношение (10) справедливо почти всюду, за исключением множества меры нуль, зависящего от заданного

Гл. I , Некоторые фундаментальные

понятия

семейства ЗГ. Было бы лучше, если бы можно было найти одно ис ключительное множество меры нуль, зависящее от /, так чтобы вне этого множества соотношение (10) было верно для каждого регу лярного семейства. Именно эту роль будет играть дополнение к

лебегову множеству функции /. Лебегово множество функции / есть множество тех х, для которых

	У4° в ( в м ) )		J \ f ( y		) - n x ) \ d y - o ,		(П)
			В (х, г)
где В(х, г), как и раньше, обозначает					шар радиуса	г с центром в
точке х.
Для	доказательства	того, что сходимость в (11) имеет место
почти всюду, рассмотрим		следующее соотношение:
	Й ^ Г О У	1	\f(y)-^dy		= \f(x)-c\,	(110
		В (х, г )
которое	имеет место при каждом			фиксированном с для почти			всех
х. Т. е. имеется исключительное				множество Ес, мера		которого	рав

на нулю, т(Ес) = 0 , и (11) выполняется для всех х ф. Ес. Обозна чим через си ... , сп, . . . последовательность всех рациональных чисел. Если x^\jECnj то (11) справедливо для всех рациональ-

ных с и по непрерывности для всех вещественных с. В частности, х, принадлежащее дополнению множества Е, принадлежат лебе гову множеству функции f, т. е. для таких х выполняется соотно шение (11).

Однако

- L - j	f(x-y)dy-f(x)
s

J i /(*-0) - / ( * ) l ^<

< с - ' ^ г 7 ) ) J" \ m - m \ d y .

В (x, г)

Таким образом, в каждой точке лебегова множества установлена дифференцируемость относительно любого регулярного семейства.

Случай нерегулярных семейств обсуждается ниже в § 5.3.

§ 2. Поведение в окрестности произвольной точки измеримого множества

2.1. В этом разделе мы рассмотрим различные свойства изме римых множеств с положительной мерой. Эти свойства подтверж дают то наблюдение, что «почти каждая» точка такого множества «почти полностью» окружена другими точками этого множества.

§ 2. Поведение в окрестности произвольной точки

Простейший конкретный пример применения этого эвристического

принципа связан с понятием точки плотности.
	Предположим,	что	Е — заданное измеримое		множество	и
х е	R". Назовем	точку	х е	Е точкой плотности, если
		г-ю		т{В(х, г)}	к	'
	Конечно, для	произвольной точки х предел может быть не ра
вен	1, можег даже вообще			не существовать. Если	предел в (12)

равен 0, то в силу нашего определения х есть точка плотности для

дополнения к Е, Применяя теорему о дифференцировании								(след
ствие	теоремы 1, сформулированное			в §	1.3)	к	случаю,	когда	/
есть	%я — характеристическая		функция		множества Е.			Отсюда
сразу	следует
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для		почт	всех	точек хтЕ			справедливо		ра
венство (12), т. е. почти		каждая точка			х е	Е	является	точкой
плотности множества Е и почти каждая					точка дополнения			к Е	не
есть точка плотности Е.

Отметим, что если бы мы ограничились точками лебегова мно жества для %е, мы получили бы утверждение, аналогичное пред

ложению 1, но более сильное. Можно				было	бы	заменить	шары в
(12) регулярными в смысле § 1.8 семействами.
2;2. Ограничимся теперь			произвольными		замкнутыми		множе
ствами Е.	Это ограничение		налагается	потому,		что дальнейшие
результаты	будут	выражены	в терминах расстояния от Е,				а если
Е незамкнуто, то		расстояние	от Е является		в	действительности

расстоянием от Е, замыкания Е. Очевидно, что с точки зрения тео рии меры эти множества могут быть совершенно различными. Это ограничение, однако, не столь уж стеснительно для приложений. Замкнутые множества являются достаточно общими. В частности любое измеримое множество может быть приближено содержащи

мися в нем замкнутыми множествами так, что мера

соответствую

щей разности множеств будет сколь угодно малой.

Будем обозначать

общее

замкнутое множество на

R n

через

а через б(х)

6(x,F)

обозначать

расстояние

от

точки х

до F.

Ко

нечно,

8(х)

О тогда и только

тогда, когда

x e F .

Очевидно,

что

если X G F ,

ТО 8(х +

г/)

так

как х

является

точкой F,

рас

стояние которой до х-\-у

равно

\у\. Однако, вообще

говоря,

эта

оценка

расстояния

до

может

быть

улучшена,

именно

6(х +

у) =

о(|(/|)

для почти

всех

из F\ «о-малое»

означает,

что

для любого

е > 0

существует

==» щ,

такое,

что

Ь{х-\-у)

<е|#|, если \у\ ^ ц.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ	2.	Пусть F — замкнутое	множество.	Тогда
&(х-\-у) = °(\|у\|)	для	почти всех x^F^ В	частности, это	верно,
когда х является точкой плотности F,

24	Гл. I . Некоторые	фундаментальные	понятия
Мы	сформулировали это	предложение	главным	образом пото
му, что	это хорошая иллюстрация понятия точки			плотности. Бу

дет указано и применение этого предложения, правда, это будет сделано значительно позже.

Докажем	это	предложение.		Пусть х — точка плотности	F,	и
пусть задано	некоторое		е > 0.	Рассмотрим «маленький»	шар	с
центром в точке		х + у	и радиусом е\у\ и «большой» шар с цент-

Р и с . 1. К доказательству	предложения о точках плотности.	Больший ш а р —
э т о В (к, \| у \| +	е \| у \|): меньший шар — В (х + у,	г\у\).

ром в точке х и радиусом

| у | +

е | у |. Очевидно, что В (х-\-у,

е | у \)

сгВ(л:, |г/|+е|г/|). Если

\у\ достаточно

мало,

то

существует

точ

ка

z e F , такая, что z е

В(х +

г/, г\у\),

так как в

противном

слу-

чае

F П В (х

г/, е | у. |) =

m(Ff|B(*, -ly| + e|y|))

пг(В

(х,

\ у\ +

е\у\))-т(В

(х

+ у,

Е\у\))

т(В(х,\у\

г\у\))

т(В(х,

\y\

s\y\))

<>-(тттГ-

что

противоречит (12)

при достаточно

малых

\у\. Таким

образом,

существует

точка

из

которая

одновременно

принадлежит

В(х

+ у, г\у\).

Отсюда следует,

что

мы

можем

найти

точку

из

расстояние

которой

от

точки

х -f- у

меньше е\у\, т. е.

8(х

+ у)

<е | у | .

2.3.Интеграл Марцинкевича. Дадим теперь другой вариант принципа, по которому «почти любая» точка измеримого множе-

§ 2. Поведение в окрестности произвольной точки

ства, «почти полностью» окружена другими точками этого множе ства. Этот вариант не зависит от теоремы дифференцирования, но для многих задач имеет столь же важное значение. Интегралы, рассматриваемые ниже и впервые систематически изученные Марцинкевичем, играют, как будет показано далее в этой главе, ре шающую роль в теории сингулярных интегралов, так же как и в

других вопросах, освещаемых в данной книге.
	Пусть F, как и ранее, — замкнутое множество;. 8(х)						обозначает
расстояние от х			до, F; рассмотрим			интеграл
				/ ( * ) =	I	ЩШ*У-	(13)
	ТЕОРЕМА	2. а) Если x<=F,			то I(х) = о о .
•	б) Для	почти всех х е F				1(х)<оо.
	Утверждение		а)	очевидно,	поскольку дополнение F — открытое
множество. Поэтому				если х	принадлежит этому дополнению, то
6 ( *	+ у) ^= с >		0 для некоторой			окрестности точки	у. Основной

интерес представляет утверждение б) данной теоремы. Фактически оно означает, что оценка 8(х + у) = о( | у\) из предложения 2 может быть в среднем уточнена, что и приводит к сходимости ин

теграла	(13). Однако нельзя сказать, что	из	сходимости интегра
ла (13)	для заданного х следует, что 6(х	+	у)	=о(\у\).
Эта	теорема будет простым следствием	следующей леммы, ко

торая дает более количественное выражение того же самого факта.

ЛЕММА. Пусть F — замкнутое множество,			дополнение которого
имеет конечную	меру,	и пусть 8(х) определено,	как и выше. Обоз
начим
		Ш - \ Ц ^ - а у .	(14)
Тогда /*(х) <	о о для	почти всех х е F. Более	того,
		J IJx)dx^c-m(cF).	(15)
		F

2.4. Достаточно доказать (15), поскольку подынтегральное вы ражение положительно. Также в силу положительности можно по менять порядок интегрирования при оценке левой части (15). Тем самым доказательство будет окончено. Подробнее:

J J	m $ £ - d y d x = \		j ^ M ^ d y d x -
F	F цп	_	F

= 1 J \x-y\n+i

dydx=

{x_dy{n+iy(y)dy.

Гл, I . Некоторые

фундаментальные

понятия

Рассмотрим

теперь

\х-у\п+1

' У

Наименьшее значение

\х—

у\

(при

х,

пробегающем

F)—ко

нечно, б (у), т. е. расстояние у от F. Таким

образом

\х\>6(у)

Отсюда

следует, что

\ /. (х)

с (б (у))-1

6 (у) dy =

(CF),

и лемма

доказана.

Получим из этой леммы теорему 2. Пусть Вт — открытый шар

радиуса

т с

центром

в начале

координат,

и Fm =

F UсВт.

Тогда

замкнуто, причем

его дополнение

имеет

конечную

меру (по

скольку

оно

содержится

в Вт).

Поэтому можно применить

лемму

к Fm.

Пусть

бт обозначает

расстояние

до

и б — расстояние до

Заметим,

что д(х + у) ~Ьт{х-\-у),

если

\у\^

1 и

i e B „ _ 2 .

Тогда

из леммы следует,

что /(х) <

оо

для почти всех

x<=F[}Bm-.2-

Устремляя т к оо, получаем

искомый

результат.

Существует несколько вариантов теоремы и леммы, мы вы брали один из них. (Другой вариант будет обсуждаться в § 5 в конце этой главы.) Можно заменить 1{х) на

где Я > 0. Аналогично /„ (я) можно заменить на

В обоих случаях соответствующие утверждения можно полу чить описанными выше методами.

§3. Разложение открытых множеств в R" на кубы

3.1.Разложение заданного множества на непересекающиеся кубы (или шары) является одним из основных приемов теории, излагаемой в данной главе. В очень грубой форме он уже был использован в лемме о покрытиях в § 1.6.

	§ 3. Разложение открытых			множеств в R"	на кубы	27
3.1.1.	Вначале	поставим	себе	следующую	общую задачу,	свя
занную	с нашей	задачей,	но не	требующую	привлечения теории

меры и относящуюся к геометрической структуре произвольных


замкнутых			множеств F из R". Можно ли				каноническим			образом
разложить			дополнение		к F	в объединение	непересекающихся				ку
бов?	Для		п = 1 ответ,		конечно, утвердительный,			так	как	каждое
открытое			множество	можно		единственным	образом		представить
в виде		объединения		непересекающихся открытых интервалов. Для
п ^	2	все	обстоит не так просто, так как				произвольное			открытое
множество			можно представить в виде объединения						непересекаю
щихся кубов бесконечно многими способами								(здесь имеются			Е
виду замкнутые кубы и «непересекающиеся» означает,										что	по
парно		не	пересекаются		их внутренности).		Однако имеются такие

разложения, которые, хотя и не являются каноническими, тем не менее весьма удовлетворительно заменяют их и очень полезны.

Впервые идею такого разложения предложил Уитни. Вот она:

ТЕОРЕМА 3.

Пусть

F — непустое

замкнутое множество

R".

Тогда

его

дополнение

Q есть

объединение

последовательности

ку

бов

Qh, ребра которых

параллельны

координатным осям,

внут

ренности

попарно

не

пересекаются

диаметры

приблизительно

пропорциональны

их расстояниям от F.

Точнее,

оо

2 )

Q)f)Ql=

если

j ф k;

существуют

две

константы С[,с2>

(можно

взять с.{ =

1 и

с2 =

4), такие, что

с\(диаметр Qh)-^(расстояние

от Qh

до

Р)^.с2(диаметр

Qh).

3.1.2. Эта теорема приведена здесь лишь из педагогических

соображений. Строго говоря, она не понадобится

нам

вплоть

до

гл. V I , и

поскольку ее

доказательство

довольно

сложно,

мы

от

ложим

его пока.

Приведенная

этом

месте

теорема

поможет

нам

прояснить

значение теоремы, идущей вслед за ней. Это фундаментальная лемма Кальдерона и Зигмунда, с помощью которой можно дать

другой	подход к		теории		максимальных функций из § 2, хотя
главным для		нас	будет	ее	применение к сингулярным интегралам
в следующей		главе.
3.2. ТЕОРЕМА 4. Пусть					f — неотрицательная суммируемая	на
R n функция,		и пусть а — положительная константа. Тогда				суще
ствует такое разложение				R", что
1)	Rn = F у О, Р П Q = 0 ;
2 )	/ (х) 4*	а почти всюду			на Р\

28 Гл. I . Некоторые фундаментальные понятия

	3)	Q есть объединение			кубов,	Q = \J Qk,		внутренности	которых
не	пересекаются,		причем, для каждого				Qk
			а < 1 ^ Ш			J / W ^ < 2 - « .			( 1 6 )
	3.3. Разложим		R n	на	одинаковые		кубы,	внутренности	которых
не	пересекаются		-и	диаметр		которых настолько велик, что
—	Г	f dx ^ а	для	каждого		куба	Q' из этой сетки.
		О'

Р и с , 2. Разбиение дополнения множества F на кубы, диаметры которых при

близительно равны их расстояниям до F.

Пусть Q' — фиксированный куб из сетки. Разделим его на 2 " конгруэнтных кубов делением пополам рёбер Q'. Пусть Q" — один из этих новых кубов.

Первый случай: m ^ ^	jfdx^a.
	Q"

Второй случай: m Л„> |/й?л:>а.

О"

§ 3. Разложение открытых множеств в R n на кубы

Во втором случае куб Q" более не делим, и этот куб Q" можно считать одним из кубов Qh, участвующих в формулировке теоремы. Неравенство ( 1 6 ) выполняется для него, поскольку

В первом случае мы продолжаем разбиение Q" и повторяем этот процесс до тех пор, пока мы не придем ко второму случаю

(если только мы придем	к нему).		Обозначим		через		£1 =[J		Qh
									ft
объединение кубов, получаемых во втором случае,						причем			про
цесс начинается во всех возможных кубах Q' нашей первоначаль
ной сетки. Докажем, что	f(x)	^ а	почти	всюду	на	F =		CQ.	Дей
ствительно, для почти всех точек х е F				по теореме			дифферен
цирования (см. вариант	этой	теоремы, о		котором		идет		речь в
§ 1-8)

где предел берется по кубам Q, содержащим х и таким, что диа метр Q стремится к нулю. Но каждый из кубов, входящих в наше разложение и содержащих х, есть куб, для которого вереи пер вый из альтернативных случаев. Тем самым теорема доказана.

3.4. Докажем теперь одно прямое следствие этой теоремы, ин тересное тем, что оно содержит ту часть теоремы, которая будет использована в следующей главе.

	СЛЕДСТВИЕ.	Пусть	/, a,	F, Q и Qu имеют тот же		смысл,	что и
в	теореме 4.	Тогда существуют две константы А и			В	(зависящие
только от размерности			п),	такие, что выполняются	свойства		1 ) и
2 )	и

a)m ( Q ) < 4 ^ H "

Действительно, в силу ( 1 6 ) мы	можем	взять	В — 1п	и, также
в силу ( 1 6 ) ,
m ( Q ) = 2] т Ш < ^	j j	l l	/ H i	-

Тем самым следствие доказано с А = 1 и В =•» 2П .

3.5. Можно доказать следствие, используя не теорему 4, а теорему 1 о максимальных функциях, и теорему о разложении

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ