Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3522 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

210

Гл.

VI.

Продолжения

следы

проверяется. Поэтому, если

у нецелое, то пространство Lip (у, R n ) эк

вивалентно пространству

A Y ,

см. гл. V, §

в особенности

предло

жение

на

стр.

172.

Когда

целое,

у = k + 1,

пространство

L i p ( £ - f

1, R n )

эквивалентно

пространству

Lk+\ (R");

СМ. §

6.2

гл. V.

Пусть теперь {f0 ) }|/|<^

— набор

функций,

заданных

на

Линейный

оператор

<Sn любому

такому

набору

функций

ставит

соответствие функцию &ъ.(\(Щ, определенную

на Rn , которая

будет,

очевидно,

продолжением

функции

/ =

на R™. Для упрощения

записи

мы

будем

обозначать

это продолжение

снова

через

Наше

определение

операторов

выглядит

следующим

образом:

\$Л10))

Ъ'Р{Х,

Р , ) Ф И * ) .

* ^ С Р >

(

1 8 )

где через

Р(х,у)

обозначен

полином

от

х,

дающий

тейлоровское

разложение 4 )

функции /

относительно

точки

у е

т. е.

Р(х,

У)=

' H

' -

i O

1 ,

x e

R n

i y e

F .

1 Л < 6

Pi, как и в § 2.2, — точка из F, наименее удаленная от куба Q{. Наконец, символ-2' указывает, что суммирование ведется только по тем кубам Qj, которые находятся вблизи множества F, более точно, расстояние от которых до F не превышает единицы.

ТЕОРЕМА

Пусть

k — неотрицательное

целое

число,

•< Y =^ & +

1 И

Р — замкнутое

множество в

R".

Тогда

отображе

ние

ё>и есть

непрерывное

отображение

пространства

Lip(y,F)

пространстве

Lip (у, R n ) ,

которое

дает

продолжение

функции /(°>

на

всё

Rr a . Норма

этого

отображения ограничена

постоянной,

не

зависящей

от F.

2.3.1.

добавление

к только

что

введенному

обозначению

Р (х, у)

удобно обозначить еще через Р/{х,

у) многочлен

\1+1\<Ь

Тогда,

конечно,

/ ( / ) (х) =

Р, (х,

у) - f R/ (х,

у),

x,y<=F.

При

этом

мы

имеем

Р(х,

у)

= Р0(х,

у)

И в

соответствии

с этим

положим

R(x,

R0(x,

у).

') Точнее, некоторый аналог тейлоровского разложения; тейлоровское раз ложение будет в том случае, когда /<(> являются соответствующими производ ными от функции /<°>. — Прим. ред.

2. Теоремы

продолжения

типа Уитни

211

ЛЕММА. Предположим,

что a,

b <= F и х е R";

тогда

Р(х,

Ь)-Р(х,

а)=

Rt(b,

а)^=^-;

или в более

общем

случае

i/l<fc

Р,(х,

Ь)-Р,(х,

а) =

Ri+l(b,

) ^ *

1 .

I i+i \

Для

доказательства

леммы

разложим

многочлен

Р(х,

Ь) —

— Р(х, а) от х по формуле

Тейлора

относительно

точки Ь. Коэф-

фициент

при - — j j - * — тогда равен -^-j(P{x,

b)—P(x,

a))x==b.

Однако

-^т(Р(х,.у))

Р1(х, у) и Pt(b, b) =

fW(b),

дх1

что и доказывает

лемму

для случая

/' = 0. Случай же / ф 0 мо

жет

быть, конечно,

рассмотрен

как специальный

частный

случай

уже доказанного1 ).

Обратим

теперь наше внимание на сумму 2

и посмотрим, чем

она

отличается

от суммы 2-

Замечания, которые мы уже сделали

(см.

(7), (10)), и свойство

(3) показывают, что

если

* € = Q f t ,

то б (х) = dist (х, F)~dist(Qk,

F) ~

dist (Q*k,

F ) .

(19)

Поэтому,

если

6(x)^Ci

для некоторой

подходящей

положи

тельной

постоянной

ci, которая

достаточно

мала,

то сумма

есть

полная

сумма,

взятая

по всем

кубам.

Если

6 ( х ) ^ Сг для не

которой другой положительной постоянной, которая достаточно

велика, то в сумме			2'	вообще нет слагаемых, т. е. f						обращается
в нуль		при б(х)^:С2-	Наконец, если			й	6 (х) sg;		Сг,	то	имеется
только		конечное	число	слагаемых,		и	принимая		во внимание
оценки для производных				функций	<р*(х),		данные в формуле (13),
								да
и оценки для №\ данные в (17), мы видим, что								—— (f (х))			^ А'аМ
для всех а. Поэтому мы можем					ограничиться			дх
								рассмотрением х,
близких к F, а именно тех х, для которых б ( х ) ^ Й . Мы											также
предположим, что осуществлена нормировка: М = 1.
2.3.2.		Далее, мы утверждаем, что выполняются							следующие не
равенства:
а)	\| / ( х ) - Р ( х ,		а ) К Л \| х — а\у				при х 6 = R", а е F;
а')	\!(!){х)-Р,{х,		а ) К Л \| х - а \| 7 _ 1 л				n p n x s R " , a e f ,
									д1
')	Достаточно положить Р (х, у) =Pi				{х, у) и учесть, что — - (Pt(x,						у))--
									дх1

= Р[+j (х, у). — Прим. ред.

212

Гл.

VI. Продолжения

следы

б Ш < ' > ( * ) | < Л

п р и | / | < 6 ;

б') \fM(x)\^A(b(x))y-k-1

при xt=cF,

1/1 =

* +

Для

доказательства

неравенства

а)

заметим

прежде

всего,

что оно

выполняется

с А =

1 для л: GE /*", что

следует из

сделанных

предположений. Предположим, что x GEC.F и

8(x)^.Ci

(иначе все

становится

очевидным в силу

сделанных

выше

замечаний). Тогда

f (х)

— Р (х,

а) — 2

{Р (х,

р(.) — Р (х, а)} ф* (х).

Применяя

теперь

лемму и учитывая

сделанные предположения,

получим

и I Pi

—

|V-

\f(x)-P(x,

а ) | <

lilPi-a

где

внутренняя (без

индексов) сумма берется по таким кубам Qi

(их

самое

большее N ) ,

что

х е= Q*.

Согласно

(11)

—

^Ci | х — а| и, следовательно, неравенство а) доказано.

При доказательстве неравенства а') мы можем вновь огра ничиться точками x e c F , для которых 8(х)^.С\. Здесь №(х) =

	1	I аким	образом,
дх'
	fd)	(х) =»	( - ^ )	(Р (х,	Pi)) %	(х) +	другие	слагаемые.
		i
Если	мы	пренебрежем		«другими		слагаемыми»		и	заметим,	что
(ж)	^ ^ '	^ = ^	^ '	т 0	м ы п о л У ч и м		а ' ) > т а к ж е		как и	а) .

«Другие слагаемые» представляют в свою очередь суммы выраже

ний	вида
		^Pt-i(x,	Pi)(-^)l^(x),		(20)
		i
где	0 < \| /1 и U <п,	I =	1, . . . , п.	Так как ^ ("^)	% (*) = °. т о
эти	суммы равны			i
эти	суммы равны
	£	Pd-Pj-Лх,		а))[-§^^{х).	(21)

Те же рассуждения, что и раньше, с учетом оценки (13) для

^и н е Р а в е н с т в (19) дают неравенство а')-

Неравенство б) (вновь для 6 ( A : ) ^ C I ) есть непосредственное следствие неравенства а'), если в качестве точки а мы возьмем точку из F, расстояние от которой до х ограничено сверху. (Кстати, именно при доказательстве неравенства б) в самом деле было су

щественно то,	что мы определили /	с помощью суммы
^'Р(х, рг)ф*(х),	а не полной суммы по всем	кубам.)

§ 3. Теорема

продолжения

для области

с минимально гладкой

границей

213

Наконец, приступим к доказательству неравенства

б'). Если

мы

выполним дифференцирование для

6(x)^Ci,

то

мы

получим,

что

№(х)

равняется

сумме

выражений

вида

(20).

Поскольку

|/| =

== k -f- 1, то

должно быть

|/| >

иначе

Pj(x,pi)=

0. Таким

об

разом, каждая сумма может быть

переписана

как

сумма

вида

(21), где мы выбираем в качестве а точку из F, наименее удален

ную от х. В силу

леммы

и неравенств (11),

(13)

и (19) мы

полу

чаем, что каждая

из сумм

(21)

оценивается

конечной

суммой

сла

гаемых

вида

A\Pl-a

Г 1

1 1 +

1 " (6 ( х ) / - 1 < А'

(б

(x))y-k-1,

и тем самым неравенство б') также доказано.

2.3.3.Имея в распоряжении неравенства а), а'), б) и б'), мы

можем

теперь

завершить

доказательство

теоремы

4. Случай

k =

0 — это,

конечно,

теорема

(§ 2.2.1). Мы рассмотрим под

робно

случай

k =

1, который является

вполне

типичным;

тогда

1 <

Неравенство а) показывает, что функция / имеет первые част

ные производные в каждой точке множества F, причем они равны

№(х)

| / | = 1. Но функция

/ — класса

С°°

на °F; и, таким

обра

зом,

существуют

производные

[ J

^ J f

= /< ; ') в каждой точке из °F.

Неравенство

а')

показывает, что получающиеся функции fU\

\}\ —

1, непрерывны

всюду на

Пусть

теперь g

обозначает

одну из первых частных производных;

тогда из неравенства

а7 ) и

б')

соответственно

вытекает,

что

\g(x)-g(a)l^A\x-ar\

x e R " ,

a^F,

I \ <

А (б (х))у~\

i =

1, . . . . п,

x<=cF.

Эти

два неравенства имеют

ту

же форму, что и неравенства

(15)

(14)

при

доказательстве

теоремы

для

& = 0

(с

у — 1

вместо у). Если следовать проведенным там рассуждениям, то по лучится, что каждая из функций g(x) е Lip (у — 1, R " ) , что и представляет собой искомый результат при k — 1. Доказательство для k ^ 2 может быть выполнено по индукции, причем индуктив

ный шаг очень похож на только что рассмотренный случай k =		1.
Вариант этой	теоремы, аналогичный следствию в § 2.2.3,	дан
в § 4.6 ниже; см.	также § 4.7, где дан еще один вариант.

§3. Теорема продолжения для области

сминимально гладкой границей

Пусть D — открытое множество в R™. Наша цель — описать оператор (g, который распространяет функции, заданные на D, до функций на всем Rn . Оператор, который будет предложен,

214	Гл. VI. Продолжения и следы

является универсальным в том смысле, что он годится для любых порядков дифференцирования. В этом его отличие от иерархии операторов <§к возрастающей с ростом k сложности, которые были необходимы для осуществления продолжения в случае произволь ного замкнутого множества F. Построение оператора (Е будет возможно, если граница множества D удовлетворяет некоторому минимальному свойству гладкости, которое можно приблизительно выразить, сказав, что граница принадлежит классу Lip 1. Вскоре будет показано, что эго условие нельзя существенно ослабить. Удивительным, таким образом, является то, что дифференцируемость границы порядка один является, грубо говоря, точным тре бованием, обеспечивающим продолжение для любых порядков дифференцирования.

3.1. Формулировка теоремы.

Подходящими

функциональными

пространствами

являются здесь пространства Соболева LP(D),

оп

ределяемые

по

аналогии с частным случаем D

R n

следующим

образом.

Пусть

Со° (D)

обозначает

класс

функций

из

С°° с

ком

пактным

носителем,

лежащим

в D.

Тогда

локально

суммируемая

функция

определенная на

имеет

(слабую)

производную

daf

которая локально

суммируема,

если

—^-a- — g,

f q

> d

(— l ) | a

( g(fdx

для

любых

ф е С 0 ° ° Ш ) ,

дх

•>

daf

Если g^Lp(D),

то

мы

говорим,

(D).

Далее,

если

что — j r e= V

k — целое, то

дх

Li (D) =

{ f e

p (D):

e= L " (D) для любых

| о | < й | .

Норма получающихся классов эквивалентности задается равен

ством

d«f II

Нашей целью будет доказательство следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 5.

Пусть

D — открытое

множество,

граница

кото

рого

удовлетворяет

минимальному условию

гладкости,

задавае

мому

условиями

1), 2 ) , 3 ) из § 3.3. Тогда

существует

линейный

оператор

©, отображающий функции,

заданные

на

D, в

функции,

заданные

на

и обладающий следующими

свойствами:

а)

й (/)

\D = /,

т. е. ® есть оператор

продолжения;

б)

(§

непрерывно

отображает Lpk{D)

в Lk(R")

для всех

р, 1 ^

^ р ^

о о

и для

всех

неотрицательных целых

Теорема

продолжения

для

области

с минимально

гладкой.

границей

215

Заметим,

что

для указанных

множеств

теорема

также

разре

шает

задачу

следах

для

L £ ( R R A ) . Действительно,

если

D — лю

бое

открытое

множество

R " , то очевидно,

что

сужение

(след)

на

любого

элемента

из

L ^ R " ) принадлежит

Lpk{D).

3.2. Основной

частный

случай.

Основная

часть

доказатель

ства теоремы содержится в существенном частном

случае,

кото

рый мы сформулируем

и обсудим

отдельно.

этой целью

удобно с точки зрения записи рассматривать

не

R N ,

a R N + 1 . Мы

будем

рассматривать

точки

из

R N

+ 1

как

пары

(х,

у),

где х

<= R " , а у

R 1 . Множества

(теперь открытые мно

жества в R N + 1 ) ,

с которыми

мы будем иметь дело, — это

специаль

ные

липшицевы

области,

определяемые

следующим

образом.

Пусть ф:

R™ - * R 1 — функция,

удовлетворяющая условию

Лип

шица

| ф ( х ) - ф ( х ' ) К М | * - * Ч

х,

х' €=

R " .

(22)

С помощью этой функции мы можем определить специальную липшицеву область, ею порождаемую, как множество точек, лежащих

над гиперповерхностью	у =	ф(х) в	Rn+i,	т. е.
D =	{(x,	j ) e R " +	1 : у>ч(х)}.		(23)

Наименьшую постоянную М, для которой выполняется (22), будем называть константой Липшица (для) специальной липшицевой области.

ТЕОРЕМА

5'. Пусть

D — специальная

липшицева

область в

R N + 1 .

Тогда

существует

линейный

оператор продолжения

®,

пере

водящий

соответствующие

функции, заданные

на D,

функции,

заданные

на

R ^ 1 , и непрерывно

отображающий

L{{D)

в L £ ( R " + 1 ) ,

l ^ p ^ o o ,

k — целое.

Кроме

того, норма

этого

отображения

ограничена

постоянной,

зависящей

только

от размерности п,

по

рядка

дифференцируемости

k и

константы Липшица

специальной

липшицевой

области.

Прежде всего выясним, что условие Липшица (22)

для

границы

области по существу		нельзя улучшить. Предположим,			что	рас
сматривается	область	в R 2 , у	которой ц>(х) =	\х\у, у •< 1,		т. е.
D = {(x,y):	* / > \| * \| v } .	Здесь	ф удовлетворяет	условию	Липшица

порядка у', условие (22) нарушается только около начала коор динат. Положим f(x,y)— уЪ в D около начала координат, f е С°° вне начала координат, и пусть f имеет компактный носитель. За


метим, что	/ S E L 2	+ E	(D)	для некоторого		е > 0,	так	как	1/у -f-
+ 2 ( р — 1 ) > — 1 ;		это	неравенство		может	выполняться при			под
ходящем отрицательном				(J, как бы ни было		близко у к 1. Но если
теорема продолжения справедлива					для такой области D, го про
долженная	функция f		будет принадлежать			L 2 + E ( R 2	) ,	и по теореме

216	Гл. VI. Продолжения и следы
Соболева	(теорема 2 в § 2.2 гл. V) она будет непрерывна, что при
водит к противоречию.
3.2.1.	План доказательства. Рассмотрим область D и точки, ле

жащие вне ее замыкания. Наша задача состоит в том, чтобы опре

делить	&(f)(x,y)	(здесь	у<Су(х))	для	функции /,	заданной	на
D. При	фиксированном х		мы определим		U(f)(x,y)	для ц>(х)^>	у

с помощью подходящего среднего значения функции / на отрезке, где ф(х) < у. Две вещи необходимы для того, чтобы мы смогли осуществить эту идею. Во-первых, подходящая весовая функция, с помощью которой будут определяться средние значения. Во-вто рых, конструкция, позволяющая избежать трудности, заключаю щейся в том, что разность ц>(х)— у допускает не более одного диф ференцирования (по х). Эти вопросы разрешены в следующих двух леммах.

ЛЕММА 1.	Существует		непрерывная
на [1,оо),	которая	быстро		убывает
гр(Я) = 0(X~N)	при	Х-+оо	для	любого
удовлетворяет	условиям
оо			оо

функция гр,		определенная
на	бесконечности,		т. е.
N,	и которая,	кроме	того,

J яр (X) dX =

j " A*ip (X) dk =

k =

1, 2, . . .

. ')

ЛЕММА 2. Пусть F =

Предположим,,

что

А(х,у)

есть

регу-

ляризованное

расстояние

от F, о котором

шла

речь

теореме

из §

2.1. Тогда

существует

такая постоянная

(которая

зависит

только от константы Липшица

области

D),

что если

(x,y)^cF,

то

сА(х,

г/)5з

ц>(х)— у.

Для упрощения записи мы положим

б* =

2сА, тогда

8*(х,

(/)

> 2 ( ф ( х ) — у).

Мы

теперь

можем написать

формулу,

которая, как

выяснится, и определит оператор продолжения для

области

Если

(х, у)

6ЕС Д

мы

положим

со

(/) (х,

\f(x,

у +

А6* (х,

у))

гр (X) dX,

(24)

где интеграл будет определен с помощью подходящего

предельного

перехода.

План

наших

дальнейших

действий

такой.

Сначала

§ 3.2.2 мы дадим доказательства двух лемм. Затем

мы

покажем,

что 'оператор

(jg, определенный

формулой

(24),

дает

то,

что

тре-

Доказательство теоремы было

бы проще, если бы г|)(Х) =

при

А , ^ Х о > 1 .

оо

Этого

можно добиться,

требуя,

чтобы j Xkty(k)dk

только

для

конечного

числа натуральных чисел k. Но тогда оператор (5 в теореме 5' будет зависеть от

порядка дифференцируемости. Если же	== 0 при % 5=	и упомянутое	усло
вие выполняется для любого k = 1, 2, . . . ,	то. t\|)(к) = О, к е	[1, оо) . — Прим.	ред.

§ S. Теорема продолжения

для области с минимально

гладкой границей

217

буется в теореме 5', а именно продолжение в случае, когда D — специальная липшицева область. Наконец, оператор (§,, соответ ствующий более общим открытым множествам, будет построен с помощью операторов, соответствующих специальным липшицевым областям.

3.2.2. Доказательства лемм 1 и 2. Можно указать элементар ную функцию, удовлетворяющую требованиям леммы 1, а именно

ф (Я) =

I m

( Л - 1 ) , / 4 ) ,

где

со =

е~ы1\

Действительно, рассмотрим однозначную аналитическую функ

цию

е~а{г~1)

'* в комплексной

плоскости

с разрезом

вдоль

действи

тельной

оси

от

1 до

+ 0 0 . Далее,

возьмем

контур

у,

идущий

от

+ оо до

1 по

верхнему

берегу разреза,

делающий

бесконечно

ма

лую

петлю

около

1 и возвращающийся

к + о о

по нижнему

берегу

разреза. Тогда,

поскольку

e-<»(z-i)/* быстро

убывает

при

z—>оо,

мы получаем

по теореме Коши

Г l e - c o ( Z - l ) V V z = = e - u > ( Z - l ) ,

A |

-1

J z

' г = 0

и в то же время

- ^ г / - Т в - < - ,

, , / < Л

в 0 '

А =

2 . . . . .

Для доказательства леммы 2 воспользуемся простой геомет

рической

интерпретацией условия

Липшица

для

границы

области

D. Пусть Г_ обозначает (нижний)

конус с вершиной в начале

ко

ординат, задаваемый следующим образом:

Г_ =

{(*. у):

М\х\<\у\,

у<0}.

Для любой точки р е

R n + 1

обозначим через

Т-(р)

конус

Г_, пере

несенный так, чтобы его вершина совпадала с р.

Теперь сразу же видно, что из условия Липшица

(22)

вытекает,

что

если

р — любая точка

границы области

т. е. р — (xi, у\) с

yi =

(p(xi),

то

Г _ ( р ) с с

C F . Далее,

пусть

(х,

у)

обозначает

любую

точку

из CD, и

пусть

р — (х, Ф(АГ))—точка

границы

обла

сти

лежащая

над

ней;

тогда, конечно, (х,

у) е

Г_(р) и любая

точка

из D

находится

от

(х,

у) не дальше, чем от границы

конуса

Г - ( р ) .

Очевидно, что

(х,

у)

лежит

на оси кругового конуса

Т-(р),

и простые геометрические рассуждения показывают, что это ми

нимальное	расстояние	(от	D	до	(х,у))	больше или равно
(1 + ЛГ-2)-'/«(ф(д:) — у).		Поэтому		6(х,	у)>{\	+ М-2)-Ч'(ц(х)	— у)	и,
следовательно, сД(х, у)>		ф(х)	— у, где с =			5(1 + М~2)'1\	поскольку
по теореме	2 С\Ь А, а из доказательства					этой теоремы	видно,	что

можно взять Ci =» '/Б (см. § 2.1).

218

Гл. VI. Продолжения

и следы

3.2.3. Вооруженные леммами 1 и 2 и полученным с их по мощью определением (24) для ©, мы переходим теперь к доказа тельству теоремы 5'. Допустим, что f^Lk(D); предположим, кро ме того, что функция / — класса С°° в D и что она вместе со

	(х.у)
Р и с	3. Липшицева область D и внешний конус	Г_	(р).
всеми своими частными производными непрерывна		и ограничена в
D. Последние	условия, конечно, выполняются	не	для всех

f e L j f f l ) , Нашим намерением будет доказать для указанных / неравенство

II ® Ф WiP ( R » + i ) < Ak, п (М) \|\| / 1 \| ^ (D).		(25)
С помощью этого априорного неравенства мы	сможем	рассмот
реть случай любой функции f, принадлежащей	L l (D),	путем
перехода к пределу.

§ 3. Теорема продолжения для области с минимально гладкой границей 219

Определим теперь				® (/) (х, y)	= f (х,	у),	если (х,		у) <= D,		и
		со
	6 (/) (*. y)=j		Ф	(*. У +	М* (х,	у)) dX		для	(*, у) е= е 5 .
		1
Заметим, что приняв во внимание неравенство 6*(х,									у)^2(<$(х)		— г/),
мы	получим, что	при		X ^ 1
	у + Яб* (*, у) >		г/ + 2 (ф (х) — у)=у(х)				+	ф (*) — у >		<р (*).
Это	неравенство	и	предположенная			ограниченность				функции /

показывают, что интеграл, дающий оператор 6, определен кор ректно.

	Теперь	мы сталкиваемся со		следующей		ситуацией.			Пусть		D
так же определено, как и раньше, а Ь_ =						{(х,	у):	ф ( х ) > у},		т. е.
D-	состоит из тех точек, которые лежат				строго_под нашей липши-
цевой гиперплоскостью. Тогда,				конечно,	D\j		D-=	R™,	но	D	и
D _ пересекаются. Свойства функции /, которые мы временно при
няли, показывают, что			функция	(S(f) непрерывна				вместе	со	всеми
своими частными производными в D . Далее, заметим, что для та
кой	/	есть функция класса С°° в D-				и все		ее частные про
изводные		непрерывны	(и ограничены в		D )	.	Рассуждения			вполне

типичны уже, например, для

ние, получим

@. Выполняя дифференцирова-

dXj

дЩЦ)	= J* fu(-)^{X)d%+2\fjy{-)Kb)^{X)d%	+
дх)	•

• Мы воспользовались следующими сокращениями: /// обозначает

,	аналогично		\|£	обозначено	через	f„;	(•)	стоит	вместо
dXj			°У
(х, у	+16*).
В силу предположенной дифференцируемости функции f в D за-
писанное выше равенство показывает, что функция								—j(§,(f)(x,		у)
корректно определена для (х, у) е					D _ . (В	действительности			точно
так	же	очевидно, что (£(f)(x,y)			принадлежит		классу С°°		в
, Пусть, далее, точка (х,				у) стремится к граничной точке области						D_,
а именно		к точке	(л:0, у0) <= ZL f) D.		Тогда	6* (л;, у)->0,		и поскольку

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3522 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ