книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

ЛЕММА 3. Пусть 1 < р < оо

и а ^

I . Функция

f е

j? £ (R")

тогда

и только тогда, когда f <= i ? a - i

(R") и для

любого

j ~ -

<= S?a-\ (R*).

re

При ЭТОМ НОРМЫ | | / | | р . а

И l l / ' l l p . a - l

+

эквивалентны.

1=1

11 '

!р.

а — 1

Предположим

сначала,

что

/ е ^ ( Я " ) .

Тогда f

= fa(g),

где

g е= L p . Мы утверждаем,

что

• ^ L

= / a - i ( g ( / ) ) ;

g(l) =

-Ri(^*g).

(42)

=

-

2я/х/ (1 +

4я2 1 я | 2

) ~ 0 / 2

£ (к):

= ( 1 + 4 я 2 и | 2 Г < а ~ , ) / 2 ^ / ( х ) >

,

(*) =

-

ix,

2л\х\

g(x) .

Отсюда

и

следует

(42)

для

где g ;

— ^

(1 +

,,

| X |

4я2 1 АГр)

'2

g^9*.

В общем

случае,

если

g e = L p ( R ' J ) ,

то

существует такая

последовательность

g m

е 5?, что gm->g

по // - норме . Отображе­

ние g - *u . ,*g - , а

следовательно,

и

отображение

g - >

(p,i * g)

ограничены

в

L p .

Первое ограничено, поскольку \хи согласно

лемме

2,—конечная

мера;

второе—поскольку

при

1 < р <

оо

пре­

образования

Рисса

R]

ограничены (см. гл. I I и

гл.

I l l ,

§

1). Это

показывает,

что

последовательность

сходится

в ^ - г н о р м е

и выполняется

(42). Таким образом,

df/dxj

е

и

п

п

2 \-ъЧ- I

=2

и £ (

/ > it

<

Л Р if ^

i

t =

А Р

\\f iu «•

Принимая еще во внимание тривиальную оценку

|| / ||р, a _ ! <|| / ||р,а

(см. (40)), мы

получим

II

/ Hp,

а - 1

Для доказательства обратного утверждения заметим

прежде

всего,

что если /

и все

производные

df/дх/ принадлежат

3?a-i,

то

162

Гл. V.

Дифференциальные

свойства

функций

Далее

fm

=

?a(hm),

так

как

fm

=

fa-i(gm);

следовательно,

I m up, а

hm\\p.

Таким

образом,

I f m Hp, а ^ Ар

>т ир

dgm

дх

/ ИР

+21

То же неравенство

будет

выполняться,

если

заменить

fm на

f - m ~ f m "

а

£

т ~ н а

8т~8т'-

Э

т о

'

показывает,

что

последова-

тельность

fm

сходится

также

и

в

Переходя

к пределу, мы

получим,

что / е 2?о. и

lp, а ^

Ар

.8\

Р . =

4

II f l U

«

л

/=i l

дх,

\р, о—1

Это неравенство в совокупности с

неравенством

(43) завершает

доказательство

леммы

3.

Теорема 3 доказывается теперь сразу же. Очевидно, что про­

странства

L i и 9?а

тождественны

при а = k =

0. Кроме

того,

ясно, что при k~^\

f e L f ( R " )

тогда

и только

тогда,

когда / и

^L&LLiW),

... . л. Нормы I I Л 1 ^ )

и

J

L

й

- 1

/=i'

дх.

'к- I

3.5. Модуль непрерывности. Предположим,

что / e L p ( R " ) ,

Рассмотрим вновь // - модуль непрерывности сор (0=11

/ (x-\-t)~f (х) \\р.

где // - норма берется по переменной х. Нам известно, что озр (0 -*0

при \t\->0,

если 1 < р < о о

(см. гл.

I I I ,

§ 2.2).

Зададим

себе

следующий

естественный

вопрос. Можно ли тот

факт,

что

/ e ^ ( R " ) ,

описать в

терминах

малости функции

сор(0 при \t\—• ()? Если

да, то это даст

простую

характеристику

функций из £а

в терминах их гладкости.

К сожалению, ответ на этот вопрос отрицательный, за исклю­

чением некоторых частных случаев. Случаи,

когда

пространства

9?а

могут

быть

описаны

с помощью

модуля

непрерывности, про­

§ 3.

Бесселевы

потенциалы

163

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть

\ <р

<

оо.

Функция

f е

S?\ (R")

тогда

и

только

тогда,

когда

f

s

L p

(R")

и сор (t) =

О (\t |)

при | / 1 ~> 0.

Пусть / е й ) . Положим t—\t\t',

где | ? \ — 1; тогда / (х + /) —/ (х) =

=

| (V/, *') (•« +

st')

ds.

Следовательно,

согласно

неравенству

Мин-

ковского,

;—1 II

/

Р

(45)

С

помощью

аппроксимирующих

последовательностей

(см. § 2 . 1,

предложение

1)

это

неравенство

распространяется

и

на любые

функции

из

L\(Rn).

В

силу

теоремы 3

оно

выполняется

для

f е

S ' I (R"),

1 <

р <

С О , И, таким

образом, из

того,

что

/ e 2 ' i ' ( R ' 1 ) ,

следует,

что

юр

(t) =

О

(\t\).

Обратно, если &p(t)

=

0

(\t\)

при 111->0, то

последовательность

m

где

— единичный

вектор

по

направлению

оси X;,

равномерно

ограничена

по

норме

L P ( R " ) .

В

силу

слабой

компактности

единичной сферы

в L p

(1 <

р)

мы

можем

подобрать

такую

под­

последовательность

{mk)

и

такие

функции

е

L p (R"),

что

m*(f{x

+

%

)

- f

( x

)

^ f

0 '

астности

из

равенства

)

{

l

)

с л

а б

В

4

\

mk.

Ф (я)

=

f (л)

ф(х)

_ 1 _

J

"

_

j _

следует равенство

Оно

показывает,

что

дх,

Lp(Rn),

т. е. что

/ e Z . f

(Rn ) = 2 ' f ( R r t ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.

Пусть

0<а<1.

Функция

f е

i?a (R*)

тогда

ы только

тогда,

когда

/ e L 2 ( R " )

и

Следует

отметить,

что поскольку

сор

(t) ^ 2 1 | / |L

то

особенность

у

интеграла

'

2

а at

имеется

только

в

окрестности

начала

координат.

RRT

В

силу

теоремы

Планшереля

тот

факт,

что

f ~

f a ( g

) ,

где

g e = L 2 ( R " ) , эквивалентен

следующему

утверждению:

/

J

I f (*)2 (1 +

4 я 2 [

х f)adx

<

о о .

(46)

Вновь

по

теореме Планшереля

(со2

(t))2

HI

f(x

+

t)-f

(х)

II2

=

J

| f

(л:)

| 2

| е - 2 ^ - '

-

1

fdx.

R*

Поэтому

\{jfKdt

=

l\Hx)ff{x)dx,

где

R"

1

'

R"

.

\ -гшх-t

_

i 12

Я * ) = |

' m „ + 2 a

(47)

Интеграл f (x) оценить нетрудно. Прежде всего f(x)—f(px)

для

любого вращения р относительно начала координат. Следовательно,

f (х) =f0(\x\).

Далее,

в

силу

однородности

/

(х) — | х \2а f

(п),

г д е

Ц — какой-либо

фиксированный

единичный

вектор. Ясно,

что

постоянная f

(г\) такова,

что 0</'(ц)

< о о ; конечность /(т])выте ­

кает

из

неравенств | е - 2 л г т И — 1|^2

и \е~2п1^-1

— 1 |s^c|r|,

которые

обеспечивают

сходимость

интеграла,

дающего

f

(ц).

Таким

обра­

зом,

условия f <= L 2

(R")

и j ^l+la dt <

оо

эквивалентны

тому,

что

J" | f (х)

fdx

<

оо

и

J | л: |2 a | f

(x)

fdx

<

о о . Последние

два не-

R"

эквивалентны

R"

что

и доказывает

наше

равенства

неравенству

(46),

предложение.

3.5.1.

Интересно отметить, что

предложение

3 для

р =

2,

а = 1 ,

не

является

(по

крайней

мере

в

Данной формулировке)

предель­

ным случаем предложения 4 при

а - > 1 .

Можно,

однако,

и в

слу­

чае

a =

1 высказать

утверждение

в духе

предложения

4,

причем

в такой форме, которая подготовляет введение некоторых инте­

ресных для дальнейшего

выражений.

Мы

рассмотрим

несколько

измененный

модуль

непрерывности

й р

(t),

определяемый

равенством

б р

(/) =

|| / (х + t) +

f (х — t) —

§ 3. Бесселевы. потенциалы

165

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

б.

Пусть

0 < а <

2.

Функция f e i ? a ( R " ) тогда

ы только тогда,

когда

f e L 2

( R " ) и

J

\цп+2а

« К

. 0 0 -

RRE J

1

RRE

1 1

Г ( М О ) "

^

при

. _

Т

7 ^

<

° °

р > 2

Rrt

J 7 7 Ж < ° °

при

р < 2 .

R"

1

1

Обратно,

если

то

при условии,

что

J 7 7 i w r f / < 0 °

п р и

или

dt<°°

J

m „ + 2 «

ПРИ

Р > 2

-

R*

'

'

«V (О

' ) Пусть, например,

/ е

Тогда ар

(/) = О ( 1 1 \),

но

если — щ -

-> 0

прь

| / 1 - > 0, то

это у ж е означает, что

f s=0. В то ж е

время

всегда

<3> (t) =

О ( j

11

2

)

р

при 1<|->-0. Более глубоко

этот

вопрос

рассмотрен ниже в

§

4.3.1.

166

Гл. V. Дифференциальные

свойства

функций

IIf 11Ла = IIf I L + ,fuP 0 * П х + 1 } - П х П « .

(48)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.

Каждая функция / е Л а

может

быть изме­

нена на множестве

меры нуль так, что она

будет

непрерывной.

и(х,у)=

j

Py{t)f(x-t)dt,

Py(t).

СпУ

n + l '

*"

(\t?

+

y*)

2

Тогда

u{x,

y)-f(x)=

J*

Py(t)[f(x-t)-f(x)]dt

и,

следовательно,

\tfdt

n + l

R-

кП

I( \mt 212+i «/„2\)

2

=

A'ya

') Термины «условие Гёльдера» и «условие

Липшица»

встречаются

одина­

ково часто. Мы предпочитаем второе название.

[В отечественной

литературе в

этом случае чаще употребляется используемое в

этой книге название

«условие

Липшица». «Условием

Гёльдера»

часто называют

аналогичное

условие

с

I I ' I I P I

1 <

р < оо, вместо

II • II «о. — Ред.]

§

4.

Пространство Аа

функций, непрерывных

по 'Липшицу

167

(при а <

1).

В частности

\\и(х, у\) — и{х,

у2)\\ао-*0

при уь

у2-+0-

Поскольку

функции

и(х,

у) непрерывны

по х

и сходятся

равно­

мерно при

у->0, то

функцию f (х) можно считать»

непрерывной.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7. Пусть f е= L°° (R") и 0 < а <

1; / е Л , (R") тогда

и только тогда,

когда

ди (х-, у)

< Л г / - ' + а .

(49)

ду

дРу

(х)

с

г дРу

(х)

dx = 0,

у>0.

(50)

ду

ах^.

—;

J

ду

^

у

дРи

< с , г / - / г

;

дРу

<с'\х\

, - r t - l I

ду

_ 1

ду

Второе

следует

из того,

что J

Ру (х) dx =

1.

Далее,

ди

ду <*>

У"> = 14г

W f (х

-

' > d t =

= ] ^ b T { t )

[ f { x

~ t ] ~ f { x ) ] d u

откуда 2 )

ди

dp

~ду

fKl

-^\t\adt

=

c»\\f\\Kj-^.

')

Интеграл по R "

разбивается

на сумму двух интегралов:

при

| * | ^ ( / и

|*|>

у. В первом

интеграле используется первая

оценка для дРу

., во втором —

вторая. — Прим.

ред.

ду

2 )

Рассуждения те

же, что и в

предыдущем

примечании. — Прим.

ред.

168

Гл. V. Дифференциальные

свойства функций

ди

(х, у)

п.

(51)

дх/

ПРИМЕЧАНИЕ.

.Наименьшая

постоянная

А

в неравенстве (49)

сравнима с наименьшей постоянной А/ в (51).

ди

ди

ди

ди

Мы знаем, что связь между

и

^ -

устана­

вливается с помощью преобразования

Рисса

(см. гл.

I I I , § 2.3).

доказательством

этого

утверждения

и трудным

доказательством

ограниченности

в L P , 1 < р <

оо

(см. также гл. I I , § 6.9).

Для

доказательства

леммы

мы

воспользуемся

следующими

оценками:

дР»

<су

-1

дРу

(52)

ду

dxj

Первая из них уже приводилась

(см. (50)),

вторая

доказывается

аналогично.

Так

как

Р„ = Ри

У2>

У =

У1 + Уъ

У! >

0,

то и (х, у)

=

= РУ1*и(х,

у2),

откуда

при

у1

= у2=у/2

следует, что

дги

дРу12

I ди \

ду

дх.

дх

1'

ду

I У12

Теперь из (52) и из предположения

о том, что

-|^-|| <С Ау 1 +

а ,

вытекает

неравенство

д2и

<А1У

- 2 + а

(53)

ду

дх}

Далее, в силу (52)

I

д и

(х,у)

дРи

дРу

\f\L<cy-4f\

II

дх,

дх/

дх/

Таким образом,

•щи{х,

у)->0

при

у-

оо

§ 4. Пространство Л а функций, непрерывных по Липшицу

169

д2и (х, у')

dy'.

дудх,

Наконец,

учитывая

(53), получаем, что

ди

< Л 2 г г 1

при

а < 1 .

дх]

+ 0

Обратно,

пусть

выполняется

(49). Рассуждая

так же, как и

выше,

мы получим, что

"Щ

<Л3 г/ - 2 +и,

/ = 1 , 2,

п.

Но

дх

поскольку и — гармоническая функция,

т. е.

д2и

__= _

у

д2и

ду*

~

L

дх)

то мы имеем

д2и

^ Л 4

г / _ 2 + а ,

и опять с помощью интегрирова-

И^ргЦ

ния мы получаем, что

< 4 * - ' « .

Теперь мы в состоянии доказать обратное утверждение из

предложения

7.

Пусть

II-1-й(я, у)

*^Ау~1+а.

Тогда,

согласно

лемме, |-g^-""(*> У) ||

II

Оу

то

^А'у~1+а.

Запишем

f(x +

t)-f(x)

=

{u(x +

t,

у)-и(х,

y)} +

{f(x + Q-u(X

+

t,

у)}-

— {f (х) -

и (х,

у)}.

Здесь

у

не

обязательно

зависит

от

t,

но удобнее

всего взять

y = \t\.

Имеем

| и(х +

t, у) — и(х, у) |<

11

V H ( X +

s, у) \ds,

где

L — отрезок

(длины

11 \), соединяющий

L

и х + t.

Значит,

точки х

I и (х + t, у) -

и (х, у) | <|/|2

JиХ/

(х, у)||оо<Л5

\t\-\t Г 1 + а

=

A5\t

Г.

Далее,

f (* + *) — ы(* +

*. #) =

-

J -щги{х

+ и

у')йу\

откуда

\f(x

+ t)-u(x

+ t, у)\<у

l\-^\\jy'<A6y"==A6\t\a.

о

0 0