Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

190	Г л.	V. Дифференциальные			свойства		функций
Далее,				оо
	<	ч		оо
д и	<	ч	!	Г d2U ,		,	, а .
- o	J {	x ' t j ) -	W ^ )	J	-dyT(x'y		+ s ) s	d s :

				со
			Г ( 1	а)
				у
Следовательно,	j у	~ ^	d y ^ c 2 j y 3 + 2 a ^ r
	о			о
Aa.8i (f) dx s-C 2ba	(F)	(х).	Обратно,	имеем

-*)*<**•

dy и, таким образом,

I F (x +

0 -

F (x)

J <

\ W\ds+

j\VU\ds+

VU\ds,

где

L \ ,

L 2 и L 3

— отрезки,

соединяющие

соответственно точки

(х,

y)t

t,0)

+ t,

у), (x

у)

у).

Так

как

С/ (я,

у)

оо

и (х,

(/ +

s ) s - 1 +

rfs,

то

оо

|V£7 (я,

- ^

! -

| V« (*,

s)\s~l+ads.

Если

мы

подставим

эту

оценку

приведенное

выше

неравенство,

положим

| и

проинтегрируем,

то

после

некоторых дальнейших

преобразований

мы

получим, что 2Da (F)

(х)

Bagk

(f)

(х)

при

условии,

что

А <

1 +

2ct

. См. также

—

работы,

указанные в

6.13.

а) Предположим, что

2п

(последнее

неравен-

0 < а < 1 и — — — < р < о о

~г" CS

ство во всяком случае выполняется, если

2 ^ р < о о ) .

Функция

f е

3?ра

тогда и только тогда, когда

Lp(Rn)

2 ) „ (/)

е i ' ' ( R " ) .

Кроме

того,

норма

|| / J , , a

эквивалентна

|| f \\р

|| 2)а

(/)

б) Похожий результат верен для более

широкого

интервала

0 < а < 2 ,

если

® а

(/)

(*)

заменить на

( I '

I f

( x + Q

f ( x - 0 - 2 / ( ^ ) | 2

VI,

[7r^

Результаты §

6.12 и

6.13

получены

работе

Стейн

[ 7 ] . Более

ранние

резуль

таты, относящиеся к одномерному случаю, см. в работах: Марцинкевич [2],

Зигмунд [1] и		Хиршман	[ 1 ] .	Более	сильный результат, в котором		рассматри-
вается	критический случай		р =	^	, недавно	установлен Фефферманом [1].
в)	Вариант	утверждения а), получающийся,				если заменить & а	(/) на
		CO				у/.
		CO

'0 I \f{x + rt)-f

W l d ' f - S s -

§ 6. Дальнейшие

результаты

191

где В — единичны! шар, справедлив для любых р, удовлетворяющих

неравен

ству

1 < р < о о .

См. Стрихарц [1] .

6.14. Пусть 6 > а .

Ограниченный

линейный оператор Т

из Л а

( R " )

A^(Rn)

перестановочен

со

сдвигами

тогда

только

тогда,

когда

он

имеет вид

Tf =

К * f,

где

Ag'JS ( R " ) -

С М . статью Зигмунда [6] в случае

п =

1 и статью

Тейблсона

[1]

общем

случае.

6.15. а)

Пусть

Т — оператор,

описанный-

в §

6.14.

Тогда

Т —

ограниченное

отображение I

p ( R N )

в Li ( R N )

при условии,

что

р,

g <

оо и — =

б) В то же время существует оператор Г, перестановочный со сдвигами,

ограниченный как отображение A a

( R " ) в A g ( R " ) ,

но

не являющийся

ограничен

ным

в L P ( R " )

при р ф

2. См. Стейн

Зигмунд

[2];

более ранние

результаты

в этом направлении приведены у Харди и Литтлвуда [3].

6.16. Последняя группа результатов относится к пространствам функций с

ограниченным

средним

колебанием.

Они

показывают,

что

эти

классы

функций

часто заменяют пространство Г°° в тех предельных случаях, в которых

резуль

таты оказываются

неверными для

L°°.

а) Пусть функция /

определена

на

R " . Говорят,

что

она

есть

функция с

ограниченным средним колебанием на R " (сокращенно ОСК-функция), если су

ществует такая постоянная М, что m

J" | / (х) — а^ [ dx =sj М для любого

куба Q в R " , где CZQ — среднее значение функции f на кубе Q. Заметим', что всякая ограниченная функция есть ОСК-функция. Обратное неверно, например, неограниченная функция In | лг [ есть ОСК-функция. Приведенный пример является в определенной степени типичным; это видно из того, что можно получить сле дующую оценку:

			m { x ^ Q :				]f(x)-aQ\>a}^e-calMm(Q)
для любого		а >	0.	В	частности, если	/ е	ОСК, то	для	любого куба		Q
j * e a ' f	dx<<x>		при	соответствующем выборе			положительной		постоянной	а.	См.
Q
Джон	и Ниренберг [1].
б)	Пусть	Т — одно			из сингулярных	преобразований,		фигурирующих		в	тео
реме 1, следствии из нее и теоремах 2 и						3 гл. I I . Пусть		функция / ограничена.
Тогда	Tf <= ОСК. См. Стейн [8].


6.17. а)		Пусть	f е О С К ,		тогда		faf
б)	Пусть	f — слабого		типа		р,	т.
причем	1 < р < о о .		Тогда	f a	(f) s		О С К
результат с		теоремой 1 из этой				главы.)
См.	Стейн и Зигмунд			[2].

<= A a	( R ™ ) , где	a > 0 .
е. m (х: \| f (х)		\| > Я } < АХ~Р, 0 < Я < о о ,
при	a—nip.	(Полезно сравнить э т о т

6.18. Предположим, что		f e A f - 2 , т. е. / е= L°° ( R R T ) и
Г	\\f(x +	t)+f(x-t)-2f(x)\"
		dt<t
		Ш п + 2
Тогда - ^ - е О С К ,	/ = 1	п.

Указание. Используя рассуждения, проведенные в § 4 и 5, можно показать, что из сделанных предположений следует существование такой функции 6(s), 0 < S < оо, что

192		Гл. V,	Дифференциальные		свойства		функций
1)	6 (s)	не убывает на		интервале 0 < s < o o ;
2 )	J i ! i £ > _ d s < 0 o ;
	О
3)	\)f(x	+		t)+}(x-t)-2f(x)\}ao<\t\b(\t\).
Выяснив это, можно			воспользоваться		далее	рассуждениями		Джона	и Нирен-
					/	! \ - V s - e
берга	[1],	проведенными	в	случае б (s)	= I In — J		, е > 0	( s < ' / 2 ) .	Более

ранний результат, относящийся к этому вопросу, см. в работе М. Вейс и Зиг мунда [1].

Замечания

	§ 1.	По	поводу потенциалов Рисса см. М. Рисе [2]; более ранний одномер
ный	вариант		можно найти у Г. Вейля [1]. Что		касается	/.^-неравенств из теоре
мы	1, то	для	п =	1 они доказаны Харди и Литтлвудом		[2], а для	произвольного
п Соболевым			[1]. Тот факт, что оператор дробного интегрирования				является	опе
ратором		слабого		типа ^ 1 , ^ П д j , отмечен	впервые	в работе	Зигмунда	[4].

О'Нейл [1] предложил общий подход, в котором используются пространства Лоренца. Простое доказательство, данное в тексте, взято из работы Макенхаут и Стейн [1].

Теорема

восходит к Соболеву [1]. Однако случай р

был

рас

смотрен

лишь значительно

позже

(Гальярдо

[2] и Ниренберг [1]).

Бесселевы

потенциалы

соответствующие

пространства

3?VA

были

вве

дены

Ароншайном

и Смитом [1] и Кальдероном

[ 4 ] 1 ) . Лемма

устанавливаю

щая

связь

между

бесселевыми

потенциалами и

потенциалами

Рисса,

доказана

в работе

Стейн [7]. Совпадение

пространств

3?\

L \ при 1 < р < о о

установ

лено Кальдероном 2 ) . Характеризация пространств S ? \ , данная в предложении4,

принадлежит Ароншайну и Смиту [1].

§ 4 и 5. Для

случая

п =

1 большинство

приведенных здесь

результатов

сформулированы

доказаны в том или ином (иногда неявном) виде Харди и

Литтлвудом

[2], [3], Зигмундом

[6] и

Хиршманом

[1]. Первое явное

исследование

пространств

А^" "

(«-мерный случай)

проведено

работе Бесова

[ I ] 3

) , которой,

однако, предшествовала важная статья Гальярдо [1]. Изложение в этих двух

параграфах

весьма

близко к систематическому изложению, данному

Тейблсо-

ном [2]; в частности, последнему принадлежат

теоремы 4 и 5 4 ) . Читатель

может

также

ознакомиться с более ранней обзорной статьей Никольского

[ I ] 5 ) .

При

р =

такие

пространства

были

ранее

рассмотрены

Слободецким

[1*], [2*\ —Прим.

ред.

2 )

Независимо

от Кальдерона

этот результат

получен Лизоркиным

[3*]. —

Прим.

ред.

3 )

Для

q =

то

пространства

А^' q

во всей полноте были исследованы

ра

нее Никольским

[2*] с

точки зрения теории

приближений. — Прим.

ред.

4 )

Теорема 5 одновременно и независимо получена Лизоркиным [4*]; тео

рема

4'доказана

также

работах

Ароншайна,Муллы и Шептыцкого [1] (p

q),

Никольского, Лионса и

Лизоркина

[1*], Лизоркина

[5*]. — Прим.

ред.

6 )

См.

также

работу

Буренкова

[1*], книгу

Никольского [3*] и

обзорные

статьи Бесова, Ильина, Кудрявцева, Лизоркина и Никольского [1*] и Андриенко [1*] (одномерный случай). — Прим. ред.

§ 7. Дополнения редактора перевода 193

§ 7. Дополнения редактора перевода

7.1. В

случае

q —

оо

(р =

я/6)

теорема

(§ 2.2) может быть уточнена.

Если р — I , то каждая функция

f e i j ( R " )

может

быть

так

изменена

на мно

жестве меры нуль, что получающаяся

функция

будет

непрерывна (см. С. Л. Со

болев

[1]).

При

1 <

р <

оо

полезно

привлечь

рассмотрению

пространства

Орлича

(D) с

нормой

f l

„ =

inf

j M[Xf

(*)]

Если

Af (г1) — целая

функция

Юнга,

М (t)

—

\ t \k,

порядка

меньшего

или равного

р'(—-\—V^1') и

конечного

типа

(т. е.

lim k p

]/]

ak | < ooV то

k->oo

для любого

ограниченного открытого множества D

LP(Kn)czL*M(D),

p=n/k,

1 < р < о о .

(1)

Если порядок больше р', то, как

показывают примеры, вложение (1), вооб

ще говоря, не имеет места. Из

(1), в

частности, следует,

что

если

f e t j j ( R " ) i

то для любой постоянной

с >

j " e c l f l p ' " " £ d x < o o , е > 0 .

Этот результат содержится в работах В. И. Юдовича [1*] и С. И. Похожаева [1*]. Для доказательства оценивается зависимость от q постоянной Aq в нера венстве

	J \| f \| « d * < v M f l £ p		( R f l ) ;
выясняется, что Aq^A	(aq)p'q	для некоторых	постоянных Л и а.

7.2. С. Л. Соболев доказал теорему 2 (§ 2.2) с помощью выведенного им интегрального представления функций f s L ^ ( R " ) (см. [1], [2]). Пусть В— замкнутый шар радиуса h с центром в начале координат. Обозначим через

ф(х) какую	-либо функцию класса	С™	на	R",	равную нулю	вне В, j cp(x)dx	—
= 1. Пусть,	далее, Vx = В, если	i s	B	и Vx	есть область,	образованная	ша

ром В и той частью конуса с вершиной в точке х, касательного к шару . В , ко

торая лежит	между х	и шаром	В,	если	х ф В.	Тогда	для	почти	всех	х
f (х) =	P k . t (,,/)	+ * £	±	J	i £ = l £	. . (, ,	„>	( _ £ - ) а	/ ( у )	(2)
		\|a\|=ft		К л

где ад (л;, г/) — ограниченная, непрерывная при х ф у функция:

оо

Ш{Х,У)=

| ф ( * + Р |yZ^|

) Р " ~ ' ^ Р '

\х-у\

f И'. Стейн


194	Гл. V. Дифференциальные			свойства	функций
a Pk-i	(х, f) — некоторый	многочлен,	коэффициенты		которого суть	линейные
функционалы от f. Здесь		использованы	векторные обозначения: ха =			х" 1 . . . х"" ,

«'=<•.»•••<«•)'.""=Ш"'-Ш°"-

Встатье В. И. Буренкова [4*] приводится вывод этой формулы, который

указывает на ее тесную связь с формулой Тейлора:

|a|<ft

+ k

^ r J 0 - 0

* " 1

(° e ')

- » ) а л

(3)

I ct 1 =

Проинтегрируем

равенство

(3) по # E B , умножив предварительно

обе ча

сти его на ф((/);

тогда

/(*) = 2 -^г|^-г/)адМ2/)ф(у)^ +

| 0 | < Й

~аТ I 1 ( 1

- О г

" ,

( о в ^ ( » + < ( * - » ) ) ( * - » ) а Ф ( » ) Л ^ .

I ос | —ft

В О

Во втором слагаемом в интеграл входят только

значения

производных

Da f (z)

для

z е

Vx.

После

перестановки

порядка

интегрирования

и замен

пере-

\х — г\

менных: сначала

y-\-t(x

— у) =

а з а т е м - 1 - !

— = р — второе слагаемое мо

жет быть приведено к виду (2) (при этом

удобно считать, что интеграл

по у

взят не по В, а по R " ) . Кроме того, после

интегрирования по частям получается

явное выражение для многочлена

Рк-\(х,/):

Pft-,(*. 0 = 2 ~k I М » ) ^ 1 ( * - й в ф ( » ) 1 * -

|a|<ft

Отметим

еще, что интегральное

представление (1) позволяет доказать тео

рему 2 (§ 2.2) не только для всего

пространства R", но и для областей

в R n ,

представляющих собой сумму конечного числа

областей,

звездных относительно

шара.

7.3. Функцию gv

(z), z = (zv

z n ) , Zj =* Xj + iyj, называют

целой

функ

цией

экспоненциального

типа v, если

существует такая постоянная Л, что

v 2 1^ 1

\gv(z)\<Ae

>=' .

1) f e A g ' 1 7 ,

< 7 ^ о о ,

тогда

и только тогда,

когда

в смысле

сходи

мости

в LP

со

f (х) = ^ *„* (*)• а > U s**0

7. Дополнения

редактора

перевода

195

причем

' «

у/<7

Обозначим

через Ev

(f)p наилучшее

приближение

функции f е

LP при помощи

целых

функций g y

Ev(f)p

™l И / — g v l l p .

g v

f e Л£'

1 <

p, q <J оо, тогда

и только тогда, когда

/ °°

См. С. М . Никольский

[2' ] при q =

оо, О. В. Бесов

[1] при 1 <1<7<оо.

7.4. Пусть

А0

Ai — два

банаховых пространства, содержащихся в век

торном

топологическом

пространстве

U , причем

вложение Ai cz U непрерывно.

Обозначим,

следуя

Лионсу и Петре

[ Г ] , [2*],

через S (q, ц; А0,

At), 0 < r i < l ,

1^<?<оо ,

линейное

подпространство

элементов

а из А0 + Ах

представимых

оо

в виде a = J" u(t)dt, где u(t) таково, что е11'» (0 е L ? ( Л 0 ) , е1 *1 - 1 ' (м (/) е

—оо

еL q (А^. Тогда при К р < оо, 1 ^<7< ©о

Ag'« = S ( ? , T , ; L £ ,

L ! f

t ) ,

( I - 2 r , ) £ = a,

где Z/ f t

— пространство,

сопряженное к

+ - р - = l j , £ > a — некоторое

целое

число

(при различных

k>a

получаются

эквивалентные

определения).

См. Никольский,

Лионе

и Лизоркин [1*],

гл. II .

7.5.

Пусть / (у) —• преобразование Фурье функции f (х). Обозначим

через

Das

параллелепипед

{| у^ | < as}, а >

1; положим Г0 =

D „ , Ts

= Dа& — DaS_{,

s =

Функция

/ s

Л £ ' 1 < р < ° о ,

1 ^ 9 < ° о .

тогда

и только

тогда,

когда

(I«"'i'.-c)'M<-

См. Лизоркин [5*].

7.6.

Н а р я д у с пространством

L ^ ( R n )

рассмотрим пространство Z.^

k(Rn)

dkf

функций / s

LP (Rn),

у которых

существуют слабые производные — ' т е

LP ( R " ) ,

; = 1 ,

п.

Используя

теорему

Марцинкевича

о мультипликаторах,

можно

доказать, что L \

k (R") = LP, (Rn).

Если D — область

в R", то равенство

^k,....

k (D) —

(D)> вообще

говоря,

не имеет

места; но оно, во всяком слу

чае, справедливо, если область D удовлетворяет условиям теоремы о

продол

жении

(см. гл. VI, §

3).

196

Гл. V. Дифференциальные

свойства функций

Ниже в § 7.7—7.9 пойдет речь об анизотропных пространствах, в которых дифференциальные свойства функций по разным направлениям различные. По дробно теория анизотропных пространств изложена в книге С. М. Николь ского [3*].

7.7. Пусть

теперь

k =

(k\,

kn)

— вектор

неотрицательными

целочи

сленными

координатами.

По

определению

f e i ^ R " ) ,

если

f е

( R " ) , И суще -

ствуют

слабые

обобщенные производные

f е

(анизотропное

про-

странство

Соболева).

Если

1 < р < < 7 < о о

1 — ^

) 2

Т ~ =

Т 0

Lpk(Rn)

<=Lq(R.n)

(обобщение

теоремы

из

2.2).

7.8.

Пусть

а =

(cti,

ап)

— вектор

неотрицательными

координатами,

— единичный

вектор

по . направлению

оси

Xj,

а у — целое

число,

такое,

что

0 < cty — a.j <

1, Фу =

\а/

П о

определению

е= Ag- q

(R r a ),

если

-j^j

° ° | | Ф . ( , +

/ е . ) - ф . ( , ) | | ^ Г

l/<7

(3)

при

0 < а у

— c t y < 1.

При « у —

a.j—1

соответствующем

интеграле

вместо

первой

разности

нужно

записать

вторую:

Фу (х + te^)

+ Ф^ (х

— te.)

— 2Ф; . (*).

Если

а (

а 2

—

. . . =

ап,

то

пространство

A^q

совпадает с рассмотренным в § 5

пространством А £ | q . Результат

6.7,

а),

может

быть

обобщен

следующим

образом:

если

1 < р ! <

р2^°о,

1<Г<7<0О,

L _ _ L ) V _ L >

р =

ха (т.

е. $i =

6„ =

ка г е ) .

[ 1 ] , [2*],

1 < < 7 < о о .

См. Никольский

[2*], <7 — ° ° ;

Бесов

7.9. Рассмотрим функционал / ( ф ( А ) ) ,

заданный

на

неотрицательных

функ

циях

ф (А)

одного переменного А, определяемый следующим

образом: / (ф (Л))

||ф (ех)\\,

где

норма

|| • || определена

для функций одного переменного f (х),

J t e R 1 ,

удовлетворяет

условиям:

1) Ц/(* +

4)11 =

R !

; 2)

если

0 <

(*)

(х),

то

||/, (х)|| <

||fj (х)||; 3) cj

(ф (А)) < /

(ф

(A Y )) <

с21 (ф (А)) для

любого

у>0

(ci

с 2

не зависят от ф). Определим пространства Л (/) £ ,

(ctj

а п ) ,

так

же,

как

пространства

А ц ' 7

из

§ 7.8,

той

разницей,

что

вместо

(3)

рассматривается

норма

Л ( / )PА = l l f l U

+| / ( у 7 7 ^ | | Ф / ( " + ; е / ) ~ Ф ' ( х ) | | р ) '

§ 7. Дополнения редактора

перевода

197

Пространства Л (/) £ представляют собой обобщение пространств Л£" q ; при

Л (/)£	=	Л £ ' ? .	Для	пространств	Л	справедлива	теорема, сформулирован
ная в	§	7.8.
Описанные			выше	функционалы	/ (-ф) рассмотрены		Головкиным; теорема вло

жения приведена в работах Головкина и Солонникова [1*] и Головкина [3*]. По поводу дальнейших обобщений см. монографию Головкина [2*].

Результаты § 7.7—7.9 обобщены также на тот случай, когда дифференци альные свойства по различным направлениям выражены в разных метриках. См.

Никольский

[4*], Ильин и Солонников [1*].

7.10. Пусть

f — функция

одного

переменного,

заданная

на отрезке [0,

1].

Рассмотрим

ее Z-P-модуль непрерывности

(1 ^

р <

оо):

A-h

v i / p

cop (S,/) =

sup

[ f

\f(x

h)-f(x)\Pdx\

Пусть,

далее,

со ( б ) — н е у б ы в а ю щ а я

непрерывная

на

[0,

функция,

которая

удовлетворяет

условиям:

<в(0)

= 0 ,

со (б +

г))

со (6) +

<в(т))

при

0 ^

б ^

- f - r i ^ l .

Определим

пространство

^(6)

а к

множество

всех

тех

функций

f(x)

S Z , P ( 0 ,

1), для

каждой

из

которых

с о р ( б , / )

0(а(6)),

1 ^

оо.

Если

и (б)

б а ,

0 <

а <

1, то

получающееся

пространство

совпадает

рассмотрен

ным

ранее пространством

Л^' р

при

« =

I .

а)

Л^(Д) с

С [0, 1] тогда и только

тогда,

когда

со

•

^ k P

< D ( - ^ | < 0 0 .

fc=l

б)

Л £ ( 6

) с

L " ( 0 , 1),

1 < р < < 7 < о о ,

тогда

только

тогда,

когда

со

2*р-»'(т)<~-

6 = 1

в)

Л щ ( б )

cr L ( l n +

L )

тогда

т о ^ к о

тогда,

когда

оо

S T 00 I — |< оо.

Эти

результаты

принадлежат

к /

[1*],

[2*]. По

поводу

вопросов,

Ульянову

связанных с

этой тематикой,

см. обзор

Андриенко [ I * ] .

( I n + L ) обозначает

множество

всех

измеримых

на

[0, 1]

функций

/ ,

для которых | | f (7) | in+ ( I / (0 I) d t < оо.

Глава V I

П Р О Д О Л Ж Е Н И Я И С Л Е Д Ы

Когда мы хотим применить результаты гармонического ана лиза на R n к целому ряду задач, мы сталкиваемся со следующей ситуацией. Пусть S — подмножество пространства R" (природа множества 5 будет уточнена позже); рассмотрим какое-либо из банаховых функциональных пространств на R™, которое мы уже изучали. Возникают две задачи. Задача о следах: что собой пред ставляет пространство функций, являющихся сужениями на S функций из данного банахова пространства? Тесно связана с ней задача о продолжении: пусть дано подходящее пространство функ ций, заданных на S\ как эти функции можно продолжить на R"?

Используемая техника и результаты различаются в зависи мости от природы множества S, хотя имеются и общие черты. Вы делим три случая, которые, по-видимому, представляют наиболь ший интерес.

1) Множество S — произвольное замкнутое множество F . Под ходящими функциональными пространствами являются простран ства функций, имеющих непрерывные частные производные до определенного порядка, у которых модули непрерывности удов летворяют некоторым ограничениям. Рассматриваемый здесь тип продолжений восходит к Уитни, и мы без существенных измене ний используем его построения.

•2) Множество S — открытое множество в R™, граница которого удовлетворяет определенным минимальным условиям гладкости. Если открытое множество имеет гладкую (скажем, класса С°°) границу, результат о продолжении намного проще и годится бо лее простая конструкция продолжения. Основным свойством пред лагаемого продолжения является то, что относительно границы мы предполагаем, что она, глубо говоря, дифференцируема только один раз, в то время как продолжение годится для любых по рядков дифференцирования. Изложение, которое мы здесь про ведем (в § 3), будет основано на идеях, отличных от тех, кото рые были первоначально использованы Кальдероном в подобной

ситуации. Суть метода Кальдерона описана ниже в §			4.8.
3) Множество S — линейное	многообразие	R m в	пространстве
R™. Если рассматривать вопрос	с точки зрения	задачи	о следах, то

в общем случае происходит потеря гладкости при переходе от со ответствующих функций, заданных на Rn , к функциям, заданным на


§	1.	Разложение	открытых множеств на кубы		199
R m . Поскольку	R m	имеет лебегову меру нуль в		R™, то	возникает
также задача о	естественном определении следа			на R m	функции,
заданной на R™. Подобная			трудность не возникает в случае 1), по

скольку там рассматриваются исключительно непрерывные функ ции. Здесь же рассматриваемые функции могут быть разрывными в каждой точке, но они обладают некоторой непрерывностью в среднем. Выясняется удивительный факт: функциональные про странства на R'n (для следов) могут быть по своей природе со вершенно отличными от соответствующих функциональных про странств для Rr e .

Мы начнем эту главу с подробного описания разбиения про извольного открытого множества на подходящее объединение не пересекающихся кубов. Полезность такого разбиения была уже отмечена в гл. I . Здесь мы опять применим это разбиение и осно

ванное на нем разбиение единицы:	оно будет основным орудием
при построении продолжения типа	1). Оно вновь появляется, хотя
и неявно, при построении продолжения типа 2).

§ 1. Разложение открытых множеств на кубы

Ниже F будет обозначать произвольное непустое замкнутое

множество

в R n ,

a Q — его

дополнение. Под

кубом

мы

будем

по

нимать замкнутый куб в R™ с ребрами, параллельными

коорди

натным" осям; два таких куба мы будем называть

непересекающи

мися, если не пересекаются

их внутренности. Если

Q — такой куб,

то diam(Q) — его

диаметр,

a dist (Q, F)—расстояние

от

него

до

множества

1.1. ТЕОРЕМА

Пусть

дано

множество

F, Тогда

существует

такой набор

кубов

SF, ЗГ =

{Q1 ,

Q2 ,

Qk,

- • •}, что

\jQk

Q =

(°F);

(1)

(2)

все

Qk попарно

не

пересекаются,

с, diam (Qk)

dist (Qk,

F) < c2 diam (Qk).

(3)

Константы C\ и c2 не

зависят

от F. Можно

считать, что ci =

с2 = 4.

1.2.Рассмотрим решетку точек в R" с целочисленными коор динатами. Эта решетка определяет сетку J t 0 , представляющую со бой набор кубов, а именно кубов с ребрами единичной длины, вершины которых находятся в точках упомянутой выше решетки.

Сетка Жо порождает бесконечную в обе стороны цепь таких сеток: U * } " „ , где Жк = 2-кЖ0.

Таким образом, каждый куб сетки Мъ. порождает 2™ кубов сетки J(h+\ путем деления ребер пополам. Кубы сетки Жи имеют ребра длины 2 _ й и соответственно диаметр ] / n 2 ~ f t .

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ