Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 359 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

80 Гл. I I I . Преобразования Рисса, интегралы Пуассона

tgC р <	оо; записываем /		в виде		суммы / = /4	-f- /2 ,		где	функция
fi описана выше, а норма			/2 в LP мала. Далее рассуждение близ
ко к доказательству в §			1.5 гл. 1, после формулы				(6). Таким об
разом,	lim / е (х) существует почти				всюду и равен		f(x).	Для		остав-
шегося	е - » 0		случая	ограниченной		функции			f фикси
	нерассмотренным
руем	некоторый	шар	В	и	постараемся		показать,				что
lim (/ * фе ) (х) = / (х)		для	почти всех х е В. Пусть				5 i — любой				дру-
8->0					и пусть б — расстояние				от		до
гой шар, строго содержащий В,										В
дополнения к В\. Пусть
	(	f(x),	x s 8 ,
	M * ) = s {	о	хфв,		f ( * ) e M * )	+	M * ) .

Тогда функция fi(x) e L ^ R " ) , и для нее верно соответствующее утверждение. Однако для х е В справедливо соотношение

1 ( / * Ф е ) М 1 = \| J f(x-y)<Pe(y)dy		<	J	\f(x —	y)\%(y)dy^
		\y l > 6 > 0
< H f l L	J 1 ф ( г / ) 1 ^ - > о		при	e - > o .
	I f f l > « / e

Теорема 2 тем самым полностью доказана, и ее можно непо средственно применить для доказательства теоремы 1 в силу свойств (1) — (4) пуассоновского ядра; в этом случае <p(x) =

Имеются некоторые варианты теоремы 2, которые, конечно, также можно применить к интегралам Пуассона. Первый из них получается простым видоизменением уже проведенного рассужде ния и формулируется здесь без доказательства.

СЛЕДСТВИЕ.			Пусть f'непрерывна			и	ограничена		в	R™.	Тогда
(f * ф е )	(х)	~* f(x)		равномерно	на	компактных			подмножествах
в R".
В частности, это следствие показывает, что если f — заданная
ограниченная			непрерывная функция			в R",		то найдется		функция
и(х, у),	непрерывная в замыкании					R + + 1	и	гармоническая			в его
внутренней		части,		сужение которой		на	границу		есть	заданная

функция f. Тем самым в этом случае решена задача Дирихле. Второй вариант несколько труднее. Он относится к конечным

бореловским мерам и рассмотрен подробно в § 4.1.

2.3. Сопряженные гармонические функции. Теперь мы можем уже связать преобразования Рисса и теорию гармонических функ ций, в частности интеграл Пуассона. Поскольку здесь нас интере сует в основном формальная сторона дела, мы ограничимся слу чаем ZA (Случай L P относится к § 4.3 и 4.4.)

§ 2. Интегралы

Пуассона

и аппроксимация

единицы

ТЕОРЕМА 3. Пусть

и /ь ...,

/„ принадлежат

L2(Rn),

и пусть

их интегралы

Пуассона

соответственно

равны

и0(х,

y) =

Py*f,

щ(х,

y) =

Py*fu

ип(х,

y) =

Py*fn.

Тогда необходимым

и достаточным условием

того, что

/ / = » / ? / ( / ) ,

. . . . я,

(18)

является

выполнение

следующих

обобщенных

условий

Коши

—

Римана:

< п

(19)

dUf

дх,

Необходимо

отметить, что условия

(19), по

крайней

мере.ло

кально, эквивалентны

существованию

гармонической

функции

(от м + 1

переменных),

такой,

дН

/ = 0,

1, 2,

что U/ —

п.

Теорема эта относится к числу тех теорем, доказательство которых почти очевидно, но формулировка представляет опреде ленный интерес.

Пусть // = /?/(/). Тогда f, (t) = щ f (t) и в силу (12)

и,(х,у)=

| f

e-**it-xe-an\t\ydtt

] = { , . . . , п .

Равенства (19) проверяются непосредственно дифференциро ванием под знаком интеграла, что оправдано сходимостью рас сматриваемых интегралов.

И	обратно,		пусть		jfi(t)e-2jllt-xe-2jl\t\ydt,j			= 0, 1 , . . .
					и"
					дип	ди,	ди,
...,	п.	Тогда	из того, что		— • = - g j - = - ^ - ,			/ = 1 , . . . . га, сле
дует,	что
		-	2ntfy fо	(*) е - 2 л1 ' 1 У «= -		2я \| *1 f/ (0		е - 2 я I ' I »5
отсюда		fJ (t) =	-jjjfo(i)	и, следовательно,
			=	(/о) =	/?/(/),	/ = 1	,

Эта теорема показывает, что было бы интересным изучить гар монические функции, удовлетворяющие системе (19), по аналогии

82	Гл. I I I . Преобразования Рисса, интегралы		Пуассона
с теорией	функций	комплексного переменного.	Мы вернемся к
этому в гл.	V, V I I и	V I I I .

2.4. Отступление. Отклонимся пока от нашей основной темы е тем, чтобы вернуться к вопросу, оставленному нами открытым при

рассмотрении сингулярных интегралов в § 4.6	гл.	I I . Дело об
стояло так: мы рассматривали ядро К(х) —	,	где Q — од

нородная функция степени 0, сужение которой на единичную сфе ру удовлетворяло свойству сокращения (24) и свойству гладкости

(25) (см. стр. 52). Нас интересовал		вопрос о существовании почти
всюду предела
ПтГе (/) = Пт	f	*&f(x-y)dy.

Была использована без доказательства следующая лемма.

ЛЕММА. Пусть T'f (х) = sup | Тъ (/) (х) \,.тогда

		П	lb <	к	I I /	\|\|р)	\<р<оо.
Пусть	Т (f) (х) =	Hm Тг		(/) (х),		где	предел берется	в смысле L p .
Он существует по теореме 3 из § 4.2							гл. I I . Лемма	будет доказа
на, если	мы покажем,		что
	Г	( / ) ( * ) < М			( Г / ) (*)		+ С М ( / ) ( * ) .
Пусть ф — гладкая		неотрицательная					функция в R",	носитель ко

торой содержится в единичном шаре, интеграл от которой равен единице и которая к тому же зависит только от радиуса и убы

вает с ростом		\х\. Рассмотрим функцию
			(	Q(x)	при		\| х \| ^		е,
				1*1	при		\| х \| ^		е,
				1*1
				О	при			\х\<ъ.
Это приводит нас к еще одной функции Ф, определенной ра
венством				—
где			ф		=	ф,				(20)
где	Ф* /С==Нтф* /ее =			Нт
	Ф* /С==Нтф* /ее =			Нт	I	К(х		—	y)(f>(y)dy.
		е-»0		е->0.
				l * - f f \|> 8
Для того чтобы можно было применить теорему 2, нам нужно
доказать,	что	наименьшая		убывающая			радиальная			мажоранта
функции	Ф суммируема.		В	самом	деле,			если	\| # \| <	1, то Ф	=
= = Ф * / С ,	что	равно	j " К (у) Ф (Х — у) dy					или	j К (у) [у (х —		у)—

§ 3. Преобразования Рисса высших порядков и сферические гармоники 83

— <f(x)]dx,	и, следовательно, функция		Ф ограничена в силу гладко
сти функции ф. При 1 \| х \|		2 функция Ф (х) = К * Ф — К(х) снова
ограничена по тем же причинам. Наконец, при				\|х\|>2
Ф ( * ) = j	K(x-y)<p(y)dy-K(x)=		j		[K{x-y)-K{x)U{y)dy
и, следовательно, \| Ф (x) К		С ю	I * * ^ в	силу	оценки § 4.2 гл. I I
		l
Поскольку	со (б) возрастает	и J" ю ^	^ 6 < со,	наше	утверждение

относительно Ф доказано. Так как сингулярный интегральный

оператор ф - > ф * / С	коммутирует	с растяжениями,		то из (20)	сле
дует, что
уе*К-Ке	= Фе, где	Фв(дс) =	в-«Ф(дс/в).		(21)
Докажем, что для любого / е		L ^ R " ) ,	1 < р <	о о ,
	( Ф е * Я ) * № )	= Г ( / ) * Ф Е ( * ) ,			(22)

причем это равенство выполняется при каждом х. Действительно, заметим прежде всего, что

	(Фе * Кб) * / (X) =	Т6	(/) * фе (X)			ДЛЯ Любого б >	0,			(23)
так как обе части (20) при			каждом		х	равны абсолютно			сходяще
муся	двойному интегралу		j	\|	К (у) f (z — у) уе(х		— z) dz			dy.
		Z€=Rn \У\>6
Более	того, ф е <s L 9 (R"),	где		1 < q <		оо и 1 / р + 1 / < 7 = 1		,	так	что
Фе * - К б Ф е * К п о норме L 4			и T6(f)->T(f)			по норме L	p	при б - > 0 .
Тем самым доказано (22),		и	в	силу	(21)

?, е(/) = ( ^ ) * Ф е - / * Ф 6 .

Беря супремум по е и применяя теорему 2, часть а), получаем искомую оценку сверху для T*f; LP-оценки для отображения f->Tf и максимальной функции М завершают доказательство леммы.

§ 3. Преобразования Рисса высших порядков

исферические гармоники

3.1.Вернемся к тому, что собственно и составляет предмет на ших исследований, т. е. к специальным преобразованиям вида

77(*) = Hm [ Q M f ( x - y ) d y t

(24)

е-»0, ,•' 1э1

Гл. I I I . Преобразования

Рисса,

интегралы

Пуассона.

где функция Q однородна степени 0 и ее интеграл по

равен

нулю. Мы уже рассматривали

пример

(у) =

/ =

1, . . . ,

п.

При

п=

1 это единственно возможный

случай,

так

как

Q(y)

= с sign у.

Для изучения случая п >

1 напомним равенство

(см.

(6),

на

стр.

72)

ш(х)=

j * T(x-y)Q

(у) da (у),

| * | = 1 ,

sn-l

где

пг — мультипликатор, соответствующий

преобразованию

(24).

Мы

уже

отмечали, что отображение

Q—*m

коммутирует

вращениями. Поэтому мы будем рассматривать функции

на

сфе

ре Sn~l

(точнее, пространство

L 2 (S™ - 1 ))

с точки

зрения их поведе

ния действием вращений. Как хорошо известно, это поведение оп

ределяется их разложением по сферическим	гармоникам. Поэто
му мы начнем с краткого обзора этих последних.
Как всегда, мы работаем с R™. Рассмотрим	полиномы	в R", ко
торые являются гармоническими. Определим	Жь. как	линейное

пространство однородных гармонических полиномов степени k — пространственных сферических гармоник степени k. Будет удоб

ным рассматривать эти полиномы на поверхности			единичной сферы
5 " - 1 и определить на ней обычное скалярное произведение:
(P,Q)*=	j	P(x)Q(x)do(x).
	sn-l

Можно утверждать следующее.

3.1.1.Конечномерные пространства {S^k)Z=o взаимно ортого

нальны.	Действительно,		если	Р <= 3@и и			то по теореме
Грина
(k-j)	j PQda(x)	=	J	( Q ^ - -	P ^ d	o ( x	) ^
sn-l			sn-l
				=	J"	[QAP	— P AQ] dx = 0,
					l * i < i

где -^-означает дифференцирование по внешней нормали, а А =

s= у — г — лапласиан.

3.1.2. Если Р — однородный полином степени k (не обязательно гармонический), Р = Р1 + \ х\2Р2, где Pt — однородный полином сте-

§ 3. Преобразования Рисса высших порядков и сферические гармоники 85

пени k, Р2 — однородный полином степени k — 2, причем полином Р , — гармонический. Приведем доказательство. Пусть & k обозначает ли нейное пространство всех однородных полиномов степени k. Запишем

Р{х) =

^ааха,

где

а =

(а,,

а2 ,

а„),

а, +

а 2 + . . .

+an

= k

ха = х^х®2

• • •

Каждому

такому

полиному

соответствует

двойственный

объект — дифференциальный

оператор

—

^ " " Ш " ' г д е ШМжгГ

(^гГ'

п Р е Д е ™ м

на <РЛ

положительное скалярное произведение {Р, Q) =

P (jf^j

Q-

Заметим,

что два различных одночлена ха

и ха' ортогональны относительно

этого

скалярного

произведения

( Р , Р) =

аа

Р а '

Д е

—

(а,!)

(а2 !) . . . (а„!).

Пусть

\xf^k-2

е с

т ь

подпространство

&>k

всех

полиномов

вида | х

I 2

Р 2

где Р2

£Рк-2.

Его

ортогональным

дополнением (отно

сительно

(•,

•))

будет

как раз Жк.

самом

деле,

Р ,

лежит

этом

ортогональном

дополнении

тогда

только

тогда,

когда

< | * | 2 Р 2 , Р , )

для

всех

Р 2 .

Но

( | Л | 2 Р 2 , Р 1

)

( Р 2 ( ^ ) А ) Р 1

( Р 2 ,

APi), следовательно, APj =

0 и поэтому !?к

= Жк®\

2 ^ _ 2

что и доказывает утверждение пункта 3.1.2.

3.1.3. Пусть

Ни — линейное

пространство

сужений

элементов

из Жи на единичную сферу. Элементы из Ни называются

поверх

ностными

сферическими

гармониками

степени

Имеем

Простр анство

2 берется

относитель

1*(8П~*)=

НК.

н о

прямая сумма — в

смысле тео

но обычной меры, а бесконечная

рии гильбертовых пространств. Поскольку мы уже доказали вза

имную

ортогональность

подпространств

Ни, нам

осталось

только

заметить, что каждая

функция / е= L 2 ( S n

_ 1 )

может

быть

приближе

на

по

норме

конечными

линейными

комбинациями элементов

из

Ни.

То, что

это

возможно, можно

показать

следующим

образом.

Используем

результат

3.1.2, затем применим

его-

снова

Р 2

и т. д. Отсюда

следует,

что

если

Р — полином,

то Р(х)

= Р\(х)

-|- |x|2 P2 (x) +

|x|4 P3 (x) +

где

все

Р, — гармонические

поли

номы. Полагая

\х\ =

1, мы

видим,

что

сужение любого

полинома

на единичную сферу есть конечная линейная комбинация сфериче ских гармоник.

Поскольку сужения полиномов плотны в /^(S™ - 1 ), наше уттверждение доказано. Можно переформулировать его следующим образом. Если функция f e L 2 ( S H ) , то она может быть разложе на в ряд

оо,

/ W = = S n W . Yk<=Hk,

(25)

86 Гл. I I I . Преобразования Рисса, интегралы Пуассона

где

сходимость понимается в

смысле

нормы

B . L 2 ( 5 n _ 1

) ,

j |/(*)pda(*)=»2 J

\Yk(x)fdo(x).

s n — I

S r

t _ l

5./.4. Пусть

A s обозначает

сферический

лапласиан.

Если

Yh(x)

е Я й ,

то

As^M*)

= — & ( &

« — 2 ) У й ( л : ) . В

самом

деле,

если

Y(x)—любая

функция,

определенная

на

сфере,

то ДвУ^я)

есть

сужение

обычного

лапласиана,

примененного

Y(x),

где

функция Y(x)

предполагается

теперь

определенной

окрестности

этой сферы, причем считается, что она однородна степени 0. Таким

образом, мы должны		вычислить	A(\x\~hPk(x)),			где Р ц £ % . Это
будет
			п
\xrkAPh	+	PkA(\x\-k)	+		2^i-£r\x\-k-£rPk.
			/ =i	1		1

После выполнения требуемых дифференцирований с учетом того, что

(теорема Эйлера для однородных функций), получаем наше ут верждение.

3.1.5. Пусть функция f разложена в ряд (25). Тогда функция f (подправленная, если это необходимо, на множестве меры нуль)

бесконечно

дифференцируема на

S n _

том

и только

в томслу

чае, когда

\Yk{x)?do{x)

0{k-N)

при

k-*oo

(26)

sn-l

для любого

фиксированного N. Для

доказательства запишем

(25)

со

в виде

f (х) =

°-ьУ\(х),

где

функции

Y°k

нормированы.

Наше

утверждение

эквивалентно

тому,

что

ak =

(k~NI2)

при

k-+oo.

Если / е С2 , то,

применяя

теорему

Грина, получаем

AsfY°kda=

fAsflda.

Таким

образом,

sn-\

S f l - 1

силу

если

f бесконечно

дифференцируема, то

§ 3.1.4

(Ars)f-Fkdo=

f{ArsYl)do

ak[-k(k

n-2)]r.

§	3. Преобразования	Рисса высших	порядков и сферические	гармоники	87
Итак,	cik = 0(k~2r)	для любого	г, и, следовательно,	выполняется

(26). Для доказательства обратного утверждения заметим, что из

(26)	следует не только то, что	f е L 2 ( S n _ 1		) ,	но и то, что для	каж
дого	положительного целого г	функция	(&s)r		f (надлежащим	обра
зом	определенная) также принадлежит		L 2	( S n _ 1 ) . Мы не будем до

казывать здесь, что / может быть изменена на множестве меры О так, чтобы она стала бесконечно дифференцируемой. Доказатель ство это, чисто техническое, дано в приложении В.

3.2. Теперь после краткого обзора некоторых фундаментальных фактов, относящихся к сферическим гармоникам, вернемся к изу чению специальных сингулярных интегральных преобразований.

Займемся вначале изучением взаимосвязи сферических гармо ник и преобразований Фурье, что в действительности будет изу чением разложения пространства L 2 ( R n ) при одновременном дей ствии вращений и преобразований Фурье. Источником его яв ляется красивое тождество Гекке.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Рк

(х) — однородный

гармонический полином

•степени k.

Тогда

(Pk

(х)

I х

Is) = ikPk

(л:) е~п i х

(27)

Для доказательства

перепишем

тождество

виде

(х) ехр [ -

я! х |2 +

2nlx

-y]dx=c

ikPk

(у) е~п

IУ\\

(28)

Очевидно,

однако,

что

левая

часть (28)

равна

Q (у)

е~пIУ1\

где

Q — полином.

Это

получается

применением

дифференциального

оператора

{j^j

к обеим частям

тождества

J* ехр[— я| xp + 2nix • y]dx = exp(— я| у |2).

Задача	состоит в том,	чтобы показать,	что	Q{y)=aPk{iy)-	Но
Q (у) =	j Pk (х) ехр [ -	я [fa — /у,) 2 +
		+ (*2-Ш2+		•••	+(xn-iyn)2}]dx,
а этот	интеграл равен	J Pk(x-\- iy)e-n\x?dx,		что получается путем
		R"
изменения контура интегрирования в С";			это можно сделать в силу
					п
аналитичности и быстрого убывания функции Pk {х) ехр					— Л 2 X2,

м1

Гл.

I I I . Преобразования

Рисса,

интегралы

Пуассона

Из тех же соображений можно заменить iy на у

и получить, что

Qiyli)

^ Pk(x-\-

y)e~n^x[2dx.

Далее,

Рк — гармоническая

функ-

ция,

поэтому

ее

среднее

значение

на

любой

сфере

центром

в точке у равно Рк(у)',

множитель

е - я

| д : 1 2

постоянен

на

таких

сферах,

его

полный

интеграл

по

равен

1. Таким

образом,

Q(yh)

Pk(y)>

теорема

доказана.

Из этой теоремы вытекает следующее ее обобщение, интересное

тем, что оно связывает различные компоненты разложений

прост

ранств L 2 ( R n )

при разных

п.

Если ./ — функция,

зависящая только

от радиуса,

то

мы

будем

писать /

/(/•), где

| * | = т.

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть

Pk(x)—однородный

гармонический

поли

ном

степени k

Rn .

Предположим,

что функция

f зависит

только

от радиуса

Ph(x)f(r)е

L 2

( R n ) .

Тогда

преобразование

Фурье

функции

Pk(x)f(r)

также имеет вид

Ph(x)g(r),

где

g(r)

—

функ

ция,

зависящая

только

от

радиуса.

Более

того,

индуцированное

преобразование

f —> g,

&"n,h(f)

существенно

зависит

только

от п + 2k.

Точнее,

справедливо

соотношение

Бохнера

&~п, k

= i k ^ n +

2 k

. о-

(29)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рассмотрим

гильбертово

пространство

функ

ций, зависящих только от радиуса,

Ш =

(г): || / ||2 "

(r) I2 r

k + n

~ l

<*/•<«>}

с указанной выше нормой.

Фиксируем

Pk(x)

и будем

считать полином

Ри

нормированным,

т. е.

\Ph(x)

\2da(x)

1. Тогда

существует

очевидное

унитарное

соответствие между элементами / из М, элементами f(\х\)Pk(x)

из

L 2 ( R n )

элементами

/(|л:|)

из

L2(Rn+2h)

соответственно. Нам

нуж

но доказать, что

($~n,kf)(r)

= ik;rn+2k,0(f)(f)

(30)

для

любого / е

Прежде

всего,

если

/(г)

е~лгЧ,

то

(30)

сле

дует непосредственно из теоремы (см. (27)). Рассмотрим

е~л6г2

для фиксированного

б >

0. В силу однородности Pk и правила

вза

имодействия растяжений с преобразованием Фурье (см. формулу

(1)	из § 1.2) мы получаем	последовательно'
Т	(Рк (х) е ~ я 6 1 х I2) = 6-к'2ЗГ	(Рк (6'1'х) е-"« I * 1г) =

$ 3. Преобразования

Рисса

высших

порядков

и сферические

гармоники

Отсюда

следует,

что

(е~я&г')

= ik6

* - "/ 2 е - я г 2 /а . т ш

с а

м ь ш

( 3 0 )

доказано

для f (г) =

е~л&г\

> 0 .

Для завершения доказательства следствия достаточно показать,

что линейные комбинации функций из множества

{ё~лЪг%<8<00

плотны в Я.

Предположим

противное. Тогда существует ненулевая

функция

оо

SI, такая, что

J" e -n8r! g-(r )r 2&+«-i dr =

0 для всех

б >

0. Заме-

на переменных

г2—• г дает

нам преобразование Лапласа — Фурье,

и хорошо известными рассуждениями можно показать, что g

= 0;

тем самым доказательство следствия закончено.

3.3. Мы подошли теперь к тому, ради чего мы и изучали сфе

рические

гармоники.

ТЕОРЕМА

Пусть Pk(x)—однородный

гармонический

полином

степени

k ^

Тогда

мультипликатором,

соответствующим

преобразованию

(24)

с ядром

— 1 + п >

является

функция

| х |

1*1*

Заметим, что

если

k ^

1, то полином

Ри(х)

ортогонален

кон

стантам на сфере

(§ 3.1.1) и, таким образом, его среднее

значение

на сфере равно 0.

Утверждение теоремы

можно записать в виде

Pk{x)

Pk(х)

, „ п

'К это равенство

будет

выведено из следующего тесно связанно

го с ним

тождества

I P k { x ) Г

Pk (х)

„ляш-а

r(fe/2 +

g/2)

( s ,

ЛЕММА. Тождество

(32) верно e гол смысле, что

\ ~

m d x = 4 k

, a /.адьфмл,

(зз)

<9ля

все*

функций

ф,

достаточно

быстро

убывающих

на

бесконеч

ности, преобразование

Фурье которых обладает

тем

же

свойст

вом.

Это равенство

справедливо

для

всех

целых

для

0 <

a <

п.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 359 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ