Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 358 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


70	Гл. Ш. Преобразования				Рисса,	интегралы		Пуассона
формулы, получаем
=	sign (б) ТТ^~ххь			=	sign (б)		т т в .
Таким образом,		xbm	= s i g n ( 6 ) m t e ,			что означает,			что	т(Ьх)	=
— sign (б) т(х),		если	Ъ ф	0.	Отсюда		следует,	что	т{х)—	const X
X s i g n ( x ) ,	и утверждение			доказано.
Доказательство этого предложения показывает попутно, что
единственным ограниченным линейным							преобразованием			в L 2 ( R d ) ,
коммутирующим		со всеми		описанными			операторами,		а именно		пе

реносами и положительными и отрицательными растяжениями, яв ляются скалярные кратные единичного оператора. Это замечание

вместе с предложением 1		отчетливо	указывает	на	особую роль
преобразования Гильберта в гармоническом анализе на R1 . Най
дем теперь операторы в R", имеющие аналогичную					структурную
характеристику.
1.2. Начнем с некоторых замечаний относительно взаимодей
ствия растяжений и вращений с			я-мерным	преобразованием
Фурье. При	&~f = f и б > 0
(<Гт6)Г(х) =	\ e™*-yf{by)dy	= b-n {	e™x'mf(y)dy=b-n(Tb-&)f{x).
	R"	R"
Таким образом, символически можно написать, что
	Гх6	= Ь-\-^.			(1)

Далее, пусть р обозначает любое вращение (собственное или несобственное) относительно начала координат в R™. Обозначим также через р индуцированное этим вращением действие на функ ции:

		Р(Ш*) =	/(Р-'*).
Тогда
( З Г р ) / ( * ) =	^	e2mx.yfip-iy)dy==
	R"
=	j "	e2"lx-pyf (у) dy=	j e2nip-lx.yj: ( y ) d y =	(p ^-) f до
	R"	RRE
И '		#~p =	pS*".	(2)
		#~p =	pS*".	(2)
Нам потребуется следующее элементарное наблюдение. Пусть
m(х) = (т{(х),	тг(х),	тп(х))	— совокупность п функций, опре-

Преобразования

Рисса

деленных

на Rn . Для

любого

вращения

р обозначим

через

р =

= (pjfe) его матричную реализацию. Предположим, что т преобра

зуется как вектор. Символически можно записать это так:

или в явном

виде

(р-1 *) =

р (т

(*)),

mt ( р - 1 * ) =

9iktnk

(*)

(3)

для каждого вращения

р.

ЛЕММА.

Предположим,

что вектор-функция

однородна

сте

пени О, т. е. т ( 6 * ) =

ш(х)

при

б >

Если m

преобразуется

в со

ответствии с

(3),

то пг{х)

— с -г^у

для

некоторой

константы с,

т. е.

т , (*) = - с А -

•

(4)

Для доказательства этого утверждения заметим, что доста

точно рассмотреть х, лежащие на

единичной

сфере. Теперь

пусть

ей е%,

еп

обозначают

обычные

единичные

векторы,

направлен

ные вдоль

осей

координат. Пусть

c =

m1(ei).

Можно

убедиться

в том, что т$(е{)

Ь, если

На

самом

деле

из (3)

следует,

что при любом

вращении

р, при котором

е\ не меняется,

mj(e{)

— 2 PtkiKk (e i)>/ =

. . . , я,

т.

е.

(п—1)-мерный

вектор

(/712(6]),

k-=2

остается

неподвижным

при

всех

вращениях

m3(ei),

тп(е{))

в этом (п—1)-мерном

векторном

пространстве.

Следовательно,

ni2{e{)

m3(ei)

... = тп{е\)

0. Подставляя

это в

(3),

полу

чаем

ntj (р-'е,) =

рд/п, (е{)

= cp/i. Но

если p-1ei==x,

то

p,i =

ху,

таким

образом,

( | * | = 1 )

nij(x)=cxj,

что и

доказывает

лемму.

Любопытно заметить, что полная группа вращений требуется

только

случае

п =

1 и

я ь

случае п ^

было

бы

доста

точно одних собственных вращений, поскольку при этом подгруппа

собственных вращений на единицу меньшей размерности остается

еще транзитивной на своей единичной сфере.

Рисса.

Теперь мы в состоянии определить п преобразований

Положим

для / е

L P ( R n ) , 1 ^

р <

со,

Я/(/)(*) =

Ит с„

-%Tf(x-y)dy,

. . . .

л,

(5)

где

C « * = =

„(п+1)/2 '

Таким

образом,

определяется

ядром

К; (х) =

I! х I

где

х,

Qj (х) = сп jjr. Выведем далее формулы для мультипликаторов,

Гл. I I I . Преобразования

Рисса, интегралы Пуассона

соответствующих преобразованиям Рисса и оправдывающих их определение. Вспомним формулы (26) из § 4.2 предыдущей главы. Перепишем ее в виде

m ( * ) - J		T(x-y)Q(y)da(y),			\х\=*1,				(6)
где Г (t) = ~ Y sign t +		In I	\/t\. Заметим, что отображение					(6) функ
ции Q в функцию m коммутирует с вращениями;							это просто не
посредственное	следствие		того,	что ядро	Т(х-у)		зависит		только
от скалярного	произведения х и у. Ясно,				однако,	что ядра
(,(),-..,	Kn{x))		= c J	*'
удовлетворяют	закону	преобразования (3) (с Kj				вместо		t r i j ) . По
этому в силу	перестановочности отображения К}-*ГП]							с враще
ниями, о которой мы только что говорили, мультипликаторы									также
удовлетворяют	(3). Однако функции nij однородны						степени		0, та-
					X,		В этом		част-
ким образом, лемма показывает, что Ш/(х) = с-~j.

ном случае (в силу выбора константы сп) получаем с = и Рас сматривая (6) для функции nij в фиксированной точке, получаем что последнее утверждение эквивалентно следующему равенству

2 Г , я + 1
„(гс+3)/2	= J \| cos6 \|da (у),	(7)
„(гс+3)/2

где 9 — угол между переменным единичным вектором у и фик сированным направлением. Можно вычислить этот интеграл не посредственно или же обойтись без этих выкладок, воспользовав шись общей теоремой 5, которая будет доказана ниже. В любом случае мы получаем

(Rlfr(x).=

i-^rf(x),

. . . , п .

(8)

Можно выразить закон преобразования (3), действующий на преобразования Рисса, более содержательным образом, а именно

p*/p-7e2p/*fl*/. (9)

Это говорит о том, что при вращениях в R n операторы Рисса пре образуются также как компоненты векторов. Утверждение (9) до казывается очень быстро либо с помощью прямого определения преобразований Рисса по формуле (5), либо исходя из (8) с по мощью преобразования Фурье. Таким образом, если символа-

§ 1. Преобразования Рисса 73

чески

обозначить

то

(9)

переходит

равенство

p ( / r t / p _ I (/)) =* 2

Pikmkf>

которое

равносильно

равенству

/П/(р~'д:)

Pjkmk(x)-

Эти факты допускают

обращение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Яг/сть

Т =

(Ти

Т2,

Тп) — совокупность

ограниченных

преобразований

L 2 ( R n ) .

Предположим,

что

а)

каждое

преобразование

Tj коммутирует с

переносами

б)

каждое

преобразование

коммутирует

растяжениями

R";

в)

для

любого

вращения

р =

(pjfc)

R n

= 2 Р/*?У.

Тогда

отличаются

от преобразований

Рисса

лишь

на по

стоянный

множитель,

т. е. существует

константа с,

такая, что

cRj,

1=1,

я.

Все элементы доказательства уже обсуждались ранее. Сведем

их

вместе.

Поскольку

ограничены

L 2

( R n ) и

коммутируют

с переносами, то они могут быть представлены в виде ограничен

ных

мультипликаторов;

символически это можно записать так:

Tf =

m.j. 2)

Так как

коммутируют с растяжениями, то в силу

соотношения

(1),

связывающего

растяжения и

преобразование

Фурье,

очевидно,

что

tr,j (бх)

— ntj (х), б >

т. е. каждый

опера

тор

ttij

однородный

степени

Наконец

утверждение

в) есть

следствие

соотношения

(3),

и,

применяя

лемму,

мы получаем

искомое

утверждение.

1.3. Применение преобразований Рисса. Важное приложение преобразования Рисса состоит в том, что их можно применять для установления связи между различными комбинациями частных производных функции. Особенно ярким будет использование этого свойства преобразований Рисса в гл. V. Здесь же мы удовлетво римся двумя очень простыми иллюстративными примерами, ин тересными сами по себе и в то же время имеющими характерные черты, присущие оценкам общего вида, получаемым в теории эл липтических дифференциальных операторов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть функция	f <= С2	имеет компактный но-
п
ситель, и пусть А / = У,-^4-•	Тогда	справедлива	априорная
дх,
оценка	* < * < « > •		(1°)
]-5ijkr\<AP^h	* < * < « > •		(1°)

Гл. I I I . Преобразования

Рисса, интегралы

Пуассона

Предложение является непосредственным следствием ограни ченности преобразований Рисса в пространстве LP И тождества

	1 ^ - - * / * * АЛ					О О
Для	доказательства (11)	применим		преобразование		Фурье.
Если f	(х) — преобразование	Фурье	от	/,	f (х) = J e2nix,yf	(у) dy,
					R"
то преобразованием Фурье		от ~ -	будет		—2niXjf(x)	и, таким
образом,

*= - (lit) (ттг) (-4 я 1 х ^ f м = - vf>

откуда и следует (11).

Интересным является и другое приложение, на этот раз к дву

мерной теории потенциала.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть f — функция класса С1 на	R2 , имеющая
компактный носитель. Тогда справедлива априорная	оценка

Само собой разумеется, что предложение важно только в том случае, когда функция / комплекснозначна.

Доказательство предложения 4 во многом напоминает дока зательств) предложения 3; только в данном случае используется тождество

Ж,7	—	+	/ = 1 . 2 .
"5*7
Более систематическое		наложение	результатов, связанных
е этими примерами, будет дано далее в §			3.5.

$ 2, Интегралы Пуассона н аппроксимация единицы

§1,1, Ипедем понятие, необходимое для значительной часта на шего дальнейшего наложения, а именно для теоркк гармониче ских функций. Будем мыслить R 4 как граничную» гиперплоскость (я - f I)-мерного верхнего полупространства R+ + { « В координатной

§ 2. Интегралы

Пуассбна и аппроксимация

единицы

Рассмотрим

интеграл

Пуассона

функции

заданной

на Rn .

Этот интеграл

дает

решение

задачи

Дирихле

для

R + + l

;

найти

гармоническую

функцию

и(х,у)

на

R " + I ,

граничным

значением

которой на R" в подходящем

смысле

является

f{x).

Формальное

решение

этой

задачи

можно

аккуратно

получить

в рамках теории

пространств ZA

Действительно,

пусть

функция

/ s i 2

( R " ) ,

и пусть

f — ее пре

образование Фурье.

Рассмотрим

« ( * , * / )

f(t)e-2"lt-xe-2n\"vdt,

(12 )

Этот

интеграл

сходится

абсолютно,

так

как

f s L 2

( R " )

е-2л\

t\y

б Ь 1 С Т р 0

убывает с

ростом

\t\ при у >

По той же

причине

этот интеграл

можно

дифференцировать

по х и у

любое

число раз, выполняя

дифференцирование

под знаком

интеграла.

Отсюда следует, что

д2и . V I д2и

так

как множитель

e-2mt-xe~2n\t\y

удовлетворяет

этому

равен

ству при каждом

фиксированном t.

С другой стороны, по теореме Планшереля

и (х, у) -» / (х)

по

норме L 2 ( R " ) при у~*0.

Решение данной задачи может быть выписано и без явного

использования преобразования

Фурье. Для этого

определим

пуас-

соновское

ядро

Ру

(х) =- J e-2nii'!e-2n

VWdt,

у>0.

(13)

к"

Тогда

полученную

ранее

функцию

и(х,у)

можно

записать

в виде свертки:

и(х,

у)=

P„(t)f(x-t)dt.

(14)

Назовем и интегралом

Пуассона

от функции /.

Пуассоновское

ядро

может

быть

записано

в явной

форме.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.

РЛ*) =

£ * Ч т г

^ ^ - У г 1

( 1 5 )

76 Гл. I I I . Преобразования Рисса, интегралы Пуассона

Здесь с„ — та же	константа, которая	появляется в определе
нии преобразования	Рисса (формула (5)	выше). Хорошо извест

ную формулу (15) можно доказать следующим образом. Приме ним два тождества:

j ^ l /	\'e-2*tt.x		d t = Ь-Щ2е-Я	, *	ДО	g > 0 (	( а )
R
е-У	= -±=г	\	e-v'/4ud u >		у >	о.	(р)
	У я	J	У и

Тождество (а) можно свести заменой переменных к хорошо

известному

частному

случаю

6 = 1 .

Тождество

(р) представляет

экспоненту

е~у как взвешенное среднее семейства экспонент е~у2/ш,

0 <

ы < оо, и является важным примером принципа

субординации').

оо

Для

доказательства

запишем

е'ух

предста-

ф)

е~ч =

—

2 dx

оо

— оо

вим

множитель

, +

как

e- ( I + *5 > "с?ы. В

результате

получим

оо

двойной интеграл

e-Y =

JL J"

e - u I

eiyxe~ux'dx)

du и после вычи-

\-oo

сления внутреннего интеграла придем к (Р).

Теперь вернемся к Ру{х).

В силу

(р)

(13)

Ру

(х) =

- ^ L

f ( J

e-"J

1 ' | !

^ " da ] е - 2 л » - ^

Л .

Далее применим (а) при 6 = - ^ - . Получим

^ W = -	M	T J e~"e	У~Пи 2	rfu==
л	2	0			л-1_
				0 0	л-1_
			=	-—TTT]	E~UU 2 DU'>

это и есть искомая формула для пуассоновского ядра. Перечислим те свойства пуассоновского ядра, которые теперь

уже более или менее очевидны.

1)Ру(х)>0.

') См. Бохнер [2], гл. 4.

§ 2.

Интегралы

Пуассона

аппроксимация

единицы

Py(x)dx=

у>0;

более

общо, Ру

(х) =

е - 2 " ' * 1 * >)•

Это

получается путем обращения формулы (13).

Ядро

Ру(х)

однородно степени

— п:

Рг{х)

Ру{х1&)г-н,

8 > 0 .

Ядро Ру{х)

есть убывающая

функция от | х | и P t

f ( * ) е Z / ( R ™ ) ,

1 ^ р < оо.

Пусть

/ G L P ( R " ) ,

1 < р ^ о о ,

тогда

интеграл

Пуассона ы,

определенный

формулой

(14),

является

гармонической

функцией

в R + + I .

Это — простое

следствие

того

факта,

что

функция

Ру(х)

гармонична

R + + I ; • последнее

следует

непосредственно

из

(13).

Справедливо

«полугрупповое

свойство»

Рух*

Ру2

Pyt+y2,

если

г/i >

у2

Это

следует

непосредственно

из

формулы

преобразования Фурье, приведенной в 2).

Поведение

интеграла

Пуассона

на

границе

значительной

мере описывается

следующей теоремой.

ТЕОРЕМА

Пусть

функция

f е

L p (R"),

l ^ p ^ o o ,

и пусть

и (х, у) — ее

интеграл

Пуассона.

Тогда

а)

sup|H(jc,

у) \ ^

Mf (х),

где

— максимальная

функция,

опре-

у>о

I , §

деленная

в гл.

б)

\imu(x,

y) = f(x)

для

почти всех

х\

в)

2/->0

р <

оо,

(R )

если

то и(х,

у)

сходится

к f(x)

по

норме

при г/~*0.

Эта теорема далее будет доказана в более общей ситуации для

широкого

класса

аппроксимаций единицы.

2.2. Пусть ф — суммируемая

функция

на

R",

пусть

фе (х)

е-п ф (х/г),

е >

ТЕОРЕМА

Пусть

наименьшая

убывающая

радиальная

мажо

ранта

функции

ф суммируема,

т. е.

относительно

функции

яр (х) =

sup

| ф(г/) | предполагается,

что \

ty(x)dx

А <

оо.

Тогда

(с

\у\>\х\

тем же

А)

sup | ( / * Ф е ) ( х ) | < ЛМ(/)(*),

feL'W1),

1 < р < ° о ;

8 > 0

J Ру (х) dx=

Ру

(0) =

Это

свойство

можно

доказать

также,

не

зная явной

формулы

(13) для Ру(х),

исходя

из того, что

формула

(14)

дает

ре

шение

задачи

Дирихле

для уравнения Дн =

Достаточно

заметить,

что

если

}(х)шв

1, то и(х, у)

1 есть искомое решение, — Прим.

ред.

78 Гл. I I I . Преобразования Рисса, интегралы Пуассона

б) если		к	тому же		\ q>(x)dx=l,		то lim (/ * фе ) (л:) = / (х) почти
всюду;					R
всюду;
в)	если	р <		оо, го	\|\|/*ф8	— flip—*0	при е - * 0 .
Мы	уже		рассмотрели			частный	случай этого	утверждения в
гл. I , где было				ф ( * ) =	m	tp B , т. е. ф(х') равнялось		характеристи

ческой функции единичного шара В, деленной на меру этого шара. Идеей доказательства теоремы и будет сведение к этому фунда ментальному частному случаю.

Начнем с доказательства утверждения в) . Заметим, что до казательство в действительности проходит при более слабом пред положении, заключающемся только в том, что функция ф сумми

руема	(хотя, конечно,		нормировка	\| ф Л е = 1 необходима). Вы-
				Rre
ясним	вначале, что	если / e L ? > ( R n ) ,		р <	оо, и	— у) — f(x) \|\|р==
= А(у),	то А (у)-*	0	при г/-» О 1 ) .	Если	функция	fi — непрерывна

и с компактным носителем, то утверждение в этом случае яв

ляется

прямым

следствием

равномерной

сходимости

fi(x

— у)—*

-*fi(x)

при у-*0.

общем случае

представим f в виде суммы

f = fl-\-f2,

где

функция

описана

выше,

а ||/2||р ^

б;

это воз

можно,

поскольку

функции

fi плотны

в L P , р < оо. Тогда

А(у) =

= Ai (г/) +

Аг(г/), где

Ai («/)-> 0

при

г/->0,

и A 2 ( z / ) < 2 6 .

Отсюда

следует,

что А (у)—* 0 для

любой

функции

/ e L P ( R n ) ,

р <

оо. Да

лее, / * Ф е

— / =

[/ (* — «/) — / (*)] фе

(У)аУ

силу того,

что

и"

Ф е ( * ) =

q>(x)dx—l.

Таким

образом,

1 1 / * Ф е - / 1 1 Р <

А ( г / ) 1 Ф е ( г / ) 1 ^ = J"

Л(ег/)|ф(г/)|^->0.

Последнее справедливо в силу теоремы Лебега о предельном пе реходе под знаком интеграла и того факта, что А(еу)—*0 при


е—»0. Тем самым утверждение в) теоремы доказано.
Докажем утверждение а) . Допуская вольность						в	обозначениях,
будем писать	г\|з (г) =	^ (х), если		\|x\| = r; это не		должно		вызвать
путаницы, поскольку		ty(x)	зависит только от		\х\. Поэтому			из пред
положения	\ J J E L 1	(и	того,	что \р(л)	убывает)		следует, что

' ) Это утверждение равносильно непрерывности отображения y->-f(x — y), пространства R " в L p ( R n ) ,

§ 2. Интегралы Пуассона и аппроксимация единицы 79

г " ^ ( г ) - * 0

при г-* О

или г - * о о .

Для

доказательства

утвержде

ния а) нужно показать, что

(f *!>.)(*)=» Л (Aff)(*)f

(16)

где

/ > 0 ,

/ s L p ( R " ) ,

1 < р < о о ,

е > 0

J* -ф (л) d*.

Поскольку

утверждение

(16)

очевидно

инвариантно

относи

тельно сдвигов (по отношению к

инвариантно

относительно

растяжений (по отношению

ар), то

достаточно

доказать,

что

( / * Ю ( 0 ) < Л ( М / ) ( 0 ) .

(17)

При

доказательстве

(17)

мы

можем,

очевидно,

принять,

что

М / ( 0 ) < оо. Запишем

Я ( r ) =

f(rx)da(x)nA(f)

f(x)dx.

Тогда

A(r)=

X^f^dt.

Получаем

оо

( f * i j , ) ( 0 ) = J f ( x ) i | > ( * ) d * = . j

Я . М я К О г » - 1 ^ —

«=

lim f

M r ) i | > ( r ) r ' t - , d r =

f A(r)dty(r)

JV->°o 8

JV-»oo

Переход к последнему равенству осуществляется с помощью ин тегрирования по частям. При этом возникает проинтегрированный член A(N)ty(N)—Л(е)\р(е); но он стремится к нулю при е - > 0 и JV->oo в силу наших предположений относительно г|з и того,

что Л ( г ) =	J*	/ (х) dx <	Vr"Mf (0),	где	V — объем	единичного
шара. Таким	образом,
		00			оо
( / * г р ) ( 0 ) = { A(r)d(-^(r))^VMf(0)=j					r V ( - i p ( r ) ) ,
		о			о
и, следовательно, (17), а			значит, и	(16)	доказаны.	Утверждение
сходимости	б)	почти всюду доказывается уже знакомым нам

путем следующим образом. Проверим вначале, что если fi непре

рывна и имеет компактный носитель, то	(Д <pe ) (х) -fi{x)	равно
мерно при е - * 0 . Затем переходим к	случаю / e i > ( R n ) ,	1 ^

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 358 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ