книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

140

Гл.

V. Дифференциальные

свойства

функций

Тогда ясно,

что

и

т^/аТб =

6 - а / „ ,

6 > 0 ,

(10)

(I ч

(!) Hp =

6 " n / p l l f l l P ,

I V / а ( I ) i =

bnlqи/а(f)

ii, .

(11

Отсюда следует,

что

неравенство (9) возможно, только

если

1 =

1 - - ° .

(12)

q

р

п

4

l | / a ( / ) I L » _ < 4 | l / l l l

(13)

п—а

1 - г т и Г п + 0 |

п п

< А < о о ,

'

II ущ)

Iп-а

откуда

j

\x\~ndx<

с о ,

что и приводит к противоречию.

Другой исключительный

случай возникает, когда q — oo. Вновь

неравенство

типа

(9)

не

может

выполняться. Непосредственной

причиной

для

этого

служит то, что этот случай

является двой­

ственным

к только

что рассмотренному

случаю р=

1. Можно дать

этому

и прямое доказательство. Пусть / (х) =

\х Га ^1п ун ­

если

| л | ^ 1 ,

и

f(x)

=

Q,

если

| * | > 1 ;

здесь

е — малое

поло­

жительное

число.

Тогда

f Ё L p (R")

при

р =

п/а,

так

как

j *

| х Г"

^ l n - j l y j

dx<oo.

В то

же время

/ а ( / )

существенно

§

1.

Потенциалы

Рисса

141

неограничена в окрестности начала координат, так как

'«(f)(0)

j

1*ГЖ

( 1 п Т^г )

d

x =

Q ° '

если

(а/л) (1 - f е) ^

1.

После этих рассуждений мы можем сформулировать положи­

тельное

утверждение — теорему

Харди

— Литтлвуда —

Соболева

о

дробном

интегрировании.

ТЕОРЕМА

1.

Пусть 0 <

а <

п,

\ ^

p

< q

<

° o ,

- i - =

- l — — .

а)

Если f e / _ / ( R ' 1 ) ,

то

интеграл

(4),

определяющий

Ia(f),

сходится

абсолютно

для

почти всех

х.

б)

Если,

кроме

того, р>1,

то

\Ia(f)l<Ap,Jf

в)

Если

f ё

L 1

(R"),

то

m{x:

| / а

| >

Л} < ( - ^ k -чj "

для

всех Л,

т. е.

отображение

/->/а(/)

является

отображением

„слабого

типа"

с

« >

(

| - ' - £

1.3. Доказательство теоремы 1. Положим К,(х)=]

х\~п+а

и рас­

смотрим

отображение /—>/С*/, отличающееся от отображения

/ — > / а ( / )

постоянным

множителем. Представим

/С

в

виде

суммы

Ki + Кх,

где

/С, (Л) =

К(х),

если

U | < ( i ,

Д",(^) =

о,

если

\х\>ц,

К00{х)

=

К{х),

если

| * | > ц ,

Коо(х)

=

0,

'если

| * | < ц -

Пока

что

|и — некоторая

фиксированная

постоянная,

неважно,

какая

именно. Мы

имеем

К * / =

К\ * / +

* /. Интеграл,

выра­

жающий

/(j * /, сходится

абсолютно

почти всюду,

поскольку

он

представляет

свертку

функпии

К\ из

L 1

и функции из

V.

Ана­

логично

интеграл,

представляющий

/С«, * f,

сходится

всюду,

по­

скольку

это

есть

свертка

функции

/

из

L p и функции

/ ( ^

из

сопряженного

пространства

L p ' . В

самом

деле,

если —

-у =

1,

то

II /Ст е

Hp' =

j "

| * f~n+a)p'dx

<

оо, так

как неравенство

(—п+а)Х

Х р ' < — я

эквивалентно

неравенству

q < o o .

Таким

образом,

часть

а)

теоремы

1 доказана.

Теперь мы докажем с помощью похожего, но более длинного

рассуждения, что если! ^ р < д < о о и у

=

у

—

то

отображение

142

Гл. V.

Дифференциальные

свойства

функций

/ - > / С * /

является

отображением

слабого

типа (р,

q) в том смыс­

ле, что для любого

А > О

m{x:\K*f\>V<{Ap,q^)\

/ s Z > ( R » ) .

(14)

Заметим прежде всего, что достаточно доказать неравенство (14)

с 2А вместо А в левой части неравенства

и при условии,

что

||/||р= 1.

Далее,

ш{х:

| / ( * / | > 2 Я } < т { * :

| Кх

* f | > А} +

m {х:

\K00*f\>W,

так как К * / =

Ку * f + Кж

* /.

Теперь

m{x:

I /С, * / I > A } < —

<

p — ^ =

— p - ,

причем

11^,11,=

J

| x r + a d x

=

c^a .

n ^ i i p ' = f j

( u r r e + T ^ ) ' /

P ' = ^ - ^ ,

l l * l > H

J

и, таким образом, || K«, \\p' — А, если c2\i~n!q

— h, т. е. если ц, = c3 A_ < ? / r t .

и, следовательно, m

| /(„, * /1 > Я} =

0. Окончательно

m{x:\K*f\>2b}^[cl^r)

= С 4 А - * =

с4(1^)

(так как

||/||р =

1). Это и есть

неравенство (14). Таким образом,

отображение f—+K*f

является

отображением

слабого

типа

(p,q).

При р—

1 мы

получаем

часть

в) теоремы 1, а часть

б)

следует

из интерполяционной

теоремы

Марцинкевича (см. приложение Б) .

1.4. Замечание. Теперь следует сделать замечание по поводу

доказательства

теоремы. При доказательстве

теоремы

1 для ото­

бражения

f—*K*f

мы не использовали

конкретный вид

ядра К.

Единственное, что

было

действительно

существенно, — это

функ­

ция распределения

ядра

К

(в

терминологии

гл. I ) . При

более

зовали только то, что

m {х: | К (х) | >

А} < АХ~п1{п~а), т. е. то, что

ядро К является ядром

«слабого типа»

— ^ — .

Пусть k — неотрицательное целое число. Пространство

Соболева

ll(f^n)

=

Li определяется

как

пространство

функций /,

таких,

что

f e a L p ( R " ) ,

f

имеет

все

производные

daf

при [ а | ^ 6

в

указан­

— ' -

ия

ном

выше

смысле

и

d a

f

^

L

p (Rn).

В

этом

пространстве

может

— -

быть

введена

норма

дх

образом:

следующим

-

l i H

'

{ l J f =

f ) -

( 1 6 )

Получающееся нормированное пространство является полным.

Это

доказывается следующим

образом. Если {/т }

— фундаменталь-

ная

последовательность в L p

, то

для

любого

(

да

]

a,\a\^k,

I

\ —-

fm \

д *

J

'есть

фундаментальная

последовательность

в

L p

. Положим

/ ( а )

=

daf

(предел

по /Лнорме); тогда

ясно, что

f

да

f—-qdx—

= l i m — ' - f m

•>

дх

m

дх

= ( — l ) | a |

j " / ( а ) ф d x

для

любой

функции

R

самым

наше

Ф Е Й ) . Тем

утверждение

доказано.

Часто

бывает

полезным

использовать

эквивалентную

характе­

ристику функций из Lk(Rn),

в которой не участвует явно

понятие

слабой

производной,

определяемой равенством ( 1 5 ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть 1 ^

р <

оо.Функция f esL^ тогда и только

тогда,

когда

существует

такая последовательность

{fm},

что

а)

fm^2D

для

любого

пг;

б)

l l / - / m l l p - > 0 ;

в) ')

для

любого

a,

I а |<Г6,

последовательность

I —'-£-

\

схо-

дится

в L p .

[

дха

j

')

При

1 <

р <

оо

условие

в)

можно

заменить

более

слабым

условием

I

daf

1

в')

для

любого

a,

|а| ^

k,

последовательность

\

Ш_ i

ограничена

в L P

В

самом деле,

так

как

I

дха

j

компактно

в L P ,

1 <

ограниченное множество

слабо

р <

оо,

то

из в')

следует,

что

можно

выделить

слабо

сходящуюся

в L P

подпоследовательность i

—

. Дальнейшие рассуждения

по

существу

те

же,

[

дх'

1. По

поводу

случая р = оо см. §

6 . 2 . —

что и при доказательстве предложения

Прим.

ред.

Для

любого

х функция

у —> i|)e (х — у)

принадлежит

3);

следова­

тельно,

применяя определение (15) получаем

daf

Теперь

мы

можем

применить

свойство а)

к — ' - * -фе

и

убе-

daf

дк

диться

в

том,

при е - * 0 .

Функции

что —-fr сходится по LP-норме

дх

{/е }

дают

требуемую

аппроксимацию,

за

исключением

того,

что

они

не

имеют компактного носителя, поэтому требуется изме­

нить их

соответствующим

образом. Пусть

и — фиксированная

бес­

конечно

дифференцируемая

функция

с

компактным

носителем,

причем

г | ( 0 ) = ] .

Рассмотрим

двухпараметрическое

семейство

{л (8x)fe(х)},

8 > 0,

б >

0.

Выберем сначала

е так,

чтобы

функ-

дха

при

фиксированном

е выберем

6

настолько

малым,

Далее,

чтобы функции

да

(ц (дх) /„ (х))

'были

достаточно

близки

к

daf

— -

—

дх

дх

Поскольку

каждая из функций r\{bx)fs(x)

бесконечно

дифферен­

цируема и имеет компактный носитель, предложение

1 доказано.

При р =

со также можно высказать аналогичное предложение;

при этом

требуется

внести обычные

видоизменения,

связанные

с тем, что гладкие функции не плотны

в L°° (R").

Эквивалентные характеристики функций

из

Lfc(R")

при

п=

1

и при всех

1 ^

р ^

с о , а также

при произвольном

п и при р =

со

приведены ниже в § 6.1 и 6.2.

2.1.1. Что

касается доказательства

предложения

1, то

условие,

что г|) имеет

компактный носитель, не является

обязательным. Мы

ности), положив ф(х)

=

сп

(1 +

[ х р ) _ ( п + 1

, / 2 . Хогда функция \г

—

будет

равна

и(х,в),

где

и(х,

у)— интеграл Пуассона для

функ­

ции f

(см. гл. I I I , §

2). В других вопросах (см. гл. V I , § 3.2.4)

регу­

ляризация с функцией

г|з с компактным носителем

играет

более

су­

щественную

роль. В

этом

случае fe{x)

зависит

только

от

значе­

ний f

в некоторой окрестности

точки х.

В

самом деле,

согласно лемме

1 с

g~~§~y

мы

получим

j ;

i (f) ж

d x

^

Р

w

( 2 я 1 х

2 ш

* ' ^

=

Таким

образом,

^ Ix(!)-~-dx=

^

Rs(f)^dx

и,

следовательно,

справедливо (20), по меньшей мере

для

]^.9>.

Можно

распространить

(20) и на

более

широкий

класс функ­

ций, если возникнет

такая

необходимость

(см. ниже

§

6.3).

2.4. Докажем

сначала

теорему

для

случая,

когда

k — 1 и

1 <

р,

ц <

со. Пусть

f^2);

тогда

из

тождества

(18)

следует,

что

y\-n+ldy;

/=1

R"

значит,

по

теореме

1 (случай

а =

1) мы

получим,

что

(21)

Пусть

теперь

/ — произвольная

функция

из

L f ( R r e ) .

Согласно

предложению

1, существует последовательность {/ т }

функций из

Ф,

такая,

что

f m

- + f

в

L p

и

Д^2 - сходится

в

L p

. Предел

lim

Щ12-

df

a x l

т - » о о

а х 1

поскольку

должен равняться - ~ - ,

ХЫ \

-

-

lim {

-

{ ?

J

4 для

любой

( р е й ) .

Далее,

из

(21)

следует,

что

dfm>

\fm~f.

2и

дх,

дх,

/ = 1

Таким

образом, последовательность

/ т

сходится

также и в ! 9 (R"),

и

ее

предел также

равен / ' ) • Таким

образом, / е

L ' (R")

и

п

/

=

1 '

7 lip

')

Это вытекает из

следующего свойства

пространств

U

(R*) . Если

fm->f

в

/ / ( R " ) , то

существует

подпоследовательность

m f t , такая, что

lim / m f e

(л:) =

/ (х)

почти

для всех i s R " ,

- П р и м .

ред.