книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

180

Гл.

V, Дифференциальные

свойства

функций

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

10.

Вложение

л£; * (R") С

Л £ ? 2 (R")

имеет место,

только

если либо

a) «j

> а2 (qx

и q2

никак между собой

не связаны),

б) либо

ах=а2

и <7i ^

#2-

ЛЕММА

6.

Пусть / e l ' ( R " ) .

Тогда

для любого

целого

k

функция

дп

I!

невозрастающей

функцией

от у,

0

< / / < о о .

—Ъ-и(х,

г/)

является

ду

Ир

Рассмотрим

сначала

случай k = 0.

Так как РУ1* РУг

=

Ру,+у„

то

"(*>

ух

+

y2)=sPyi*u{x,

у2),

(64)

откуда \\и (х,

j / i +

у2)

||р

< || PUl % \\ и (х, у2)

\\р.

Так

как

|| РЙ1

\\х =

Пи(лс, г/! +

у2)\\р||и(х,

у2)\\р,

и утверждение

доказано

для

случая

k =

0. Для доказательства общего случая дифференцируем

тожде­

ство

(64)

k

раз по у2 и рассуждаем аналогично.

Докажем

теперь

часть

б)

предложения

10

[часть

а)

доказы­

Qk

и < " - * > * - ^ - < Л " ,

u(x,y0)t

L

J

и

I . е.

\ ~ -

< с Л

(66)

II ду

р

§ 5. Пространства

Л р 1 '

181

5.3. Сравнение пространств 5£р

с пространствами Л£ ' ч .

Мы

оправдывает

большую

подготовительную работу, проведенную

в § 4 и § 5.

В этой

главе мы достигнем наиболее глубокого

выми пространствами А 2"ц\ между

прочим,

только в этом

месте и

используется

теория

Литтлвуда — Пэли,

изложенная в

гл. I V .

Основной результат имеет следующий вид.

ТЕОРЕМА 5.

Пусть

1 < р < оо « а >

0.

Тогда

giaAPaP

при

р > 2 ,

(А)

2 ^ с г Л £ 2

при

р < 2 ,

(Б)

JS&p<=2l

при

р < 2 ,

(В)

A ^ c A g

при

р > 2 .

(Г)

пространству L \ (при

1 < р < оо), и

тем

самым все

сводится

к доказательству

вложений

для

а =

1 и

для

пространств

Li

вместо SB\.

В выражения

для

норм

в пространствах

Л р , < 7

входят

вторые

частные производные

от и,

где

и — интеграл Пуассона

от

f.

По

' 9Р(*) =

([ (У\^2и(х,

y)\Y^f)llP

при

р < о о ,

\J

У )

( 6 7 )

^оо (л) =

sup г/1 V2u(x,

у)\.

Предположим,

что ^ - e L p ( R ° ) , / = 1

п. Так

как и

есть

интеграл Пуассона

от /, то интеграл Пуассона от df/dxj

есть

dujdxj,

182

Гл. V. Дифференциальные

свойства

функций

(см. гл. I V , § 1.1),

МЫ видим,

что

fo=0 0

dx,

dxk •u(x,

y)

dy,

x0 =

tj.

Ho

S

d2u

Э Т 0 М У

ду2

-ЫГ'

П 0

/=1

'

W<c%g(-§L)(x)

Согласно § 4.9

гл.

I l l ,

lb

sup У ^ « ( * У ) | < Л | > ( ^ ) ( * ) .

Таким

образом,

lb

(68)

\$2{х)\\Р<Ар^\-Ц

/ Ир

I » - W I | P < ^ S | #

(69)

Неравенство

для

i?2

выполняется

согласно

теореме

1 гл. I V ,

а. неравенство для

является

следствием теоремы о максимальной

функции из гл. I . Далее,

ясно,

что &р ( * Х $ 1 (х)

'SlZ2

(х)

при

р ^ 2 .

Следовательно,

$р

(X)

<

(X) $[Р-2)'Р

(X) = %\ (X) $Х~%

(X)

(где

8 = 2/р). Значит,

в

силу

(68),

(69) и в силу

неравенства

Гёль-

дера

л„ п21-!г

II &Р (х) wP

<

II % (х) 1

( х

)

у ' - 6 <

В частности отсюда мы

получаем,

что

д2и

\\\р

dy

^

при

0

.

р

^

с о .

ду2

II

I

_ £ - < о о

2 ^

<

У

У

Это

показывает,

что

при

2^р

< со

I f

С Г Л Г p ( R n ) ; тем

самым

утверждение (А)

доказано.

§

5, Пространства

Ар>

4

183

(Б) Мы применим

неравенство

Минковского

для интегралов,

записанное в

виде

j J F (х, у)

tfxj

ydyj

<

Ц

j "

F (x, г/) г/

dx,

(70)

где

F (x, y)^0

и r ^

1

(норма

интеграла

не превышает

интеграла

от

нормы). Возьмем

г =

2/р (здесь

р < ! 2 )

и ^(х,

у) = \У2и(х,

у)\р.

Тогда из неравенства

(70) вытекает, что

со

• J y\\\V2u\\?Pdy^(

J ($2(x))pdx\VP

.

Последнее

выражение

конечно

в силу

(68),

если

f е

L \ .

Таким

образом,

при р ^ 2

из

того,

что \<^.3£\,

следует,

что / Ё Л ? ' 2 .

Тем самым

утверждение (Б) доказано.

Проведенные рассуждения

показывают

также,

что ||/|1л Р,

< Л Ш , Р

>

где q =

p при 2 < р < о о

и q = 2

при

1 < р < 2 .

Мы

Li

обратные

утверждения

(В) и

(Г),

установив

докажем

априорные

неравенства

(71)

\\f\\LP<Ap\\f\\AP,q,

где q = р при 1 < < 7 < ! 2 и < 7 = 2 при 2 ^ р <

о о , в предположении,

что / е

L f .

Для этого нужно просто обратить

только

что проведенные

выкладки.

Действительно,

при г ^

1 неравенство

Минковского

показывает,

что (70) выполняется с

противоположным

знаком не­

равенства;

поэтому

оо

l&P(x))>dx)Vp<jy№Uy

при

р>2.

хп

I

0

Но

поскольку

А'р

J -р— I ^

|| $2 (х) \\Р, согласно

теореме

1 из

II о

х 1 \\р

главы

I V , то мы получаем

(71) при 2 <

р <

о о .

р /2 и,

Аналогично если 1 < р < 2 ,

то 'Si(*)<!$1

(х)^оГе (х) с 9 =

согласно

неравенству

Гёльдера,

I I ^ W l K l l ^ p W l g l l ^ . W l l p " 6 .

Вновь

по теореме

Литтлвуда — Пэли

|| $2

Hp больше или равно

^11

^ а

Х 0 Г д а , '

согласно (69),

dxj

184

Гл.

V, Дифференциальные

свойства

функций

Далее,

( »

\ I/P

/

°°

\ I/P

Это

следует из (62') и определения

нормы в Л Р ,

р . Таким образом,

(71)

доказано

и для 1 < р ^ 2 .

Наконец, для того чтобы избавиться

от ограничения f е

L p ,

мы

рассмотрим

и(х,

е)

вместо

/

с

е >

0.

Тогда

ясно,

что

и (х, е) е L\ (Rn ),

если

/ е

Л р ' 4

(поскольку

отсюда

вытекает,

что

/ е

V (R")). Следовательно,

согласно

(71),

II и (*, е) |lLp < Л р

|| и (х, е) | | л Р , ,

<

Ар || / ||дР,

Таким

образом,

семейство

и (х,

е)

сходится

по /Лнорме к /, при­

чем Li-нормы

равномерно

ограничены.

Отсюда

следует, что

для

любого

j

J" ~JT и

е) ф ^

->

-

J

/

(Л:)

dx

для

любой

dx

функции

ф е й )

и

что

линейный

функционал

ограничен

по

норме,

сопряженной к

V

(R"). Сле-

нала

существуют

такие

функции gf,

что

I

f ТГ d x = = ~ \ g№ d x '

R"

где

gj<^Lp.

Это

показывает,

что / е L\, и, таким образом, тео­

рема доказана полностью.

5.4. Вопрос,

оставленный

ранее

открытым. Вернемся теперь

к доказательству

неравенства

(59), которое мы отложили до настоя­

доказать,

можно переформулировать

следующим

образом:

G p W e A j ' - ,

р > 0 .

(72)

Рассмотрим сначала случай 0 < р <

1. Так как

G p е L 1 (R"), то,

согласно

предложению 7',

§ 5. Пространства Л £ q

185

Запишем

\\G^{x

+ t)-G^x)\dt

=

j"

I •

\dt+

J*

I

•

\dt.

Первый

интеграл

оценивается следующим

выражением:

J"

[\G^x + t)\ + \G&(x)\]dx^2

J |Gp (*)|rf*.

\xl<2\tl

\x\<3\t\

Поскольку

Gp (jc)<c|jcr"+ P

(см. формулы

(29) и (30) в § 3.1), то^

2

|

\G&(x)\dx^A\tf.

| x | < 3 W |

Далее,

выполнив дифференцирование

в

формуле

(26) из § 3.1,

мы быстро

получим

следующие

неравенства:

c\Xj\ j

я UP

в Р-га-2

=

е

6

-

4 я—

2

do

е

б

о

<

с\ xt | J е

- ^

б

^

^ -

=

с'|

1 • I * Г п + Р " 2 <c' | x Г л + Р _ 1 .

о

Таким

образом, | G p (х + г) -

G p (x) | < c " | /1| x p +

f , ~ J

при

\x\>2[t\

и, значит,

J

I G p

( j c + 0

— G p ( x )

Л|/|р ,

если

0 < р < 1 .

И>2|<|

Итак,

неравенство

(59) и

эквивалентное ему соотношение (72)

доказаны для р,

удовлетворяющих

неравенству

0 < р < 1.

Для

того чтобы

перейти

к общему

случаю,

заметим, что для

любого

натурального г

G p r == Gp * G p * . . . * G p

(г сомножителей)

и Ру = РУх * Ру2 * . . . * P v если

г/ =

г/, + г/2 +

. . . + уг

и

ук > 0.

Отсюда

следует, что

G3 r (•. У) =

G p

(•,

г/i) * G p (•, у2) * . . . * G p (•,

г/г ).

Продифференцируем

теперь

это

соотношение

по

разу по

каждой из переменных уь у2,

уг

и

положим

после

этого

У\ — У2— ••• —Уг — у1г- В результате

мы получим, что

\-э^(х,

у)1<Ау-К

§

6 . Дальнейшие

результаты

6 . 1 . Функция

f е

L P (цп)

тогда

и

только

тогда,

когда f е

L?

(R™)

и

1)

f

может

быть так изменена

на множестве

меры нуль, что она станет

а б с о ­

лютно непрерывной в смысле Тонелли, 2)

^

g

L p (R"), / =

1,

п

(произ­

водные

существуют почти

в с ю д у ) .

6.2. Функция

/ е= L ~ (R"),

k >

1, тогда

и

только

тогда,

когда

она

может

быть изменена на множестве меры нуль

так, чтобы

выполнялось

одно

из сле­

дующих

условий.

а)

Функция f

имеет

непрерывные

частные производные

порядка

— 1.

Более

того,

если

g =

daf

| а | ^

k — 1,

то

дха'

sup l8(x)x_gJ*')l

sup|g(х)|<оо,

< оо.

х, х'

б)

Существует такая

последовательность

{qin},

ф л

е 2 1 ,

что

tfn->f

равно­

мерно

на любом компакте

и

sup

sup

да<рп

<

оо.

|a|<ft

п

дха

Указание:

см.

соответственно

доказательство

предложения

3

из §

3.5 и

предложения

1 из § 2.1.

6.3. Пусть

1 < р < о о

и l/p =

k/n. Существует

функция f е

L p

k (R"),

которая

существенно

неограничена

в окрестности

любой

точки.

Указание.

Рассмотрим,

например,

случай п =

2, k =

1 (тогда

р =

2). Поло ­

жим

ф (х)

=

| х | - 1 ^ln

П Р И

I х I

<

'/а и

ф (х)

=

0 для остальных

х.

Пусть

/о =

Л ( ф ) - Тогда

—

( f ) s i !

.

В

то

же

время

функция

/ 0

неограничена

в окрестности начала координат.

[ М о ж н о

построить

функцию

f0

с

теми

ж е

свойствами и более прямым

способом,

взяв

f 0

=

I n I n -j—г- для малых

х

и выб-

Iх

I

рав ее вне некоторой окрестности начала координат положительной,

достаточно

гладкой

и

имеющей

компактный

носитель.] • Положим,

наконец,

f (х)

=

со

2 - f e f o (•*— rk)' г д

{rk}

~

счетное

в с ю д у

плотное

множество

в R™.

=

2

е

k=\

6.4. Справедливо

следующее

обобщение

неравенства (23) из §

2.5.

Пусть

К

k <

п,

1/<7 = 1 — kin,

f е

2D\ тогда

п

дх,

дх,

1

г д е

произведение

распространяется

на

всевозможные

сочетания i^,

t2,

из

чисел

1, 2

п (всего

таких

сочетаний

Ck„ =

, , ,

и*—rvr\.

\

п

kl(n

— k)\ j

188

Гл.

V.

Дифференциальные

свойства

функций

S\

(RN )

ф

tPk

(Rn),

следует

из

неограниченности

высших

преобразований

Рисса

в

U

и

L°°

(см.

§

6.1

в

гл.

I I ) . Например,

чтобы

убедиться

в

том,

что

Lj° (Rn)

ф

&

f

(Rn),

можно воспользоваться

функцией Gn+l(x).

Из формулы

(26)

легко

видеть,

что

G „ + 1

и ^

±

1

€

L°°, т. е.

Gn+X

е

Однако

G „ +

1

0

(R»),

так

как

Gn

(х)

~

In - р у

при

| х

| - > 0

и,

таким

образом,

G „ (х)

ф. L°°.

Тот

факт,

что

(?n

~

In - j — г при I х I - > 0, также вытекает из (26), и доказываемся

он

тем

же

способом,

что

и

(29). Специальные

функции, полезные

в

этих

вопросах,

изуча­

лись

Вайнгером

[1] .

6.7. Справедливы

следующие

утверждения

(теорема

вложения

и

интерпо­

ляционная

теорема).

а) 1 )

А%;

q(Rn)

<=А%

4(Rn)

при

а , > а 2

> 0

и

а,

-

п!рх

=

а2

-

п/р2

(1

<

p

i < p 2 <

00).

б)

Если

/

е

Ap j'

">(R"),

где

; =

0,

1,

то | Е Л р „ ' ( R " ) ,

где

а = а 0

(1 — Э) + a t 0 ,

1

1 - 0 +, 9

Pi

1

1 - 6 , 9

Р

Pa

Я

Яй

Я\

для

любого

0 < 8 < 1 . 2

)

См. Харди — Литтлвуд

[2], Тейблсон

[ 2 ] .

6.8.

Положим

f a , а

(х)

=

е~пх

2

°°

a~kak~ae2nla

k

, х

е

R1 ,

где

а

— ц е л о е

• 2

х

ft=i

число,

большее

1.

1)

^ u e ^ ^ R 1

)

тогда

и

только тогда, когда о - > 7 г

( П Р И

1 < р < ° ° ) .

2)

f 0 i

a

е

А^' " (R1 )

тогда

и

только

тогда,

когда

a>\/q

(при

1 <

р <

оо).

Таким

образом,

2 ^

(R1 ) ф А£- 9 (R1 ),

если

< / < 2 , и

Л£- 9

(R1 ) ф

(R1 )

при

<?>2 .

1

\ — *

1

(In jjrj

при | х

| < у ,

и пусть функ­

ция

Ufa, 6, Р М