книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

деле

имеем

ф (х) = (1 +

| х \ ) ~ Х п ,

е =

г/, и для

Х>

1 условия

тео­

ремы

выполнены. Это доказывает неравенство (22), а значит, и (21).

Случай

р =

2 получаем непосредственно из (21), если

подставим

в это

неравенство

функцию г р = 1

и используем для g

результат

для L 2 .

Пусть теперь

2 <

р;

положим

l/q-\-2/p=[

и возьмем супре­

мум

в левой

части

по

всем г р ^ О ,

таким,

что

i p e L ' 7 ( R )

и

^Лр||/||р,

и

по

теореме

о максимальных

функциях

|| АГф ||?

^ Л?II гр \\q

— A"q,

поскольку

q >

1 при

р <

о о . Использовав эти

оценки в вышеприведенных

неравенствах,

получаем

\\gl(f)\\P<Ap,x\\f\\p,

2 < р < о о ,

А > 1 .

2.5. Для

доказательства

неравенства при р < 2 будут

приспо­

соблены рассуждения из § 2.1 для g. Леммы

1 и 2 будут

справед­

ливы и в данной ситуации, но нам требуется более общий

вариант

леммы 3, для

того

чтобы

оценить

подход

к границе без ограниче­

ная следующим

образом. Пусть

ц ^

1. Положим

A f , < W 4 = ( s

u p

o

^ ^

(23)

Тогда

Ml(f)(x)

= M(f)(x)

и

М„

(/) (х) = {(М | / Г) (x))U».

Непосред­

ственно

из теоремы о максимальной

функции следует,

что

l l ^ ( / ) | | p < ^ P i l l | | / | | p , р > ц .

Это неравенство не выполняется при р^ц,

как и в частном слу­

чае и. =

1.

ЛЕММА 4. Пусть f е

V (R"), р ц, ц ^ 1; если и (х,

у) — интеграл

Пуассона для /, то

\u(x-t,

# ) | < Л ( Ц - - Ш - ) " м (/)(*),

(24)

§

2. Функция g£

111

или в более общем

виде

\u(x-t,

ff)

| <

^ ( l + i l L p A f , . ( / ) ( * ) .

(24')

зать

(24) при

у = 1.

Подставляя

у =

1 в

пуассоновское ядро,

получаем

Pi(x)

=

CjL-^r

nu(x-t,

1) =

/(дс)*Р, - (дс - 0

( i + Ы 2 )

2

при

любом t.

Из теоремы 2 § 2.2

гл. I I I следует,

что

\u(x

— t,

1) | < At

(Mf) (х),

где At=

j Q,

(x)dx

Qt

(х) = сп

sup

|

•

ш

\ .

I (1 + ! * ' - r | 2 )

2

J

Для

Qt(x)

можно

легко получить оценки

Qt(x)^.cn

при

| * | ^ 2 | / |

- д - 1

и Q, (АГ)< Л' (1 + 1

х |2) 2

при

| # | > 2 | /1, откуда

очевидно,

что

А(1

+ |

М Г .

и,

следовательно,

неравенство

(24)

доказано.

Так

как

u{x

— t,

у) =

[ Py(s)f

(х — t — s)ds

и

[

Ру(s)ds=\,

то

R"

R*

-

\u(x-t,

y)F<

\ Py{s)\f{x-t-s)fds

=

U{x-t,

у),

где

U — интеграл Пуассона для

| / f.

Применяя

(24) к U,

получаем

! и(х -1,

у)

| < А

1

+

]t \1у)п!»(м(|

/ Г) ( X )) , , i l

=

=

А»{\+\1\1у)^М»{!)(х),

что

доказывает

лемму.

2.5.2.

Закончим

доказательство

неравенства

(20)

для

случая

1 <

р < 2

при условии р >

2Д.

Заметим, что всегда можно найти некоторое

ц.,

I

и. <

р,

такое,

что если

положить

К' =

Я — 2

~ р , то

все

же Я ' >

I . Если

^

2

u. =

p,

то

—

р>

I , так как К>2/р;

это

неравенство

можно

114

Гл. IV. Теория Литтлвуда — Пэли

и

мультипликаторы

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть 1/р +

1 / / > ' = 1 , 1 ^ р < о о ; тогда Жр =

Жр>г

причем

нормы

тоже

совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть а

обозначает

инволюцию: с ( / ) ( х ) =

= f (— х). Легко проверить, что a~lTma

=

Т^; следовательно,

если

пг^Ж,

то m также

принадлежит Ж; более того, норма m равна

норме т. По формуле Планшереля

J Tmfg dx=

[т (х) f (х) JJxjdx

= j" f (х) fng (х) dx =

R"

R"

R"

=

\fTmgdx

для любых f,

g G / , 2

( R " ) ,

Примем дополнительно, что

/ s

Z / ' ( R " ) ,

g e L P ( R " ) и || g

1.

Тогда

/

TJgdx <

II f l l p

, II

Tmg\\p^A\\f\\p,,

Мы уже указывали, что если

m — мультипликатор (в Жр), то

преобразование Тт,

ограниченное

в L P ( R " ) , коммутирует со сдви­

гом. Справедливо также обратное утверждение.. Пусть

Т — огра­

ниченное линейное

преобразование

в L P ( R " ) , р <

о о ,

коммути­

рующее со сдвигом; тогда существует

функция m^.JtP,

такая, что

Тт — Т. Доказательство будет проведено ниже в § 7.3.

Сделав эти пояснения, мы должны предупредить

читателя, что

ных» случаев, соответствующих р = 1, 2 или о о ) пока

изучена еще

недостаточно,

даже в случае R 1 . Однако, далее, мы получим важ­

ное достаточное условие, покрывающее

к тому же в значительной

мере результат, приведенный в примере 3.

3 . 2 .

ТЕОРЕМА 3.

Пусть пг(х) принадлежит

классу

Ch

на до­

полнении

к началу

координат в R N , где k — целое число,

большее

гс/2. Допустим

также,

что для каждого

дифференциального

одно-

(

д \ а ,

а =

(а,,

а2 , . . . . а,), где

|а) =

ах'+

.. + а в ,

для f^L2f]Lp.

Однако

в

силу теоремы

1 (см. следствие

в

§

1.4)

4 P | | F | l P < l l g i

{F,

х) ||р; следовательно,

WFWp-WTmfWp^ApWfl,

2 < р < ° о ,

для f^L2[]Lp.

Т.

е.

m<=JCp,

2 ^ / 7 <

со. По двойственности из

предложения

§ 3.1

следует

также,

что

m е

Жр,

1 < р < ! 2 ,

что и

доказывает теорему.

3.3. Докажем теперь

лемму.

Пусть и(х, у)— интеграл Пуассона от /

и

U(x,y)

— интеграл

Пуассона от F. Тогда, обозначая знаком

" преобразование

Фурье

по переменной х,

получаем

й(х,

y) =

e-2nWvf

(х)

и

U

(х,

у)

= в

- 2

я

1*1 У?

(х) =

е~ 2 я

1*1 УЩ (х) f

(х).

Положим по определению

М (х, у)=

\ е-2*1х-*е-2п"Win

(t)

dt.

Тогда, очевидно,

М(х,

у) =

е~2к

^х^пг(х)

и,

следовательно,

О (х, г/i +

у2)

=

М (х,

ух)

й (х,

у2),

у =

ух

+

у2,

Ух >

0.

Это можно переписать так:

U

(х, yi

+

y2)=

{

М (t,

г/,) u(x — t, у2)

dt.

Продифференцируем

это

соотношение

к

раз

по

у\ и один

раз

по

у2 и положим

г/i =

г/г =

У'/2. Получим

следующее

тождество,

где

верхние индексы

обозначают дифференцирование

по

у:

U(k+l)

(х,

у) =

J

Mm

(t, у/2) и{1) (х -

t,

у/2) dt.

(33)

лемму. Условия (30) и (31)

относительно m необходимо

выразить

в терминах функции М(х,у).

Получим

\Mik)(t,

y)\^B'y-n-\

(34),

$\t?k\M{k)(t,

у)\2М^В'у-п.

(34')

§

3. Мультипликаторы

(первый

вариант)

117

Действительно, из определения М следует, что

M{k) (х, у)\^В

(2n)k \\t\k е~2п

\4vdt

=

=

В' J

rke-2nrvrn-]

dr =

B"y-n-k,

о

.. . + an = k, и t =

.. . fnn.

По теореме Планшереля

IIta Mw (t,

у) ||2 = J(2я)2* (-^)а(| х

\k m (х) е-2- W »)[•

Но

у2Т

j \x\2re-i^x\ydx^Cy-n,

0 < r ,

и

R"

(^•fdxfmix))

< B ' | x\k4al,

| а | < £ ,

\\taM{k)(t,

y)$^B'y-n,\a\

= k,

I f/(ft+1> (*, У) Г < Ay-n~2k

j*

I Uw

(x -

t,

y/2) \2dt

+

m < уi2

i

л

-n

f

I U

( l ) ( x - t ,

y/2) \2dt

, ,

. ,

, , .

+

АУ

n

J

•

,iv

=

Ii(y)

+

h(y)-

\t\>Uli

1

1

2 оо

О

/ = Ю

Но

J

/. (У) У2к+'

dy^B

J

I Uw

(x -

t,

y/2) \2y-n+ldt

dy

В' [

I Vu(x-t,

y)

|

2 f

l f / r

f ^

:

г

=

B ' ( S ( f ,

x)f<Bxgl{F,

x).

Аналогично

оо

J r " w , I T M l

J l2(y)y2k+]dy^B'

V« 0 c -f,

y)fdtdy<t

о

m>i/

<B"g'K{Ft

X ) >

nX=*2k.>

Отсюда

следует,

что

gk+l(F,

x)

<BKgl(f,

x).

Однако

из § 1.5 (см.

замечание 3) известно,

что g{ (F,

х)^.

Akgk+X{F,

х).

Таким образом,

Доказательство следствия

совпадает с доказательством теоремы

с одним

небольшим

изменением. Необходимо заменить оценку

у2Г

j

\x\2re-inlx\ydx^Cy-n

в лемме

на

оценку

у2Т

J | xf\

mu{x)\2e-in\x\ydx^C'y-n,

R"

где пг0 удовлетворяет

неравенству

sup

R~n

f

\tnu(x)\2dx^l.

0 < * < ° °

«<U|<2*

§

4.

Применение операторов

взятия частичной суммы

мента

в теории

Литтлвуда — Пэли

(первый — это применение

функций g и g*).

Уже здесь проявляется то,

что

/г-мерная

теория

по сравнению с одномерной намного

уже, но

мы

отложим

обсуж­

дение

этого вопроса до § 4.3.