Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 354 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

30 Гл. I . Некоторые фундаментальные понятия

произвольного открытого множества в объединение непересекаю щихся кубов. Этот способ, хотя и не прямой, проясняет роль мно

жеств F и	Q,	на которые делится	Rn .	Мы знаем,	что f(x) ^ а в
F, однако	этот	факт не определяет	F.	Множество	F определяется

в действительности тем, что максимальная функция на нем удов

летворяет неравенству		Mf(x)	^ а. Положим	F — {x:		Mf(x)^.a)	и
Я =	Еа = {х: Mf(x)>a}.	Тогда	по теореме 1 (часть		6)m (Q)		— 1 \| /
где	достаточно взять	А — 5".	Заметим, что,	так	как	F по опреде

лению замкнуто, мы можем выбрать кубы Qk в соответствии с тео

ремой 3, так что Q =

Qk и диаметр

кубов

приблизительно

про

порционален

их расстоянию

до

F. Пусть

теперь — один

из

ку

бов, а ри — точка

из

F, такая,

что

dist (F,

Qk)

dist (pk,

Qk).

Пусть Bk

— наименьший

шар

с центром

ph,

содержащий

внутренность

Qk-

Положим

m(Bk)

У к

m(Qf e ) '

Так как pk <= {х:

Mf (х) <

а}, то

a > ( M / ) ( p f e ) >

[fdx>

[fdx.

Из элементарных

геометрических

соображений

неравенства

3) теоремы 3 следует, что

Vfe^

m(Qfe) ^ c o n

s ^ '

д л я

в с е х

Та-

ким образом,

мы

доказали

следствие еще одним способом.

Заметим, что это второе доказательство следствия имеет не

ожиданное преимущество: расстояние

кубов

до

сравнимо с

их диаметрами.

3.6. Сделаем заключительное замечание относительно связи данной теоремы с теоремой 1. Можно показать, что в свою оче редь теорема 1 следует из нее, и притом без применения леммы о покрытиях из § 1.6. См. по этому поводу § 5.1 в конце главы.

§ 4. Интерполяционная теорема для L p

4.1. Мы хотим формализовать часть рассуждений, использо ванных при доказательстве теоремы 1, а именно ту часть, которая приводит от неравенства б) к LP-неравенству. Это приведет нас к интерполяционной теореме Марцинкевича или, точнее, к основ ному частному случаю этой теоремы. Более общая форма этой ин

терполяционной	теоремы будет	приведена позднее	в	приложе
нии Б.
Потребуется	несколько определений. Пусть Т — отображение из
L P ( R n ) в L « ( R n ) , 1 < р ^ с » ,		1 ^ q sg: о о . Скажем,	что	Г — о т о -

§ 4.

Интерполяционная

теорема для 1>

бражение типа (р, q),

если

II Г ( / ) » , <

Л||/||р>

/ e L P ( R " ) ,

(17)

где А не зависит от /. Аналогично

Т есть отображение

слабого

типа

(р,

а), если

m{x:

\Tf(x)\>a}^(^^-J,

q<oo,

(18)

где А не зависит от f

и а,

-Если q =

оо,

то

скажем,

что

Т есть отображение слабого типа

(р,

q), если оно типа

(р,

q).

Заметим, что

из

(17)

следует

(18), так

что понятие типа

(р,

сильнее понятия

слабого

типа

(р, q).

Дей

ствительно,

если

q <

о о , то

а" т{х: | Г / ( * ) | > а } <

| Tf ? dx

= || Tf

\fq <

(А

|| / ||/ .

Нам понадобятся также операторы Т, определенные на не

скольких

пространствах

одновременно. Определим

Z / ' ( R " )

- f L p J ( R N )

как пространство

всех функций /,

таких,

что / = /\ +

/ 2 ,

где

/, e L P

' ( R " )

и / 2

e L P ! ( R " ) .

Пусть

теперь

р, <

р2 .

Очевидно,

что

L P ( R " ) c : L P ' ( R " )

+ L P 2 ( R N )

для

всех р,

таких,

что

р , < р < р 2 ,

Действительно, пусть

f е

( R " ) , и пусть у — фиксированная

поло

жительная

константа. Положим

f / U )

при | / W l > v ,

l {

X )

при l / W K v ,

f / W

при

/ W

K V

при

| / W | > Y .

Тогда

J" I / ,

(x) | P l d x = \ \ f {

(x) \pI /, (*) | p ' " p

rf*<

у"-"" J

I /

(Jt) | p dx,

так

как p i — p ^

Аналогично

J I /2 (*) f

J* I /2 (*) lP

I /2 (*)

Г _ Р

dx < V^-"

{

I / (*) |p

rf*.

так что fi£=LPl

f 2 ^ L p l ,

причем

/ =

f ( - f / 2 .

Разбиение

функции /

на две части в соответствии с их относительными разме

рами, которыми мы только что воспользовались, и будет главной

идеей доказательства нижеследующей			теоремы.
4.2. ТЕОРЕМА 5.	Пусть	1 < г *С о о .		Если Т —	субаддитивное
отображение из	L l (Яп)+	L r (Rn)	в	пространство	измеримых

Гл. I . Некоторые

фундаментальные

понятия

функций

на Rn

и отображение

слабого типа (1,1)

и слабого

типа

(г, г)

одновременно, то Т есть

также отображение

типа (р, р)

для

всех

р,

таких,

что 1 <

р <

г. В

более

явном

виде:

пусть для

всех

f, g€=L4Rn)

Lr(Ra)

\T(f

+ g)(x)\^\Tf(x)l

)Tg(x)\,

m{x:

\Tf(x)\>a}^^\\f\)l,

/ б ! ' ( П

m{x: ! 7 y W I > a } < ( 4 4 J / | | r ) \

/ e Z / ( R » )

(если

г <

о о ; в случае

когда

г =

о о , предполагаем,

что выполняет

ся	(17)) .	Тогда
			\\T(f)\\pKAp\\f\\p,		f e L ' ( R " )
для	всех	1 < р <	г, где	Ар зависит	только	от Аи А2,	риг.
	4.3. Докажем		теорему	при ограничении		г < о о . В	случае когда

г — о о , необходимо слегка изменить данное доказательство. Предо ставляем сделать это читателю в качестве упражнения. Заметим,

что этот случай неявно содержится

в доказательстве, приведенном

в §

1.5.

Пусть / е L p (R"). Мы

хотим

оценить

функцию

распределения

X(a)

= m{x:

) Tf(x)\>o).

Пока зафиксируем

а. Как было показано

выше,

можно

разбить

на два

слагаемых

/ =

/ i + /2 так,

чтобы

/ j e L ^ R " )

и / 2 e Z / ( R " ) ,

причем

разбиение было получено «раз

резанием»

|/|

на уровне

Y , Y >

Пока Y было

произвольным;

теперь

зафиксируем

\ =

а.

Так

как

| Т (/) (х) | <

| Г/, (*) | + 1 Г/2

(х)

\, то

{х:

| Tf (х)

| >

a} с

[ я : | Tf, (х)

\ > ±

}

U { х:

| Tf2 (х) | >

|},

так

что

Л(а) =

т { * :

| Г/(*)

| >

а } < т {

| У/, <JC) 1 >

+ т { * : | 7 У 2 ( * ) | > | } ;

поэтому в

силу 2)

и 3)

Из определения ft и / 2	получаем
М а ) < - ^	j I /	-I- -<Н^>1_ \| \| / W r ^ .	(

If|>a

|f|<a

§ 5. Дальнейшие результаты

Далее, мы знаем, что

оооо

J | Г/ \" dx = - J a" dl (а) = р J а""'* (а) rfjc;,

осталось только умножить обе части (19) на рар~1 и проинтегри ровать по а. Для этого заметим, что

JaP-'a-'j J }f\dx\da=			Jl/lJ11\ a"-2dadx		=
0	l \| f l > a	J	R «	о
так как p>	1. Аналогично
ОО				00

l f l < a

7=7 J l / П / Г ' * * .

так как p <. г. Складывая эти два выражения, получаем

	\\T(m\p<Ap\\f\\p,			где {АРУ		= - 2 ^ +
Необходимо заметить, что так же, как и в случае							максимальной
функции, константа Ар			удовлетворяет			неравенству	Ар^,А/(р—1)
при р	1.
Один из примеров			применения		доказанной теоремы — это, ко
нечно, теорема		1, часть в) . Часть б)			теоремы 1 .показывает, что опе
ратор	f—*M(f)	— слабого		типа (1, 1); то, что f-*M(f)			—оператор
типа	(оо, о о ) , очевидно. Другое важное приложение						интерполяцион

ная теорема Марцинкевича находит в теории сингулярных интегра лов, которая излагается в следующей главе.

§ 5. Дальнейшие результаты

5.1. Теорему 4 из § 3 можно использовать для получения другого доказа тельства фундаментального неравенства для максимальной функции в части б)

теоремы 1. Для / ^ 0, a > 0 и / е L 1 ( R ) " пусть, как и в геореме 4, Q =4JQA.

Тогда							к
Тогда
		M	(	Q ) < T / F D X '
Пусть,	далее,	— куб с тем же		центром, что и	у	Qk, но	вдвое большего диа
метра.	Тогда	ясно, что	щ	Qfcj	J"	/ ^x>	и можно показать,
2	И. Стейн

Гл.

Некоторые

фундаментальные

понятия

что

Mf(x)^.ca

для

хф_ [ j Q / s

п Р и соответствующем выборе

константы

с,

т. е.

m{x:

Mf(x)

> с а } <

(2™/а) J

f d^ . Более

подробно

см. Кальдерой

Зигмунд [1],

стр.

114—115.

5.2. а)

Предположим,

что

носитель

функции

содержится

ограниченном

шаре

В cz R " .

Тогда

M(f)

L{(B),

если

функция

| / | 1 п ( 2 + | / | )

суммируема

на В.

Действительно,

Mfdx<m(B)+

Mfdx,

в то

время

как

Щ>\

оо

M / d x = J Я (a)

d a +

Л ( I ) ,

Л* f >

где

Я ( а ) =

т{дг:

A f / ( * )

> a }

< -

\]\dx

I f J> а г

в силу (5)

из

§ 1. (См. также

Винер

[1].)

б)

Неравенство

для

Я (а)

может быть в существенном обращено. В самом

деле, для подходящей

положительной константы с

m{x:

Ml(x)>ca}^~-

\f\dx.

I f l > a

Для

доказательства

применим

теорему

к \J | и а. Это

приводит

кубам

г д е 2 " а ^ - —

| / | dx

а. Таким образом, если х е

Qk,

то М

(р)

{ (х)

> са и

^ (Qk)

Ой

т{х:

(1)(х)>са}>^т

(

) >

U f t ^

H o | f ( i ) | < o ,

если

x ^ J j Q f t ,

следовательно,

\f\dx^

j f

{ dx.

О т -

U<?fe

I > a

сюда

вытекает искомое неравенство.

в) Утверждение пункта а) может быть обращено. Если носитель функции f

содержится

шаре

В,

то

из

того,

что

A f ( / )

e L ' ( B ) ,

следует,

что

функция

| / | 1 п ( 2 + | / | )

суммируема

на

В.

Для

доказательства

нужно

проинтегрировать

приведенное выше в пункте б)

неравенство

для

т{х

: Mj(x)

са} так

же,

как и

при доказательстве прямого утверждения.

По поводу утверждений

б)

и в)

см. Стейн [12].

г)

Более

общим

образом,

если носитель функции f содержится в В, то

М (/)

In (2 +

Mf)k

L 1

(В)

# ф

I /1 In (2 +

I / ] ) k

l e= L l (B),

k >

5.3. Рассмотрим

вопрос. Выполняется ли

соотношение

l i m

— j - j r r -

[

f (x

— у)

= /

(Л:)

ПОЧТИ

всюду,

S e f ,

С.)

dlam (S)-»0

l ^ J

5. Дальнейшие

результаты

где

— подходящее

семейство

прямоугольных

параллелепипедов,

содержащих

начало

координат.

а)

Если

^" — семейство

всех

прямоугольных параллелепипедов,

то

(*)

может

не

выполняться,

даже

если

функция

ограничена. См. Никодим

[1]

Буземан

и Феллер [1].

б)

Если

3~ — семейство

всех прямоугольных параллелепипедов с ребрами,

параллельными

осям

координат,' то

(*)

неверно

для некоторых

суммируемых

см. Сакс [1].

в)

Однако

если

3~ — семейство

всех прямоугольных

параллелепипедов

реб

рами, параллельными осям координат, то (*)

верно

для

e i ' f R " ) ,

р >

Дей

ствительно,

положим

для

такого семейства

(f)

(х)

sup

— \

t (

y )

y .

Тогда

|| Mf

||p

II f Hp,

1 <

p ^

° ° .

Это

неравенство

можно

доказать

rt-крат-

ным применением LP-неравенств для максимальных

функций

из теоремы

г)

Пусть ЗГ — однопараметрическое

монотонное

семейство

прямоугольных

па

раллелепипедов с ребрами, параллельными осям координат, т. е. ^" =

{5Ло< г < «>,

где

. при t\ ^

Тогда

(*)

выполняется

для

всех

/ e L P ( R " ) ,

1 ^

р.

Это следует из того, что для такого

монотонного

семейства

прямоугольников

имеет место аналог леммы о

покрытиях

из

1.6. По

поводу

утверждений

в)

г)

и связанных с ними результатов см. Зигмунд

[8],

гл.

X V I I .

5.4. Теорема

Витали

покрытиях.

Пусть

измеримое

множество

покрыто

набором шаров {Ва}

том

смысле,

что

для

каждого

х е

Е и

каждого

е > 0

существует

шар

S t t o

{Ва},

такой,

что

х е В ^

и т ( В а о

) < е .

Тогда

суще

ствует такая последовательность попарно непересекающихся шаров из этого се

мейства

В и В-2, . . . , Вц,

...,

что

m [ E - \ [ B f t W o .

Доказательство

и дальнейшие

обобщения

см. в

книге

Сакса

[2], гл.

5.5. (Ф. Рисе). Пусть

(х)

— вещественная

непрерывная

ограниченная

функция,

определенная

на

прямой

R1 ,

пусть

а — положительное

число.

Пусть Я, — множество таких

х,

для которых

sup

—

^ - > а .

Тогда

h>0h>o

T i

(bk)

К )

а.

помощью

этой

леммы

А=1

, где

= (ak,

"ft

Й - U

I k

bk),

= а .

случае, если

можно получить

другое

доказательство

теоремы

одномерном

положить

Неравенство

(16) заменяется

тогда

т о ж д е с т в о м

F (х)

j f (t)

dt.

— 7 7 - г -

dx~a.

т (Ik)

'к

См. Рисе и Секефальви-Надь

[1], гл.

5.6. а) Имеет место следующее

усиление

неравенства

(15).

Пусть

т|)!>0.

Тогда J"

(х) г|) (х)

dx^.

j *

(Afi|)) (x)dx,

где М'ф — максимальная функция для

Отсюда

следует,

что

I„(x)

(F)

для

всех

1 < ^ р < о о . Если

использовать

утверждение §

5.2

при

условии,

что

функция

-ф In (2 +

ty)

суммируема

(в ос -

Гл.

I . Некоторые

фундаментальные

понятия

тальном

функция

1|)

произвольна),

то

отсюда

вытекает,

что J е а ! '

dx<

оо

для п о д х о д я щ е г о

а > 0 .

б)

Другим

вариантом

интеграла

/„ (х)

является

интеграл

9(л:)

6 (х

у)

— г - r .

утверждения:

— —

Справедливы следующие

5^. (*)

с / ,

(*),

X(=F;

( * ) < о о

для

почти всех

t e R " ;

3) суще

ствует

положительная

постоянная

а, такая,

что

для

к а ж д о г о

конечного шара

j eaJ*

dx<

оо. По

э т о м у

п о в о д у

см. Карлесон [3]

Зигмунд [ 9 ] .

5.7.

Предположим,

что

f е

Lp(R"),

1 < р < о о .

Небольшое изменение в

д о

казательстве

1.8

приводит к

следующему

результату:

Jim

— т т - )

r r -

I f(y)

—

f (x)

\p dy

для

почти всех

х.

r->o m	(o	(*> r))
5.8. Пусть	fu	f2, ....
таких, что ^ 2	I fy (*) Ру''

функцию для f/. Тогда

J
B(x,	r)
fn,	. . . — п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь		функций из V ( R " )
s	^ р W-	Обозначим через	М / / максимальную

					1 < р < 00.
Константу	Л р	можно	оценить следующим		образом: Ар — О ((р — I ) - 1 )	при
/?->-1 и Л р	=	0 ( р 1 ' ' 2 )	при р - > о о .	Это наилучшие возможные оценки. Если		взять
в качестве	f j	характеристические		функции	попарно непересекающихся кубов, то

приведенный выше результат по существу содержит результат § 5.6. См. Фефферман и Стейн [1].

Замечания')

§1. Об основных фактах, относящихся к интегрированию и дифференциро

ванию,	см. Сакс	[2]. Максимальная теорема для п =	1 впервые доказана Харди
и Литтлвудом, а		я-мерный вариант — Винером [1]. По поводу леммы о покры
тиях из	§ 1.6 см.	Винер [1] и Марцинкевич и Зигмунд	[2]. Для читателя было бы

поучительно сравнить эту лемму с более тонким результатом, приведенным в кни

ге «Анализ Фурье»,			гл. И, § 3, который основан на более поздних идеях Безико-
вича. В		работах Эдвардса и Хьюитта [1] и Стейна [ I I ] можно найти другие				об
общения.
§	2.	Интеграл	Марцинкевича впервые появился в работах Марцинкевнча
['] — И ,		см. также	книгу Зигмунда		[8], гл. I V . Систематическое изложение	для
«-мерного случая можно найти				у Кальдерона и Зигмунда [7].
§	3.	Теорема о	разложении	из	§ 3.2 имеется у Кальдерона и Зигмунда	[1].
На ее	тесную связь		с разложением		Уитни впервые, видимо, было указано в	ра

боте Стейн [10].

§ 5. Интерполяционная теорема 5 доказана Марцинкевичем [5]. Более общий вариант, описанный в приложении Б, получен Зигмундом; приведенное в прило

жении Б доказательство принадлежит Ханту [1]. Более подробное	обсуждение
вопроса читатель найдет в книге «Анализ Фурье», гл. V .
') Напомним, что ссылка на книгу «Анализ Фурье» относится к	книге Стей
на и Вейха [41.

Глава I I

С И Н Г У Л Я Р Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы

Основополагающий пример, лежащий у истоков теории сингу-

• лярных интегралов, — это гильбертово	преобразование. Гильберто
во преобразование функции f задается	формулой
оо
	(1)
— оо

где не сходящийся абсолютно интеграл интерпретируется с по мощью подходящего предельного перехода. Отметим некоторые основные моменты теории гильбертового преобразования с тем, чтобы иметь отправные пункты для изложения теории я-мерных сингулярных интегралов, которой посвящена эта глава.

а) U-теория. Здесь, как и в общем случае, мы имеем дело с оператором, коммутирующим со сдвигом. Поэтому нельзя обойтись

без сверток, преобразований Фурье, теоремы			Планшереля — ко
роче,	без основных орудий гармонического анализа на R™. По
этой	причине мы	начнем главу именно с обзора этих понятий.
б)	Ьр-теория.	Фундаментальным свойством	оператора (1) и

тех его обобщений, которые мы рассматриваем, является их ог

раниченность в пространстве

L P при

1 <С р <

оо. В случае

гиль

бертовых преобразований эта классическая теорема была

дока

зана

М.

Риссом

применением

теории

функций

комплексного

переменного. Этот

метод

неприменим

рассматриваемом

здесь

общем

случае, и

LP-теория

будет

получена

нами

как

следствие

LJ -TeopHH.

в)

^-теория.

Гильбертово

преобразование

не

является

огра

ниченным

оператором в

пространстве

L 1 . Однако имеется

резуль

тат, до

некоторой

степени

заменяющий

это

утверждение,

именно

это преобразование есть оператор слабого типа (1,1). В общем

случае ситуация та же самая.	Методы доказательства нера
венств слабого типа с помощью	теории функций действительного

переменного впервые были предложены Безиковичем и Титчмаршем, для гильбертовых преобразований, и далее были развиты в исследованиях Кальдерона и Зигмунда, относящихся к n-мер ному случаю. Можно сказать, что эти методы и составляют ос нову данной главы. Не стоит и говорить, что большую роль при

38 Гл. I I . Сингулярные интегралы

этом будут играть элементы теории функций действительного пе ременного, изложенные в гл. I .

г) Особые свойства гильбертовых преобразований. Среди них отметим следующие.

1) Оператор (1) коммутирует не только со сдвигом, но и с растяжением х 6х, б > 0. Не удивительно, что и результаты, относящиеся к n-мерным обобщениям, существенно инвариантны относительно растяжений. Те операторы, которые, как и (1), не меняются при растяжениях, представляют важный подкласс, для которого теория и проста, и богата. Изложению соответствую щей теории посвящен § 4.

2) Связь с аналитическими функциями. Имеется тесная связь между преобразованием (1) (или некоторыми его n-мерными ва риантами) и аналитическими функциями (или их обобщениями). Значение этой связи и вытекающие из нее свойства инвариант ности относительно вращений будут описаны в следующей главе.

§ 1. Обзор некоторых аспектов гармонического анализа в R "

Приведем без доказательства некоторые элементарные факты гармонического анализа в R N . Естественное обобщение этих фак тов можно получить путем рассмотрения локально компактных абелевых групп.

1.1. Наряду с	уже употреблявшимися		пространствами L P ( R " ) ,
l ^ p - ^ C o o , рассмотрим		пространство C 0	( R N ) непрерывных	функ
ций, стремящихся	к нулю	на бесконечности, норма в котором		опре

делена, как обычно, с помощью точной верхней грани, а также со

пряженное	к нему	пространство		^ ( R N ) ,	которое, как			известно,
можно отождествить с банаховым				пространством		всех	конечных
мер d\x с	нормой	\|\|йц\|\| =	\йц\.	Пространство		L T ( R N )		можно
		га				(R™) с	помощью
отождествить с подпространством пространства $
изометрического отображения			f(x)—>f{x)dx,		где	dx — мера			Ле
бега.
Основной операцией будет операция свертки. Для \iit								\| i 2	е
определим	свертку	ц = ц\ * р,2	формулой

Выполняются соотношения

Если один из сомножителей принадлежит L l ( R " ) , то свертка также принадлежит L l ( R " ) . Следовательно, если f е L l ( R " ) , то

§	1. Обзор некоторых				аспектов	гармонического	анализа	в R"	39
интеграл	g =	f*[i=	J f (х — у) • d\x (у) сходится для почти						всех х
и g e L 1 ( R " ) ,		причем
					II g II. <	II /Hi II Jill.
Аналогично если			/ е	f	( R " ) , то J / (х — у) d\x (у)			также	при-
надлежит	L p	и \|\| g \\р <		\|\| / \|\|р \|\| ц \|\|. Заметим,			что при ix <= Я		преобра
зование
			/->{/(•*-			y)d\i (У),

которое, как мы уже установили, ограничено в L P ( R " ) , также коммутирует со сдвигом х -> х + h. Этот класс преобразований описывается следующим предложением.

1.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ I . Пусть				Т — ограниченное		линейное		отобра
жение	пространства Ll(Rn)		в себя. Для того чтобы Т коммутиро
вало	со сдвигами, необходимо			и достаточно, чтобы			существовала
такая мера		\|я, принадлежащая		$!(Rn),	что T(f)	— f * ji		для всех
f e L J	( R N ) .	При этом \|\|ГЦ	=	\|\|ц\|\|.
1.3. Определим для каждой меры					p , e ^ ( R " )	ее	преобразова
ние Фурье (1 (г/) формулой 1)
		Д (#) =		J e"tvdn	(х).

В частности, для всех f E L ! ( R " ) преобразование Фурье опреде ляется формулой

f ( ^ ) = | е ^ / ( л ) ^ е С 0 ( Я п ) .

				R*
Преобразование			Фурье		обладает	важным	свойством:		если
ц =	H i * На, то Л		£(У) =	МУ)МУ).		Если	/ e L ' ( R ' f ) n ^ 2 ( R " ) ,
то	f e L 2 ( R " ) H	\|\| f lb =		11/\|\|». Поэтому		преобразование		Фурье	можно
доопределить		по	непрерывности до			унитарного		отображения,
определенного		на всем		L 2	( R R T ) . По непрерывности получаем				также,

что если g = / * \х, где / G L 2 (Rn ) и ц е= $ ( R " ) , то g(y) = f {у) £ (г/).

1.4. Следующая теорема является аналогом предложения 1 для пространства ZA

') При сравнении формул, которые встретятся ниже, с аналогичными фор мулами в других книгах необходимо принять во внимание, что в настоящей книге выбран множитель + 2 я в показателе экспоненты.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 354 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ