книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

которая, очевидно, является гармонической в

R + + I и

непрерывной

в R + + 1 . Рассмотрим

цилиндр

2 =

{ ( х ,

у):

0 < t / < i , U | < t f } ,

где R достаточно велико. На

той

части

границы

цилиндра

2 ,

где

у = 0,

имеем U(x,y)^0,

так как

там

Aft — 0;

там,

где у

=

1/г,

имеем

U(x,y)~^0,

ибо

| А / Г

| ^ 2 М . Наконец,

если

R достаточно

велико, то, поскольку функция А/; ограничена, получаем

U(x,y)^0

ципа максимума (см. приложение

В) t7(0, 1 ) ^ 0 , откуда следует,

что А/Г (0, 1 ) ^ — (2М -f- 1)е; аналогичное утверждение

справедливо,

если A/j заменить на —Д/4 ; в результате получаем Aft =

0, что и тре­

бовалось доказать.

Это можно переписать в следующем виде:

и(х, У +

^)=

\

Py(x-t)fk(t)dt.

(2)

Напомним теперь, что

l

i

I/* IL

=

и [х,

j

слабой

компактности существуют / <= L°°,

и

последова­

тельность

|fA ,},

такие,

что fk,

слабо

сходится к

/

в том

смысле,

что

J" fk,q>dt-+

| fydt

для любой функции ф е

L 1

(Rr e ). Для

фикси-

рованной

точки

(х, y ) E R j + 1

выберем

ф(t) = РУ{х

—

Тогда пре­

дел функции

(2) равен

и(х,

у)=

{

Py(x-t)f(t)dt,

откуда

следует,

что и w — интеграл

Пуассона ограниченной

функ­

ции f.

Предложение, следовательно, полностью доказано.

Объединяя

предложение и теорему

1, получаем

л-мерный

вари­

ант классической

теоремы Фату.

ТЕОРЕМА 2 . Пусть и— гармоническая

и ограниченная

функция

в R + + I .

Тогда

и

имеет нетангенциальные пределы

почти в

каждой

точке границы

R" полупространства

R + + 1 .

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть и — гармоническая

в R + + 1

функция

и 1 ^

Если

sup || и (• , y)\\LP[nn) <°°,

то и есть

интеграл

Пуас-

§ 1. Нетаигенциальная

сходимость

и теорема

Фату

241

сона

функции

/ e t ' ( R " )

при

1 <

р.

Если

р =

\, то и

—интеграл

Пуассона

от конечной меры.

Этот результат был сформулирован без доказательства

в §

4.2

гл.

I I I .

Простое

обращение

его содержится в § 2.2 данной главы.

Для

доказательства

следствия

положим

р <С со.

Пусть

для

любой

точки

(х, у) е

R " + 1 В

есть

шар с

центром

в (х,у)

и ради­

усом у.

По теореме о среднем значении

I и (х, у)

f

jj]u

(х\

у')

f dx'

dy'.

в

Однако

В cz {(х',

у'):

0 <

у' <

2у}

и

m (В) =

суп+х,

следовательно,

I

и (х,

у) f

<

с'у—'

J*

| | и (х',

у') f dx'

dy'

и

о

R »

предложение

1 (и теорему 2) и получить, чтои^х,

у + -jj

=

Ру*

fk,

где fk(x)

= и^х,

l j

.

Однако по

предположению

sup || fk

\\р

< со,

и,

следовательно,

применимы

известные

рассуждения с

использова­

нием

слабой

компактности.

Точнее,

если

р > 1,

то

существуют

/ е Z / (Rr e ) и

подпоследовательность

|ffe,J, такие, что fk,

слабо

схо­

дится к /. Для

р =

1

существуют

конечная

мера

d\i и

подпосле"

довательность

| f f t / j ,

такие, что fk,

слабо

сходится

к d[i.

Получаем,

что в

этих случаях

и(х, y)=Py*f

или

и(х,

y) =

Py*d\\, соответ­

ственно.

Заметим,

что

|| / |L = sup || и (• , у) ||_ при р > 1

и ||dfj,||

=

1.3.

Локальный вариант. Введем прежде всего подходящее

понятие

нетангенциальной

.сходимости. Пусть

для любого

а > О

и h > 0

через Тк(х°)

обозначен

усеченный

конус

Г£ (х°) = [(х,

у)

е

е R + + l :

| х — х° \ < ау, О < у <

h).

Если

функция и

определена

на

R + + ! ,

то

мы говорим,

что

функция

и нетангенциально

ограничена

в х°,

если для некоторых

а и h

supI и(х, у)

| <

О О ,

(х, у) <= Г*(л°).

242

Гл.

VII. Возвращение

к теории гармонических

функций

Основным результатом этого параграфа является следующий

локальный аналог теоремы Фату (теоремы 2).

ТЕОРЕМА

3. Пусть

и — гармоническая функция

в

R + + I , Е —

под­

множество

в

R",

и предположим,

что функция

и

нетангенциально

ограничена

в

каждой

точке х° е

Е. Тогда

функция

и имеет нетан­

генциальный

предел

почти в каждой точке л:0 е

Е.

1.3.1. Ситуация может быть упорядочена с помощью предвари­

тельных

рассуждений.

ЛЕММА. Пусть функция

и непрерывна

в R + + I ; предположим,

что

она

нгтангенциально

ограничена

в каждой

точке

множества

Е,

Е cz Rn . Тогда

для

любого

е >

0 существует

компактное

множество

Еи

для

которого

1)

EiC-E,

m(E — Е{)

<

е;

2)

для любых а >

0, h > 0 существует константа М — М(а,

h, е),

такая, что \и(х,

г/)|</И,

(х,

г/)еГ £ ( х°),

х ° е £ г

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Шаг

1. Рассматривая только рациональные а

и И, можно найти множество Е0,

такое, что мера пг(Е

— Е0)

мала

(например,

m {Е — Е0) <

Е/З),

причем

\и(х,

у)\^.М,

(х,

у)^Т^(х°),

х° е

Е0,

для

некоторых

фиксированных

а и h.

Можно

предполо­

жить

также,

что

множество

Е0

компактно.

Шаг 2. При данном фиксированном Е0 и достаточно большом

целом

k

выберем

подмножество

Е00,

2:0 0 с : EQ,

m (Е0 — Е0о) <

е/З,

такое,

что

| и (х, у)

|<

М',

(х,

у)

е= Г* (х°),

х° е

Ею.

Для

этого

поступим

следующим

образом.

Езли

заданы

ц <

1

и

е/З, то

существуют

б >

0 и

подмноже­

ство EQQ, такие, что

m(E0

— E 0

Q

) <

е/З и

m

(В

(х,

г)

П Е0)

^

m (В

(х,

г))

^

71

ДЛЯ X S

и г ^

б.

Это следует из того,

что

каждая

точка

из Е0

является

точкой

если мы покажем, что для некоторого

достаточно

малого б имеет

место вложение

Г 1 ( * ° ) с [

J Г 2 0 О ,

х°^Еоо-

(3)

При

доказательстве вложения

(3)

примем для простоты, что

х° = 0. Мы должны поэтому

рассматривать

пары

(х, у)

в конусе

\x\<ky

(при г / < 6 ) . Фиксируем

пару

(х,у).

Мы

хотим

доказать,

что существует точка х'еЕ0,

такая,

что

J* — х'\ < ау.

Предпо-

§ 1. Нетангенциальная

сходимость

и теорема Фату

243

ложим противное: для данной

точки х

(и у)

не существует

такой

точки х'. Тогда шар \х — х'\ <

ау лежит в СЕ0.

Сравним этот

шар

координат). Поскольку начало координат в силу допущения

лежит

в Е00, ТО относительная мера этого шара в большом шаре

равна

самое большее 1 — a/k, что при нашем выборе r\ > 1 — a/k

приво­

1.3.2. Пусть Е — любое компактное подмножество в

Опреде­

лим открытое множество

* = U ГЖ).

(4)

Предположим, что и —гармоническая,

функция

в R + + I и

\и\^\

при (х, у) е

91. Тогда

для почти всех

х° <= Е предел

l i m и(х, у)

суще­

ствует при

(x,y)-+(x°,0),

( J , I

/ ) G

£

244

Гл.

VII. Возвращение

к

теории

гармонических

функций

Пусть

ф т

(х,

у)

есть интеграл

Пуассона для

ф т

, т. е. ф,„ (х, у)

=

— {Ру* Фт) (*)•

Определим

функции гро т (х, у)

соотношением

У + ^-) =

Фт(*>

У) + Ът{Х, У)-

(5)

Функции

из последовательности

{ц>т (х)} равномерно

ограничены

по норме

L°°

(R"),

и,

следовательно,

можно

найти

ф(х)<=/,°° (на

самом деле | q>(x) | ^ 1) и подпоследовательность { ф т ' } ,

такие, что ф т '

слабо

сходится

к

ф. Пусть

ф (х,

у)

есть интеграл

Пуассона для ф-

Тогда,

очевидно,

<рт'(х, у)-+<р(х,

у)

в каждой

точке

(х,

( / ) E R * + I ;

в то же

время

и[х,

у +

и (я,

у); таким

образом,

яр т ' (х,

г/)

сходится

поточечно

к

яр (х,

у),

и мы

получаем

и (х, у)

=

ф (х, г/) + гр (х, г/).

(5')

Функция

ф(х, г/)—это

интеграл

Пуассона

от

ограниченной

перплоскость R n , a J?+ — часть границы, лежащая

над

R",

т.

е.

$0

=

{(х, 0) е= Ж— Щ

и

$ +

= {(х,

у) е= М—

у > 0}.

Пусть функция Я обладает следующими свойствами:

1)

Н — гармоническая

функция

в R + + l ;

2)

Я > 0

в

R + + 1 (в

частности,

на 3SQ);

3)

Я > 2

на

4)

если

(х,

у)->(х°,

0) нетангенциально,

то

Н (х,

у)~>0

для

почти всех

х° е

Е.

Функцию Я нетрудно построить. Пусть % обозначает харак­

теристическую

функцию

дополнения

Е.

Запишем

Н(х,у)

=

=

с{(Ру *%) (х) + у}, где

с — некоторая

константа, которая

будет

скоро

определена. Свойства

1) и 2)

очевидны;

свойство

4)

яв­

ственное, что нужно

исследовать — это свойство 3).

Границу

можно разложить на «тривиальную» часть,

т. е.

часть,

для

которой

у = п,

и «нетривиальную», для

которой

0 < у <

п. Для тривиальной части всегда можно получить 3), взяв

достаточно

большое

с (c^z2/h).

Рассмотрим нетривиальную

часть

границы <%+. Необходимо заметить, и это будет важно

для

даль­

и выражается

с помощью

некоторого

квадратичного интеграла,

введенного Лузиным.

Фиксируем

форму

нашего

обычного

усеченного

конуса

г£>

т. е. фиксируем

а и h.

Если функция и

задана на

R " + I

(или

на

подмножестве R++ 1 > содержащем

часть, лежащую вблизи

границы

R n ) , то положим

(7)

S(u)(x°)

=

(

JJ

\Wyl-"dydxy

(*°)

(сравните с вариантом, встречающимся

в § 2.3 гл. IV, см. стр. 107).

Здесь

|2 =

ди

ди

ду +

1

дх,

'

/=1 1

и двойной

интеграл в (7) выделен для того, чтобы подчеркнуть, что

мы имеем

дело с (п + 1)-кратным

интегрированием в отличие от

для названия «интеграл площадей» возникает

в случае

п =

1. То­

гда (S(u) (х0))2 представляет площадь (точки считаются

с их

крат­

ностью) образа в R2 треугольника

Та{х°) при

аналитическом ото­

бражении z—+ F(z), где действительная часть

F есть и. При

п > 1

не существует такой простой интерпретации для S, но тем не менее

мы сохраним терминологию случая

п—\.

мощью интеграла площадей следующим образом.

ТЕОРЕМА 4. Пусть

и — гармоническая

функция

в R + + I .

Тогда

всюду,

кроме

множества точек х° нулевой

меры

в R",

следующие

два условия

эквивалентны.

1)

Функция

и имеет в х° нетангенциальный

предел;

2)

S(u)(x°)<

оо.

2.1.1. Необходимо

пояснить

утверждение

теоремы. Доказатель­

ство того, что

из (1)

следует

(2), показывает на

самом

деле,

что,

§ 2. Интеграл

площадей

247

нении

теоремы Грина к

области

91, определенной в §

1.3.2

(стр.

243). Граница этой

области

обладает регулярностью,

едва

приблизить область 91 семейством областей

{91г}

с достаточно

глад­

кими границами. Семейство д91в

обладает

некоторой

равномерной

гладкостью, которая отражает минимальную гладкость д91.

ЛЕММА. Существует

семейство

областей

{9le},

е >

0,

со

следую­

щими

свойствами:

а) Жг cz Я,

5?е,

<= $е2

при

е2 <

ei;

В)

Яе->Я

при

е - > 0

(т. е.

\}9te

=

9i);

у)

граница

д91е = $г

данной

области

есть

объединение

двух

частей $1 (J $ 1 ,

так что $1

есть

часть гиперплоскости

у =

h — е;

б)

$\

есть

часть гиперповерхности

у =

а~1Ье(х),

где

бе е

С°°

и

дх]

< 1, / = = 1 , . . . , п.

Пусть

б (х) — dist (х,

Е).

Тогда

очевидно, что | б (х) — б {х')

| ^

<!|л: — х'\

при

х,

/ e R " ,

Пусть

функция

<реС°° (R")

имеет ком­

пактный

носитель,

положительна

и

что бч <

dXj <!б; кроме того, б ^ ^ б равномерно при т)->0.

ветствующие

им области

9lR = {(x,

у): де(х)<ау,

0 < у < h — е}

удовлетворяют

требованиям

нашей

леммы.

является конус

Га =

г£(0).

Далее будет необходимо рассматри­

вать другой

усеченный конус, строго содержащий данный. Фикси­

руем В и k,

где

В >

а и k >

h. Тогда, очевидно, Гр =э Га, и един­

ЛЕММА.

Предположим,

что и — гармоническая функция в Г$,

1) Если

| « К 1 в Г|,

то \yVu\^c

в Га .