Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

150	Гл. V. Дифференциальные			свойства функций
Это неравенство			показывает,	что / е ! ' ( R " )	и что		оператор
вложения Li{Rn)		в L"(R") непрерывен.
	Рассмотрим	теперь случай, когда k = 1, но q =			оо	=	= nj
или	р > - ^ = / г .	В	обоих случаях	соответствующие		утверждения

теоремы 2 ((2) и (3)) носят локальный характер, и поэтому можно упростить рассуждения, рассматривая только тот случай, когда функция / (следовательно, и ее частные производные) имеет компактный носитель. Итак, пусть дано какое-либо фик сированное компактное множество К; обозначим через г\ функцию из 2D, равную единице на этом множестве. Рассмотрим функцию r\f,

где f e L f ( R n ) .

Достаточно доказать утверждения 2) и 3) для функции r\f, которая, между прочим, также принадлежит к LP{Rn). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что слабая про изводная (r\f) равна " ^ r / + T l " J ~ ' Но в самом деле,

	- - ; ^ * + / ^ < м ф / - и # ) , « * .
что	и требовалось получить.
	Итак,	рассмотрим функцию				f e L ^ R " )		и аппроксимирующую
ее	последовательность		\fm}	из предложения 1. Ясно, что r\fm яв
ляется аппроксимирующей				последовательностью для г\|/. Обозначим
через Ki		(компактный)	носитель			функции ц и выберем			достаточно
большое		число R так, чтобы			множество			К — К] содержалось в
шаре радиуса R с центром в начале							координат.
	Из тождества (18) следует, что
T)()/«()l<^2			/	д	(Ц	fm)	- у )	\y\-n+ldy,	х<=К.(22)
				Ц	^	( х

Воспользуемся теперь неравенством Юнга, согласно которому, если

<&{х)=	\	£ф{х-у)Я(у)йу,
то \|\|«ПК\|\|Ир\|\|#11*. где	l —	+	Мы положим а=.
п

= А S I Т Г

I ; # (У) = I У Г п + 1 , если | у | < R, и Я О,) = 0 в про-

§ 2. Пространства Соболева

151


тивном	случае.		Пусть показатель 5 < _^ ; тогда f\|^j\| s <oo, так
к а к И И ^		J	\| r / \| ( - " + , ) V y < o o .
Из	неравенства Юнга вытекает, что

Таким образом, мы видим, что

последовательность {/,„},

ко

торая

сходится к

/ в L P , сходится

также

и в

L R , если

ее

рас

сматривать на множестве К. Итак, /

принадлежит L r

на

множе

стве

К.

рассматриваемом

случае

р =

п,

поэтому

неравенство'

s <

эквивалентно

неравенству

г <

оо, поскольку у

—

+ — — 1. Таким

образом, утверждение

доказано

(в

случае

k=l).

Для

доказательства

утверждения

можно

рассуждать

так

же, как

и выше,

только

нужно

воспользоваться

неравенством

sup|^W|<||^||p ||J||p S 1 +

' = 1 ,

которое является очевидным следствием неравенства Гёльдера.

Заметим,	что	при	р > п \| \| Я \| £ =	J	\| у f~n+1) р'	dy	< оо,	по-
				\y\<R
этому аналогично предыдущему мы				получим
				*\(fm-fm>)
				/=i	дх.
	sup \| / т ( * ) - / « ' W l < ^ '			/=i
	х<=К						непрерыв
Это неравенство показывает, что последовательность							непрерыв
ных функций {fm(x)}			сходится равномерно		на всяком		компакте и,
следовательно, функция / эквивалентна непрерывной функции.
2.5. Случай		р =	1. В предположении, что k—l,			утверждения
теоремы	были	полностью доказаны, за исключением				случая		р=\.

Рассуждения, проведенные выше, не проходят в этом случае, по

скольку утверждение	в)	теоремы	1 неверно при	р = 1 .	При
р — 1 нужна другая	идея;	эта идея	заключается в	том, что	мщ

152

Гл.

V. Дифференциальные

свойства

функций

выведем

сначала

следующее элегантное

неравенство:

i a <

- .

fe=2>.

(23)

дх i 111,

4=1

Мы будем доказывать неравенство (23) индукцией по п. Случай

и—1

тривиален;

неравенство ||/IL^II/'Hi немедленно следует из

того,

что f(x)=

f'(t)dt.

Предположим

теперь, что неравенство

(23)

справедливо

для

п— 1. Для. проведения

индукции

запишем

J t e R " так: х = (хь х'),

где х е

Rra \ хх

е R1 , и положим

dx',

j = 2,

. . . . п,

аП-1

dxi

Пусть, далее,

q — показатель,

соответствующий п (q = ^ - y j ,

— показатель,

соответствующий

п— 1

п —

Тогда

в силу

индуктивного

предположения

га

— 2

Шп-l)

(24)

\f(xux')rdx'Y<[\{l>^)l

>п— 1

•/=2

Очевидно, что | /(*)

(хг) (это

вновь

одномерный

случай!),

поэтому

| / \" < (/, (Л;'))1 '1 """ | / |, так

как

п - 1 + 1.

Таким образом, применяя неравенство Гёльдера с сопряженными показателями п — 1 w qr, получим

J	\ ( / I ( * ' ) ) 1 / ( " _ I ) I № ' <

Воспользовавшись теперь неравенством (24),	найдем, что
/ п	\ l / ( n - D

J	J / , ( * / ) ^ Y / 0 , " , , ( n ^ ( J f i ) )

§ 2. Пространства Соболева

153

Проинтегрируем по хх и еще раз воспользуемся неравенством Гёльдера; тогда учитывая, что

/ п	\ l / ( n - l )	n /	\ !/(/»—1)	df 1/(л-1)
				п

V 1=2

/=2

/=2 '^ 7

окончательно

получим

/=1

Это

и есть

искомое

неравенство (23),

поскольку

q~n/(n—l).

Если

мы

примем

во

внимание

неравенство

(

\1/п

/=1

то,

как

следствие

из (23),

получим, что

'" q

«Эх,

ГС

Это

неравенство

рассуждения,

проведенные выше в § 2.4,

показывают,

что

L\(R")

cr Lq(Rn),

причем

соответствующий

опе

ратор вложения

непрерывен.

2.6. Для того чтобы завершить доказательство теоремы, мы

можем

рассуждать

по

индукции,

показав,

что

случай

к ^ 2

сво

дится к случаю

k =

\. Возьмем, например, первое из утверждений

теоремы.

Из

предположения

том,

что f e L £ ( R r e ) ,

очевидно,

следует, что f^Ll-\

(R") И

<= L l - \

(Rn ). Следовательно, из спра

ведливости теоремы

при& — 1 следует, 4 T o / e L ?

' ( R " )

H ^ e L ' ^ R " ) ,

где

I ;

— — k

п 1

. Таким

образом,

f e i f

(R"). Тогда,

согласно

утверждению

теоремы

при

k — \, f е

L 9

(R"), где — =

—;

k — 1

Соответствующие

операторы

вложе-

--^

ния

непрерывны.

Второе

третье

утверждения

доказываются

аналогично.

Сделаем

заключительное

замечание.

Теорема

справедлива

и при р — 1 в отличие от

близкой

к ней теоремы

1. Однако, когда

q =

(утверждение 2 ) ) ,

вообще

говоря,

нельзя

утверждать,

что

f e L ° °

(здесь

ситуация

вновь

сходна

со

случаем

теоремы

1).

Дальнейшие

подробности

см. в § 6.3

и в

конце

настоящей

главы.

154	Гл. V.	Дифференциальные	свойства функций
	§	3. Бесселевы	потенциалы
	3.1. Потенциалы	Рисса 1а, как	мы видели выше, приводят

к очень элегантным и полезным формулам. Тем не менее они имеют существенный недостаток, который состоит в следующем.

Важность потенциалов 1а прежде				всего	в том,	что они		играют
роль «сглаживающих	операторов».			В то	время	как	локальное
		I х	\-"+а
поведение (\|х\|->0) ядер		^ ^	вполне подходит для				этой цели,
глобальное их поведение		(\|х\|->со)		хуже	и приводит		к	неудоб
ствам, возрастающим	с ростом		а.

Выход из этого положения заключается в такой модификации потенциалов Рисса, при которой сохраняется нужное локальное поведение, но в то же время исключаются не относящиеся к су ществу дела трудности на бесконечности. Существует несколько приблизительно эквивалентных путей, приводящих к такой моди фикации, но наиболее простой и наиболее естественный из них

состоит в том, что «неотрицательный»								оператор — Д			заменяется
«строго положительным»					оператором / — А (/ — единичный опера
тор). Бесселевы			потенциалы			определяются			равенством
					/ а	=	( / - д Г /	2
по аналогии с			равенством
					/ а	= ( - д Г / 2 .
Логично начать с вывода явной формулы для ядер бесселевых
потенциалов, т. е. с нахождения функции									Ga(x),	обладающей тем
свойством, что				Ga (х) =	(1 +		4я2 \| х ] 2 ) ~ а .		Отправным		моментом
для	вывода	этой		формулы		послужит		идея (уже		использованная
в гл.	I I I , §	3.2)		о том,	что «всякая» функция от \х\ может быть
представлена		с помощью			семейства функций {е~п6^х^}й>0-						В этой
связи отметим			следующее		простое тождество:

оо6

( 4 я Г / 2 ( 1 + 4 я 2 и Р Г / 2 = — L - Г е — < 1 + t o 2 ' * ' Y / 2 f , а > 0 , (25)

r ( f ) °

которое является не чем иным, как другой формой записи ра венства:

, - а	1	оо	-t6*a	db
		Г
1	= w l	е	6	X
с а = а/2.	о

Далее мы приводим	таблицу,	в которой выражения, стоящие

справа, являются преобразованиями Фурье от соответствующих выражений, стоящих слева (а — а/2):

		§ 3.	Бесселевы	потенциалы				155
1)	е-п\х\'		е-л\х\'
2)	е-я»!*!'		я U P
2)	е-я»!*!'
3)	J e - « e i * l * 6 a ^ .		J e	л s	5"s a	об
3)	J e - « e i * l * 6 a ^ .		J e		2
			О		"	"в
4)	Г ( а ) ( я Г * р ) - в		О
4)	Г ( а ) ( я Г * р ) - в		V(~-a){n\xf)2			°
Из (25) и 2) следует (как			будет показано		ниже)
			,	,	Г	"1*1"	а	(~п+а\
5)	( I +	4я*\| Л: Р)-«/ 2	( ^ 7 Щ -		/ в	"	"	« ^ Т
Принимая		во внимание	5), мы	определим		Ga(x)		следующей
формулой:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.			1) Для		любого	а >		О G A (х) е L 1 (Rr e ).
2)	GZ (х) =	(1+4л2\х\2Га'2.
					я U P
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так				как	\| е	6	dx	= bn/2,	то, применяя	тео-
рему	Фубини,	получим,		исходя из		(26),		что
	Г Ga(x)dx	=		1 _ _ ^ . Г e - ^ e ^ = = I ,					a > 0 ,
так что первое		из утверждений доказано. Для доказательства								вто
рого	утверждения		мы воспользуемся				таблицей		1) — 5). В самом

деле, если мы обозначим через / какое-либо из выражений,, стоя

щих

слева, а

через

f — соответствующее

выражение

справа,

то

для любой функции ф е

f (х) ф (х) dx=

f (х) ф (х) dx.

(27)

" U P

Сначала

мы

возьмем

f (х)

= е _ я в

1х

l \

f(x)

" / 2 , затем

i t \

„-6/4я„-п6 U P

-в/4я -я|х |»/в,-п/2

гг

таком

]{х)

— е

' е

, f (*) = е

. При

выборе

и f

мы

проинтегрируем

обе

части

по мере б а / 2 - ^ -

(см. (25)). После

156

Гл. V. Дифференциальные

свойства

функций

перемены

порядка

интегрирования

(законного

согласно

теореме

Фубини)

получим, что

(1 +

4я2 | х | 2 ) " 0

/ 2 <р (х) dx = J Ga (х) ф (х) dx.

Так как Ga <= I

1 (R"), то это и означает, что 6а

(х) =

(1 + 4я2 | х | 2 ) ~ а / 2 .

Из

приведенной выше

таблицы

получается также

формула,

похожая

на формулу (26):

1 . 1 - п + о

7 _ Л Щ 1 ( - " + « )

у (а)

- г f е

6 6 2

4 г -

(28)

( 4 я ) а ' 2

г ф

Если

мы воспользуемся

тем, что е~б /4 л =

1 - f о ( е - 6 /

4 я ) ,

6 - > 0 ,

то, сравнивая

(28) и (26), мы получим, что при 0 < а < п

Оа(х)={х{~{1*а

+о(\хГ+а),

|х| - *0 .

(29)

Непосредственное

исследование

интеграла,

определяющего

Ga(x),

показывает

также, что

Ga (*)

= 0 ( e - « l * l ) ,

\х\->оо,

(30)

для некоторого с > 0, так что ядро Оа быстро убывает при | # |-> оо. Заметим, что максимальное значение функции е - л 1х 12 <б е ~б /4 я

равно е - ' * ' (и достигается				при 6 = 2я\|х\|). С			другой	стороны,
если \| х \|j> 1, то очевидно, что е _ я \| * 12/«е-«/4л <>е -л/бе -б/4л_								Объединяя
эти	два факта,	мы получаем,			что при \х\~^\		е~п 1х 12/<5е-б/4л ^
^е -\|л:\|/2е -л/2ве -б/8я1 Применение					этого неравенства к определяющей
Ga(x)	формуле	(26)	дает
					оо
	(4я)а / 2 Г (\|) Ga (х) <			в"' * 1 / 2 {		е -^бе -б/8лб (-п+ а,/2		j
					о
что	и представляет		собой	формулу		(30) с с = у .
5././. Для ядра			G a может		быть	получено	также другое ин
тегральное представление,				которое		показывает,	что оно по суще
ству	является	бесселевой		функцией «третьего			рода»	(см. ниже
§ 6.5). Именно		в таком виде оно было первоначально						выведено.
Нам, однако, не понадобится ни одно из свойств							бесселевых		функ
ций, так что название «бесселев потенциал» будет служить									лищь
для	того, чтобы	отличать		этот	вид потенциалов от других.

3.2. Связь между потенциалами Рисса и бесселевыми потен циалами. В силу самого определения и в силу асимптотических соотношений (29) можно ожидать, что между бесселевыми по-

§ 3. Бесселевы

потенциалы

157

тенциалами и потенциалами Рисса существует тесная связь. В при водимой ниже лемме этой связи дано точное выражение.

ЛЕММА 2. Пусть а > 0.

1) Существует такая конечная мера (ла на Rn, что ее преоб разование Фурье имеет вид

^ W

(1 + 4 л 2 М 2 ) а / 2

2) Существует

такая

пара

конечных

мер v a

и Ха

на

что

(1 +

4я2 | х | 2

) а /

2 =

v2(x)

(2п\х\)а%1

(х).

В первой части леммы, по существу, утверждается, что сле

дующий

формальный оператор

деления:

j r ^ >

0 '

( 3 1 )

ограничен

L P ( R U

)

для любого р

1^СрК°о.

Во второй части устанавливается, в какой мере аналогичное

утверждение

справедливо

для

оператора,

обратного

опера

тору (31).

Для

того

чтобы

доказать

1),

мы

воспользуемся

разложе

нием в

ряд

со

( l - ' ) a /

l +

Am,

m ,

(32)

справедливым

при

| / | < 1 .

Коэффициенты

Ат,а

при

достаточно

больших т имеют

одинаковый знак; следовательно, 2l

Ат. а

| < о о ,

поскольку

выражение

(1 —t)a'2

ограничено

при t->

1 (если

а ^ О ) .

Положим

t =

T+lbjxY'

т о

г д

(

)

1 +

Ат.а

(1 +

4я2 | х

I 2 ) " " .

(33)

т=1

Далее,

G2m

(х) >

J G 2 m (*) е 2 " ' * - » =

(1 + 4я21 у | 2

) " т .

Кроме

того, мы

уже

отмечали,

что

| G2m

(х) dx — 1 (так

что || G2m

||j =

1).

Таким образом, из сходимости ряда 2l

Ат,

„ | следует,

что мера

ца ,

определяемая

соотношением

йа = б0

(

i 4 „ , e G 2 M ( * ) W

(34)

\ f n = l

158	Гл. V. Дифференциальные свойства		функций
где 6 0 — м е р а	Дирака, сосредоточенная в начале координат, пред
ставляет собой конечную меру. Более того,			согласно (33),
	u~ М -	(211)"	/ о «

Воспользуемся теперь «-мерным вариантом теоремы Винера:

если Ф 1 (= L 1 (R")

ФГ (х)

-т- 1

не обращается

в нуль, то

суще

ствует

Ф2 «= L 1

(Rn),

такое,

что

(Фр(х) +

Ф2 Л (х)

+ 1.

Для

наших

целей

удобно

положить

оо

<Di (х) = • S

Л я , a G 2 m (*) + G a (x).

m = l

Тогда,

согласно

(35),

функция

Ф '

( ) +

( l + 4 ^ U | 2 ) a / 2

не обращается в нуль. Следовательно,

при надлежащем

выборе

Ф 2 (= L ' будет

выполняться

равенство

(1 +

4я2 | х \Т2

( l + (2я| * |)°) [Ф2~ (х) +

1 ] ,

так что мы получаем искомое утверждение, положив va = \ =

=60 + Ф2 (х) dx.

3.3.Пространства 9?а. В этом параграфе мы намереваемся провести более систематическое изучение семейства операторов

Если f e Z / ( R " ) ,

l ^ p ^ o o ,

то

мы

можем

определить

fa(f)

при а > 0

как свертку: fa{f)

Ga*f,

положить

fQ(f) =

При

нимая

во

внимание

тот

факт,

что ,[| Ga ||. = 1

[ =

^ Ga(x)

dx\, мы

убеждаемся, что

свертка

определена

корректно, причем

I! fa

Ф Wp <

Л1р,

Р < ° ° .

(36)

Очевидно

также,

что

f a - / p

= / a +

3 ,

a > 0 ,

р > 0 ,

(37).

поскольку,

согласно

предложению

G a

* С р =

<За + ( 1 .

Основным определением в этом параграфе является опреде

ление

пространства

потенциалов

3?ра.

Символически

мы

запишем

£Pa(Rn) =

fa(Lp(Rn)),

1 < Р < о о ,

а > 0 .

(38)

Другими словами, i?£(R")

есть подпространство

пространства

L P ( R " ) ,

состоящее

из

всех

тех

функций /, которые

могут

быть

	§	3.	Бесселевы		потенциалы	159
записаны	в. виде f =	f a	g ,	где	g < = L p ( R n ) ;	З^-норма функции /,
обозначаемая через		\|\|/\|1 р , а ,		определяется		как //-норма функ
ции g, т.	е. .
	Н/11Р.п	=	11я11р.		если f = fa(g).	(39)

Для того чтобы убедиться в корректности такого определения

нормы, мы		должны проверить, что если fa{gi)				= f a (	g 2 ) , то gi =	g2
почти	всюду. Но в		самом деле,	если	<р е 9",	то
{ f	„ (gi)	Ф (х) dx =	j J Ga (x -	у) gx	(у) ф (Л)	dy-=	\ g x f a (ф)	fif*

(здесь изпользована теорема Фубини). Таким образом, из равен

ства

fa(gi)

fa{g2)

следует,

что

J (gi — gs) fa

(ф)

= О

для

любых

ф е ? " .

Далее, / а

отображает множество

на

себя.

Действительно,

пусть

задана

функция

op е

Выберем

так,

чтобы

ф(х)

ip (х)(1

4зх21 л: j 2

) ~ a / 2 .

Так

как

ф е ^ ,

то

ф е ^ ,

а значит и ф ен 9>. Так как ор(*) =

ф (х) (1 + 4я2 | л: | 2

) а / 2 , то

ар = / а (ф).

Таким

образом,

| (g[ — g2 ) tydx

— 0

для

любых

op е

91,

откуда и

вытекает, что

g x — g 2

почти всюду.

(36)

немедленно

следует,

что

Из

определения

неравенства

3?Pczgpa;

II/I U <

И Л и ,

если

р >

а.

(40)

Кроме

того,

осуществляет

изоморфизм 9?а на S'a+p, а ^ О ,

Р ^ О .

(41)

После этого

обзора

нужных

нам свойств пространств

S'a

обра

тимся к более важным для нас вопросам. Вернемся к исходной идее, которая уже обсуждалась в § 2: к идее о связи между по тенциалами и частными производными. Здесь эта связь прояв ляется в виде тесной зависимости между шкалой пространств по

тенциалов

i?2(R n ) и шкалой

пространств

Соболева

La(Rn).

ТЕОРЕМА

Пусть

к—натуральное

число

1 <

р < оо. Имеет

место

равенство

том

смысле,

что

/ e . ^ ( R " )

тогда

только

тогда,

когда

f е

L£(Rn ),

и соответствующие

нормы,

определяемые

равенствами

(39) и

(16),

эквивалентны.

Отмеченное

выше

совпадение

пространств

Я£\ и L% не

имеет

места при

р = 1

или

р = оо.

См.

по

этому

поводу

§ 6.6.

3.4. Доказательство теоремы 3. Доказательство этой теоремы основывается на следующей лемме.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ