Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 357 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

60 Гл. II. Сингулярные интегралы

| К (х — у) f (у) dy сходится по норме Ж% для почти всех х и

R™

W K

j\K(x-y)f(y)\dy^

j\K(x-y)\\f(y)\dy,

Также

| | g I K | | / С I I , I I / l i p , если

l / r =

\/p + l/q -

1 < г < о о .

5.2.

Предположим,

что функция

/(х) е

L 1 ( R " , 5^). Тогда мы

можем

определить ее преобразование Фурье f(y)—

| e2nix'»f

(x)dx,

которое

является элементом

L°°(R*, Ж).

Если

f s L 1

( R N , <3^)П

f U

( R

50),

то f {y) = L*(R

Ж), причем

|| f || =

|| /1|2 .

Преобразо

Фурье

может

до уни

вание

быть по непрерывности

расширено

тарного отображения

гильбертова пространства

L2(Rn, Ж) на себя.

Эти факты могут быть легко получены из скалярнозначного слу

чая, если рассмотреть произвольный ортонормированный базис в Ж.

5.3. Пусть заданы два гильбертовых пространства Ж\ и Ж% и пусть f(x) принимает значения в Ж\ в К(х) принимает значения в В(Ж\,Жг). Тогда оператор

Tf(x)=

K(y)f(x-y)dy

там, где он определен, принимает значения в Жъ-

ТЕОРЕМА 5.

Результаты

данной

главы,

частности теорема 1,

ее

следствие

теоремы 2

и 4, справедливы

для более

общего

случая,

когда

f принимает

значения

в Ж\, К принимает

значения

В (Ж и Ж-i),

а Т({)

и Te(f) — в Жъ причем

всюду

абсолютное

зна

чение

|-| заменено

на соответствующую

норму

в Ж\,

В(ЖиЖ%)

и Жъ соответственно.

Эта

теорема

ни в коем

случае

не является

очевидным

след

ствием рассмотренного скалярного случая. Однако для доказа тельства надо только в точности повторить рассуждения для ска лярнозначного случая с учетом замечаний, сделанных в предыду

щем	параграфе. Это утверждение может показаться смелым, но
его легко проверить,			терпеливо	рассмотрев все	доказательства;
если	читатель	не захочет этого		делать, он может	найти необхо
димые детали в литературе, цитируемой в конце данной						главы.
При проведении этого доказательства выявляются						несколько
проясняющих существо дела обстоятельств.
а)	Окончательные		оценки не зависят от гильбертовых				про
странств Ж\ или Жг, а зависят				только от В, р и п, как и в ска-
лярнозначном		случае.
б)	Большая	часть	доказательства проходит при более				общих
предположениях, когда			векторнозначные функции		принимают эна*

§ 5. Векторнозначные аналоги 61

чение в соответствующим образом определенных банаховых про

странствах. Структура		гильбертова		пространства используется
только в /Атеории при применении варианта					формулы	Планше-
реля, описанного в § 5.2.
Использование	гильбертовых		пространств		необходимо также
при получении следующего следствия. .
СЛЕДСТВИЕ. Если	вдобавок к предположениям				теоремы	5
II Т(/) \|\|2 =		c\\f\\2, О	0,	f €= L2(Rn,	Ж , ) ,
ТО\\ПР<ХР\\ТШР	для	f e L » ( R n ,	Ж{),	1 < р < о о .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что L 2 (R", Ж^ — гильбертовы про странства. Действительно, пусть (•, •)/ обозначает скалярное произведение в Ж^ \—\, 2, и пусть (•, •)/ обозначает соответ ствующее скалярное произведение в L 2 ( R " , M j ) , т. е.

if,	g)i= j (fix),		g(x)),dx.
Тогда T — ограниченное		линейное	отображение гильбертова про
странства L 2 ( R " , Жх)	в	гильбертово пространство L2(Rn,		Ж{), и

в силу общей теории скалярных произведений существует един

ственное

сопряженное f

из

L2(Rn, Ж2)

Z,2 (R*, Жх),

удовлетво

ряющее

характеристическому

свойству

{Т!ь

/ 2 ) 2 = ( / . ,

f/2 >„

// s

L 2 (Rn,

Ж,).

Но

наше предположение эквивалентно тождеству

(Tf,Tg)2

c2(f, £ ) ,

для всех

/, ge=L2(Rn,

Ж,).

Таким

образом, в

силу

определения

сопряженного оператора

(TTf,

g)i

— c2(f,

g)u

и условие следствия

может

быть

переформу

лировано

так:

TTf = c2f,

f&L2

(Rn,

Ж{).

(30)

Оператор

Т — того

же типа,

что и

Т,

но

он

переводит

функ

ции

со

значениями

в Ж2

в функции

со

значениями в Ж\, и для

его

ядра

R(х)

справедливо

равенство

К (х) =

К* (— х),

где *

означает

взятие сопряженного

элемента в пространстве

В(Ж\>Ж2).

62 Гл. //. Сингулярные интегралы

Формально это очевидно, поскольку
(Tfи f2)2-	f	J (K(x-y)fl(y),	f2(x))2dydx	=
	R"	R"
=	J	j (fi (У), К* ( - (У ~	* ) ) /2	dxdy =
	R"	R"
= < / . ,		772>..

Строгое доказательство этого тождества достигается простым предельным переходом. Не будем утомлять читателя обычными деталями.

После всего сказанного осталось заметить, что К*{—х) удов летворяет тем же условиям, что и К(х), поэтому для него спра ведливы те же утверждения, что и для К (с теми же оценками). Поэтому в силу (30)

с211/11р = 11 П 7 | | Р < Л , | | 7 Н .

Тем самым следствие доказано при А' = Ар/с2. Это следствие можно применить, например, к сингулярным интегралам из § 4; тогда требуемое условие заключается в том, что мультипликатор т(х) имеет постоянную абсолютную величину, например случаи,

когда Т—гильбертово

преобразование, К{х)—-~^-

и щ(х) =

= i sign х. Обобщение этого замечания будет дано ниже в § 6.6.

Дальнейшие результаты

6 . 1 .

Пусть

К (х)

" y j " p r

удовлетворяет условиям

теоремы 3

Q Ф

а)

Если

f e L ^ R " ) ,

0, то

Tf<£U(Rn)

при f Ф 0. Указание:

m(x)f(x)

не может быть непрерывной в 0, поскольку т(х)

однородна

степени

и непо

стоянна

и f (0) >

б)

Существует

непрерывная

функция

/, равная нулю вне единичного

шара

и такая, что

функция

T(f)

неограничена

вблизи

каждой

точки

из

В.

6.2. а)

Если Ар

есть

константа

в LP-неравенстве для

оператора

Т в

теоремах

1, 2 или 3, то Ар

для

1 <

2 и Ар

Ар

для 2

р <

(см. заме

чание в конце § 4 гл. I ) .

б)

Если

/ имеет

носитель

в шаре В

и функция

|/|1п(2+

|/|)

суммируема

на В, то функция Tf также суммируема на В.

в)

Если

функция

ограничена

и ее

носитель

содержится

в В,

то

функция

g o | r f | С

у М

М И

р у е

м а н

при соответствующем образом

подобранном

числе

а >

Указание:

запишем

J* e a

' r f l йх

||Г/||"

и используем

пункт

а ) .

г) Такой же результат справедлив для максимального оператора Т* из тео ремы 4. (Об этом см. у Кальдерона и Зигмунда [1] и в книге Зигмунда [8], гл. X I I . )

6. Дальнейшие

результаты

6.3.

Пусть

(77)

(*) =

lim

[

(х, у) f (у) dy, где | К (х, у)

- * о

I х— у Г

8-»0

•>

\х-у\>е

Предположим,

что оператор

Т ограничен

L P ( R U

) .

Тогда

оператор

Т ограничен

в пространстве

L?(RN)

мерой

\x]adx

(вместо

dx),

где —п <

а <

п(р—1)

(см.

Стейн

[2]);

отсюда

легко

получить

такой

же

результат

для

меры

(1 +

\x\)*dx.

6.4. Описываемый ниже подход связывает

воедино

теорию

максимальных

функций, теоремы о дифференцировании

из гл. I и многое из теории сингулярных

интегралов, изложенной в данной главе. Пусть

функция L(x)

суммируема

на R" ,

и пусть L(x)

О при \х\ >

\L(X)

dx =

•( 0

и"

f \L(x-y)-L

(x)\dx^B\y\.

*=/

Для каждой

пары i

и /

определим

Л*. /

формулой

L i , / (х) =

2nkL

(2kx).

Запишем

7";, jf —

Тогда

если

T J =

sup | Ti, jf (x)

k=-i

j * f.

|, то справедливы сле-

дующие

утверждения.

а) Отображение f->-T*f

— слабого

типа

(1,1).

б) Отображение f-*-T*f

ограничено

на L P , 1 <

р <

оо.

в)

Если / <= L P , 1 ^ р <

оо, то

li m Т{, jf

существует почти

всюду, а

также

1->оо

в смысле L P , если

1 <

р.

/->оо

Приведем

два интересных

примера:

L(x)

1 — 2 П

при

|х| ^

при

1 ^

|х| ^

нулю

остальных

случаях.

Тогда

{TL

of) (х)

= 2~nl

f (х

— у)

—

2п

1 ( х - у) dy.

|SH<2' + I

\У\<1

L (x)

при 1 <

I x I ^

2 и нулю

в остальных

случаях.

Тогда

I х |

( 7 Y / f ) ( * ) =

Ш . П х - у ) й у .

2- '<|j,|<2/ + I

(Подробности

см. у Котляра [2].)

6.5. а) Пусть

у' — единичный

вектор

в R". Определим гильбертово пре*

образование

в направлении

как

lim H^)(f)(x),

где

е-»о

(/)(*)-

f(x-y't)

y '

[f(x-y't)-f(x

+ y't)]

x -

) d t

= =

64			Гл.	It.	Сингулярные			интегралы
Тогда	\НуН\р<Ар1\П\р		для		f е= V		( R " ) ,	1 < р < о о , где Л р		не	зависит от
и е.
б)	Пусть	функция	Q (у')		однородна степени				0, суммируема	на	единичной
сфере	S ™ - 1	и нечетна,	т. е. Q (у')			= — Q (—		(/')•	Пусть
		г* (/)(*)=				J	- ^ - / ( * -
Тогда
			Ге	=	1	J	fi(/)flWrfo(/)
					s	n - l

н, следовательно,

в) Если

Q — четная функция, то

верен похожий,

но

более

сложный

резуль

тат. В этом.случае требуется, чтобы

функция

| й (у')

| In (2 +

IЯ (у')\)

была сум

мируема

на

S " - 1 .

г) Поведение Te(f)

при J E L ' I R " )

для

рассматриваемых

здесь

общих

функ

ций Q пока не изучено.

Подробнее относительно а ) , б) и в) см. у Кальдерона и Зигмунда

[3]. Эта

часть

теории

представлена также в книге «Анализ Фурье»,

гл. V I , в

несколько

менее

общем

виде.

6.6. Пусть

функция

пг(х)

однородна

степени

0 и

непрерывна

на

S n _

1 .

Для

f e L !

( R " )

определим

следующим образом:

(Tf)

(х) =

m(x)f

(х).

Предполо

жим,

что IIГ(/) Hp ^

Ap\\f\\P

при

f е

L 2 (] L " для

некоторого

р,

1 <

оо.

Если

\т(х)\^

О, то

llfllp

ВрЦГ/Нр. (См. Кальдерой

Зигмунд

[4],

Хёрмандер

[1], Бенедек, Кальдерон. Панцоне [1].)

6.7.

Пусть

Т — гильбертово

преобразование

(1)

%я — характеристическая

функция подмножества конечной меры Е из R1.

Тогда

функция

распределения

функции

Т%Е

зависит только

от

меры Е;

точнее, если

обозначить

эту

функцию

(Е)

распределения

через

к(а),

то Я ( а ) =

— : — £ — . (См. Стейн и Вейс [1].)

6.8. Как

уже было

указано,

растяжение * - > - е л г =

(ехи

ех2,

е х „ )

играет

важную роль в этой главе. Справедливы модификации многих результатов этой главы, когда эти однородные растяжения заменяются на неизотропные растяже-

ния,

т. е. x->z°x

xlte

гх2,

. . . , е пхп),

где

at, а%,

ап — положитель

ные

фиксированные

показатели

е >

Тогда

операция

над

ядром.

К{х)-+ гпК(ех)

заменяется

на

К(х)-*- г"К{г

° х),

где

а =

at + a 2

+ . . .

+ a „ .

Подробности см. у Джонса [1], Фаба

и Ривьера [1], Крэ

[1] и Бесова, Ильина и

Лизоркина [1].

6.9. Пусть преобразование Т

ядро К(х)

= -.—щ-,

такие же, как в тео-

реме 3. Предположим, что 0 <

1 и что / — непрерывная

функция с компакт

ным носителем, удовлетворяющая

неравенству

\1(x+t)-Hx)\<A\t\*.

Тогда, если g(x)

— T(f),

то

t) — g(x)

| ^

B\t\a.

(Указание.

Если

функ

ция Q достаточно гладкая, доказательство «элементарно».)

См. Привалов [ 1 ] ,

Кальдерон и Зигмунд

[2] и, в

общем

случае,

Тейблсон { ! ] .

§ 6. Дальнейшие

результаты

6.10.. Пусть Q — однородная

функция

степени 0, суммируемая

на единичной

сфере, и

Г Qda

Предположим, что sup

Г \Q,(r(x'))

— Q (х')

|do"<co(6),

I г |<в J

) db

„

причем

а (б)dd

оI

оо. Здесь /• обозначает вращение

вокруг начала

кворди-

нат, а |г|—расстояние от единичного вращения, измеряемое в любой

гладкой

римановой

метрике на группе вращений.

Тогда

а)

| Q | l n + | й | do<

оо и, следовательно, можно

применить/, р - теорию из

s n - l

§ 6.5.

б)

Если

К М

J j p r .

то

| К (х -

у) -

К (х) | dx <

и, следо-

\х\>2\у\

вательно, применима также L'-теория из § 3.1. (См. Кальдерой, Вейс и Зиг мунд [1].)

6.11. Небольшое изменение в доказательстве § 3.3 позволяет получить следующее утверждение. Пусть К, (х) — заданная функция, удовлетворяющая следующим предположениям:

\x\\K(x)\dx<BR,

Q<R<ooi

[ * l < «

j "

\K(x-y)-K(x)\dxKB;

\x\>2\y\

j "

К (x) dx

B ,

0 < # 1 < # 2

< о о .

Ri<]x\<R2

Пусть

Кг, ц(х) = К (х),

если е < [ х | < г\ и Ке,

i\ (*) ет

0 в

противном

случае.

Тогда

| Ks,

•ц (х)

I <

СВ,

где С не

зависит

от 8 и

т]. (См. Бенедек,

Кальдерон и Панцоне [1].)

6.12. Пусть

функция f

ограничена и имеет ограниченный

носитель.

Пусть

р (f)(x)=

J" f (х — y)\y\~n+a+it

dy, a>0, s =

a +

lt. Тогда для л ю б о г о в > 0

R™

/ * ( / ) ( * )

j "

{f(*-y)-fW}\yrn+s

dy+

f(x-y)\y\-n+s

а>п-1{83/8)}(х).

Это показывает, что если t^O

и f s

С 1 , то существует / " / (л:) =

l i m I

+ t t

(f) (х).

Наконец мы можем

применить рассуждения

§ 6.11 для ядра К (х) =

\ х

\~n+it

и теорему 1 данной

главы. Тем самым мы докажем, что оператор

/->/е'(/)=

f(x-y)\yFn+itdy

3 И. Стейн

66	/ л .	// .	Сингулярные			интегралы
ограничен в V	( R " ) , 1 < р < ° ° ,		равномерно			по е. Выбирая		подходящую после
довательность	е, с х о д я щ у ю с я		к	нулю	(т. е. такую, что e l t - > 0 для каждого
фиксированного	t Ф 0), получаем,			что I й может			быть расширен до ограничен
ного оператора	на L p (R™),	1	< р < о о .		М о ж н о		проверить,	что, применив рас
суждения § 3.3 гл. I I I , мы		получим

(/" (f)f <*)-?„, „|* Г"/(*).

где

v	_Лп,2-и		T(it/2)
V ° . "	*	Г (п/2 -	it/2)'

О б относящихся с ю д а результатах см. Макенхаут [1] .

6.13.

Пусть

Ki (х) =

^ ' ^ j n

и Кг (*) =

У Т

д в а

я Д Р а

т и п а >

Рас

смотренного

§ 4,

определенные

соответственно

для Rn

и Цт.

Определим

на

L P ( R n + m

)

преобразование

f->Te<u(f),

где Г е > а

Г' ®

^ i ( y ' )

U ! l > e

< n M _ f М П * - * v .

Оператор

Г е

можио

определить как произведение

оператора

Г ] , действующего

на

первые п

переменных,

и оператора т\, действующего

на последние

m пе

ременных

функций,

заданной

на

n + m .

а)

Если

/ < = Z . p ( R n + m ) ,

то

li m Те, a (f) (*) — Т ({) (х)

существует

почти

е->0

всюду

и в смысле

где 1 <

в-»о

р < оо. (См. Сокол-Соколовский [1] и Котляр [1].

последней

статье,

однако,

доказательство

для случая

L In L

проведено

не

четко.)

б)

Имеется

похожий,

но

более

тонкий

результат,

который

верен,

если f

принадлежит

классу

L I n L . Случай,

когда

Ti и Т2

— одномерные

гильбертовы

преобразования,

рассмотрен

Зигмунда [3]; в его методе,

правда,

используется

теория

функций

комплексного

переменного. Общий

случай

см. у Феффермана [2].

6.14. Пусть

К — обобщенная

функция

компактным

носителем,

равная ло

кально

интегрируемой

вне нуля

функции,

пусть

ее

преобразование

Фурье R

есть функция. Предположим,

что для фиксированного

0, 0 ^

9 <

1, мы имеем

| / Ш 1 < Л ( 1 + | * | Г " е / 2 ,

\K{x-y)-K{x)\dx*ZA.

i*l>2|j,i«-e

Тогда

преобразование

f-*-K*f,

определенное

вначале

на множестве

функций

из

С°° с компактным

носителем,

может быть

расширено

до преобразования

сла

бого типа

(1.1) и ограниченного

1 <

р <

оо

(Фефферман [1]). Примером

является

оператор

li m

К (у) f (х — у) dy, где К(х) —

\х\'п

exp

{i|*|~Y},

Y > 0.

Это

тесно

связано

мульрпдикаторными

преобразованиями,

описан

ными ниже в § 7.4 гл. I V ,

Замечания

§ 1. Подробное	изложение материала, описанного			в	данном		параграфе,
имеется в книге «Анализ Фурье», гл. I . Исследование с				точки		зрения	абстракт
ных локально компактных		групп см. у Рудина [1] и	Хьюитта		и	Росса	[г].
§ 2—5. Впервые	эти	вопросы рассматривались	(в	одномерном случае) ме

тодами теории функций комплексного переменного. Подробности см. в книгах Зигмунда [7], гл. V I I , и [8], гл. V I I , там же можно найти и исторические ссылки. Применение теории функций действительного переменного к изучению гильбер товых преобразований восходит к Безиковичу [1], [2], Титчмаршу [1] и Марцинкевичу [1]. Представленная здесь л-мерная теория берет начало в работе Каль-

дерона и	Зигмунда [1].	Дальнейшее	развитие она получила	в	работах:	Котляр
[2], Стейн	[3], Хёрмандер	[1], Шварц	[1], Бенедек, Кальдерон	и	Панцоне	[1] и др.

Читатель может обратиться также к обзорным статьям Зигмунда [5] и Кальдерона [7].

Глава I I I

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РИССА, ИНТЕГРАЛЫ ПУАССОНА

И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ

Читателю, добравшемуся вместе с нами до этого места, при шлось иметь дело с некоторыми сугубо техническими аспектами теории. Ему пришлось карабкаться шаг за шагом по областям сухим и бесплодным. Можно вполне понять его, если он не раз уже терял охоту читать дальше.

Целью настоящей главы частично является подбодрить чита теля, мы проследим вместе с ним уже пройденный путь. В то же время мы воспользуемся случаем и введем некоторые понятия, не

обходимые для		дальнейшего.
Стиль	изложения		в этой	главе будет,	естественно, отличаться
от стиля	первых	двух	глав.	В частности,	основное ударение будет

сделано на важные формальные стороны теории и будут детально изучены некоторые важные примеры. В основе этих формальных аспектов и конкретнх примеров лежат два соображения, которые мы сейчас кратко опишем. Во-первых, ясно, что группа вращений, действующая на R™, должна играть центральную роль в гармони ческом анализе в Rn , наряду с группами переносов и растяжений. Если рассмотреть с этой точки зрения простейшие нетривиальные «инвариантные» операторы, то мы придем к преобразованиям Рисса. Второе соображение — это тесная связь классического гар монического анализа (для R1 ) с теорией функций комплексных переменных. Попытки распространить ее, насколько это возможно, на R" с помощью теории гармонических функций снова приводят

кпреобразованиям Рисса.

§1. Преобразования Рисса

1.1.Мы начнем с нескольких замечаний, касающихся преоб разования Гильберта:

Очевидно,	мы рассматриваем случай		R1 с
Из формулы ( 2 6 ) §		4.2 предыдущей	главы	непосредственно	сле
дует, что	в терминах	преобразования	Фурье	(Hf)~ (х) = т (x)f	(х),

	§ 1.	Преобразования	Рисса				69
где	мультипликатор т{х)	задается формулой			т(х) =	i s i g n x .	От
сюда ясно, что преобразование Я унитарно				на	L 2 ( R ' )	и Я 2 = — / .
	Обратимся теперь вновь к оператору			растяжения		(x&f) (х) —
=	f(bx); в случае одного	переменного	этот	оператор удобно			опре

делить для всех ненулевых б, как положительных, так и отрица

тельных. Очевидно, что при б >				О
				f	{Ьх-Ьу)
	е_>0	п	j		у
	е' -»0	л	•>		У
			\У\>г'
т. е. Ят 6 == т 6 Я .	Точно	так же		очевидно,		что т 6 Я =	— Я т 6 , если
б < 0.
Эти простые	соображения об				«инвариантности»		относительно
растяжения и очевидная			инвариантность			относительно переноса

на самом деле полностью характеризуют гильбертово преобразо вание.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

Предположим,

что оператор

Т ограничен

L 2 ( R * )

и удовлетворяет

следующим

условиям:

а)

Т коммутирует с

переносами;

б)

коммутирует

положительными

расширениями;

в)

Т антикоммутирует с отражением

/ ( * ) - > / ( — х ) .

Тогда

Т отличается только

постоянным

множителем

от

преобразо

вания

Гильберта.

Доказать

это

нетрудно. Поскольку

оператор

коммути

рует

переносами, то, согласно предложению из § 1.4 предыду

щей главы, существует ограниченная функция пг(х),

такая,

что

(Tf)~

(х)~

m(x)f

(х).

Обозначим через

&~ преобразование Фурье

gr\ =

Тогда

оо

($~г6П(у)=

e^yf{bx)dx

— оо

оо

1 6 Г 1

e W * /

(х) dx =

\ 6> Г 1

(т 6 - <#7) (у);

— ОО

таким

образом, &гх& =

\ б | - 1

Определение мультипликатора можно символически записать

так: ЗГТ =

т&~ (где

под

т мы

понимаем

оператор

умножения

на т\). Далее, предположения б)

и в) можно

записать так: Тх&

= sign (6)х6Т.

Подставляя

эти

равенства

вышеприведенные

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 357 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ