Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

220

Гл. VI. Продолжения

и следы

производная б;- остается ограниченной (см. утверждение б) тео ремы 2) и

со		со				оо
J"	гр(Я)с?А= 1,	J А.гр (Л) с/Л =			0,	\|	Я2гр(Л)^Я = 0,
1		1				1
то сумма	первых трех	слагаемых		в правой части сходится к
				d2f
		lim		—	L	(х,	у).
		(х, y)<=D	у")	дх,
		(х, у)-ИЛ	у")	'

Трудность с последним слагаемым в том, что оно содержит производную от регуляризированного расстояния б* порядка выше первого, которая уже не является ограниченной. Однако мы мо жем написать

fy (х, У + Я6*) =

= fy (х, z/ + 6*) + (Я - 1) дЧуу (х, у + б*) + О ([(Я - 1) б*]2 ).

Подставляя это равенство в последнее слагаемое, мы получим два новых интеграла, которые обращаются в нуль, и остаток, который имеет вид

		О	^ j 6 l j	X j	J	(Я — I ) 2 Аа\|) (Я) dlj .
Далее,		г[з быстро убывает,		поэтому в силу теоремы 2 всё выраже
ние есть 0 ( 6 * ) - > 0			при (х,	у)	->(х°, у0).
	В заключение		заметим,		что	поскольку функция /	непрерывна
(и ограничена) вместе со				всеми своими частными производными в
D,	то же самое можно _сказ_ать					и о функции 6 ([} в Z5_, причем f
и	@ (/)	совпадают	на D Г) D-			вместе со всеми своими	производ

ными. Отсюда следует, что ©(/) eEC°°(Rn + I ), что означает, что два

куска	функции	(Е (/), отвечающие D и D- соответственно, склеи
ваются надлежащим образом. Докажем это,				показав		сначала,	что
(£(/) есть функция класса			С1. (Непрерывность		функции ©(/)		уже
была	доказана.)
Нам надо показать, что
	&(f)(u)	— ®(f)(v)==(u	— v)-(Vu(f))(u)	+	o(\u —	v\)
для любой точки v £= R r a + 1			при и -> v. Здесь		нечего	доказывать,

если v принадлежит D	или D-.	Предположим поэтому, что v		ле
жит на (общей) границе этих двух областей. Пусть			и GE £L;	рас
суждения, когда и е б ,	полностью аналогичны. Мы		утверждаем,
что v и и могут быть соединены		ломаной, которая, за	исключением
точек У и а, лежит полностью в D~, причем общая длина этой				ло-

§ -3. Теорема продолжения	для области с минимально	гладкой границей 221
маной не превышает	c\v — и\. Действительно,	существует точка

w £= D _ , такая, что отрезки, соединяющие v с w и w с и, образуют искомую ломаную. Для нахождения такой точки w заметим, что

или и £= Г - (У) (тогда мы можем взять w =								и), или конусы			Г - ( У )
и Г_(и) должны			пересекаться. Ближайшую					точку	из	этого	пере
сечения и можно взять в качестве w. Теперь,
S	(/) (и) -		е	(/) И =	(и -	w) (Vd/) («))•+ о (\| а -				а» \|),
е	(/) и	-	е	(/) (у) =	(ш -	о) (V®/) и		+ о (\| w -		у \|).
Складывая	эти	равенства			и используя		тот	факт,	что	(v®f) (w) —
— (V®/) (и) = о (1) при \| ы — у \| —v 0 в D,							получим требуемый				резуль
тат. Аналогично			показывается,			что Щ е	Ck	( R n + 1 )	для	любого k.
Следующий		шаг		состоит в		доказательстве неравенства					(25),

которое мы получим, доказав сначала соответствующее неравен ство для произвольного фиксированного х, а затем интегрируя то,

что получится по		х.
Рассмотрим сначала случай k = 0. Зафиксируем									х° и предполо
жим	(для удобства		записи), что (р(х°)			=	0.
Тогда
			оо
	\Щ(х°,	y)\<A\\f(A		у +		Х6*)\^-,			у<0.
Мы,	конечно,	используем		то,	что		[ \p (X) \| ^		А/Х2.	Поскольку
б* ^ 2 (ф (х) — у),		то в нашем случае б* ^ 2 [ у \|. Кроме того, ф (х) — у
не меньше расстояния от (х, у) до D, поэтому в рассматриваемом
случае б * ^ а \| « \| .		Положим		s = у + ХЬ* при				фиксированном у;
тогда	ds = dXw	записанное		выше	неравенство			принимает		вид
			со
	I ® (/) (*°, у)		\| < Л б * / / { х \		s)	(s -	у)'2 ds,		у<0.
			\У\
Следовательно,
				со
	1®(/)(*°,		у)\<Аа\у\	j \|/(x°,			s)\^r,	у<0.		(27)
				\у\	-
Тогда	из неравенства Харди			(см. приложение				А,	стр. 319) выте
кает,	что
	®<f)(x°,y)\pdy\			<A'[j\f(x°,				y)\pdy\		.
	V-to		/			\			J

222 Гл. VI. Продолжения и следы

Если теперь снять ограничение ф(х°) = 0

(мы

можем

сделать

сдвиг по оси у), то мы

получим

/ °°

\I/P

/ о о

у IP

\&(f)(x°,y)\pdy\

< Л

j O l ' d j ,

Возводя

обе части

в р-ю

степень

и интегрируя

по х°

Rn ,

по

лучим

неравенство

(25)

для

k =

Доказательство

при

к >

О аналогично. Рассмотрим,

например,

случаи

к =

2. Здесь

рассмотрение

производной

вновь

яв

ляется

характерным.

Первые три

слагаемых

в правой

части

(26)

исследуются таким же образом, отличие состоит в том, что теперь

мы используем неравенство	\|I\|)(A.) \| ^		Л/А,4, Я ^	1. Только	послед
нее слагаемое требует отдельного		рассмотрения.		Запишем
		у+и*
fy = fy(x°, У +	Ь')+	\|	fyy(x°,f)dt		(28)

У+Ь*

и подставим в (26). Интеграл, содержащий fy(x°, у + б*), обра щается в нуль в силу условия ортогональности, наложенного на \р, и нам остается оценить интеграл

оо t у+ Ш \

	\УГ1	И '	\|	\fyy(x\t)\dt\%-zd%.
	i	I	i /+6*		J
После перемены порядка интегрирования этот интеграл сво
дится к	рассмотренному		ранее	интегралу	(который	аналогичен
интегралу, стоящему		в правой части неравенства (27)); тем самым
случай к — 2 исчерпан.
Для	произвольного k,		если мы выполним дифференцирование
под знаком интеграла в (24), то				получим	производные	различных
порядков от f. Когда		суммарный		порядок	производной	от / мень

ше к (он может быть равен 1), мы записываем тейлоровское раз ложение для этой производной относительно точки (х°, у + б*) до порядка к с остаточным членом в интегральной форме и рассуж даем, как и выше.

Действительно, предположим, что порядок дифференцирования

функции / равен ко, причем			ко < k. Обозначим	через	g эту произ
водную от f порядка ко. Тогда мы запишем
g(x°,	у + К6)=\		^ ~ Т " Г 8	+
	+ - 1	\|	(xb*-t)l-l-§fg(A	y +	t)dt,
где к0 + I =	"	б*
где к0 + I =	к..

§ 3. Теорема продолжения

для области с минимально гладкой границей 223

Только интеграл даст ненулевой вклад, но он оценивается вы ражением

	и*
А(ХЬ*)1'1	д1 .	y + t) dt,
А(ХЬ*)1'1	•jf'gix0,	y + t) dt,

и дальнейшие рассуждения остаются теми же, что и раньше. Следует отметить, что во всех, этих выкладках, приводящих к

неравенству (25), область D влияет на получающиеся оценки только через свою константу Липшица М (из неравенства (22)).

3.2.4. Последний шаг доказательства теоремы 5' будет посвя щен тому, чтобы избавиться от наложенного на / ограничения: функция f е С°° в D и вместе со всеми своими частными произ водными непрерывна в D и ограничена.

Для этого рассмотрим неотрицательную функцию ц е C°°(Rn + 1 ), полный интеграл от которой равен 1 и носитель которой лежит строго внутри конуса Г_. Для любого е > 0 положим

т)е (и) = e ^ - ' r , (и/г) (и е= R r t + 1 )

/ . ( « ) = / / ( « -

о) % (v) dv,

где

f — заданная

функция

из

Li(D).

Заметим,

что

если

a e f l ,

то

интеграл

содержит

разность и — v е

D, так что он определен кор

ректно. Более того, поскольку

носитель т)е лежит строго внутри

Г_,

мы

видим,

что

интеграл определяет функцию /е (ы) в

некоторой

окрестности

множества

причем / е

там принадлежит

классу С°°-

Ясно также,

что

dUf

L P

ф)

дха

(D)

Следовательно,

(29)

Если теперь р <

оо, то, как

нам известно, / е - > / по

норме

Lpk(D).

При

р =

оо

достаточно более слабого утверждения: если

k^l,

то / „ - > /

по

L^_,-HopMe. (См. тесно

связанные-с этим

результаты

§ 2.1 и 6.2 гл. V.)

Положим

теперь

®е (/) =

6 ( / е ) ,

тогда, согласно

(25)

и (29),

II ®е

(/) Ь

(R «+i) <

Ak, п

(М)\\ f \\LP

(30)

Далее ясно,

что

||/е

— / е > |lLp

| ( D ) - > 0

при е,

е ' - » 0 .

Поэтому

(Se (f)

есть

фундаментальное семейство

в Lu-\ ( R r a + I ) . и е г

предел

также

удовлетворяет неравенству (30); это означает, что мы доказали

существование оператора	(Е = lim б е , являющегося расширением
оператора ®, определенного	первоначально на функциях класса С°°

224	Гл. VI. Продолжения и следы

на D. Это, очевидно, и есть искомый оператор продолжения, удо влетворяющий неравенству (25'). Теорема 5', таким образом, доказана полностью.

3.3. Общий случай. Завершив рассмотрение случая специаль ной липшицевой области, вернемся снова от R n + 1 к Rn . Будет удобно также слегка изменить нашу терминологию, считая об ласти, получающиеся из специальных липшицевых областей путем поворота, также специальными липшицевыми областями. Понятие константы Липшица для таких областей определяется очевидным образом и, конечно, инвариантно относительно поворота.

Пусть теперь D — открытое множество в R" и 3D — его гра ница. Мы будем говорить, что граница 3D минимально гладкая, если существуют такие Б > 0, целое число N, число М > 0 и по следовательность Ui, U2, • • • , Un, . . . открытых множеств, что 1) если х <= 3D, то В(х, в ) с ( / ( для некоторого i, где В(х, е) —

шар с центром в точке х радиуса е;

2)никакая точка из R n не содержится более чем в N открытых множествах £/,•;

3)для любого i существует такая специальная липшицева об ласть Di с константой Липшица, не превышающей М, что

U{C]D =

Utr]Dt.

Некоторые примеры указанных выше множеств таковы.

ПРИМЕР 1. Пусть D — ограниченная область в R" с границей класса С1 . В этом случае достаточно конечного числа открытых множеств Ui.

ПРИМЕР 2. D — любое открытое выпуклое множество. Вновь достаточно конечного числа множеств Ui.

ПРИМЕР 3.		D c R ' и D = \Jlj ,		где I j — непересекающиеся				от-
крытые	интервалы. Условия		1 ) — 3 )		выполнены,	если	существует
б > 0,	такое,	что (длина	Ij) ^ б	и	dist (/j, h)	^ б	при / ф	k.

В этом примере понадобится бесконечное число открытых мно

жеств	Ui, если	самих, интервалов Ij бесконечно	много.	Условия
(длина	f j ) > 6 ,	d i s t ( / j , б являются также	и необходимыми.
Читатель может		легко убедиться, что условие (длина Ij) ^		б нуж

но, если надо получить ограниченное продолжение для b\, в то время как условие dist (/j, 1ъ)~^ б нужно для получения ограничен ного продолжения для Lf.

3.3.1. Мы докажем теорему 5, сведя ее к теореме 5' для спе циальных липшицевых областей. Рассуждения, однако, будут до вольно сложными.

Для любого множества U cz R™ и любого е > 0 положим UE = {х: В(х, e)czU}. Заметим, что Ue с : U и что условие 1) можно

§ 3. Теорема продолжения		для области с	минимально	гладкой	границей 225
переформулировать	так: ( J U \ dD.		Обозначим	через г\(х) фикси-
		i
рованную функцию	из	С°° на R" с полным интегралом			1, носитель

которой содержится в единичном шаре, и положим r\R(x) = e~nr\(x/e).

Предположим,		что %t есть характеристическая функция множе
ства Uf!i, и положим
Следующие свойства функций Я(- очевидны:
а)	каждая	из функций Я,- сосредоточена в С/,;
б)	Xi{x)—\,	если х е Us/2	и,	в	частности,	если л е С / \| ;
в) каждая		из функций Яг	е	С°°	и имеет	ограниченные произ

водные всех порядков; оценки для производных функций Я* могут быть выбраны независящими от i. (Они зависят только от L'-нормы соответствующих производных для T]g / 4 .)

Рассмотрим,

кроме того,

три

других

открытых

множества

покрывающих соответственно некоторую окрестность множества D

границу множества D и часть внутренности множества D, отстоя

щую

от

границы,

а именно множества

U0 =

[x:

dist (х,

D)<±}.

£/+ =

{ * :

dist (x,

< ? £ > ) < - ^ } ,

£ / _ = { x e D :

dist(x, dD)

>-j}-

Обозначим через %0,

и %_ характеристические функции этих

множеств и регуляризуем их, как это

было сделано выше, а именно

положим

Я0

* т]8 / 4 ,

Я +

х+ * чЕ / 4

и Я_ = х_ * ле / 4 - Очевидно, что

Я0 (х) =

1, если

J C G B ,

J , + (x) = l , если dist (х,

dD) ^ е/2

и Я_ (х) = 1,

если х е

D и dist (я, сШ)

Более того, носители функций Я0 , Я +

и Я_ лежат соответственно в

е/2-окрестности £), е-окрестности dD

и в

Эти

функции

также

ограничены на R" вместе со всеми

своими

производными. Положим

теперь

л +^ ЧяТ^хг)

л -^я °(я+ + я_)-

Мы

видим,

что функция

Я0 сосредоточена на множестве, где

Я + + Я _ ^ 1 .

Поэтому

у функций Л +

и Л_ также все

производные

ограничены на R", причем Л +

Л_ =

1, если х s D, и Л + +

Л_ = О

вне е/2-окрестности множества D.

Напомним

теперь,

что

открытыми

множествами

U2, .. .

..,

Uи

покрывающими

связаны

специальные

липшицевы

области

£),,

D 2 ,

D b . . . .

Обозначим через @( оператор про

должения для

Lk(Di),

свойства

которого

приведены в теореме 5'.

8 И. Стейн

226	Гл. VI. Продолжения и следы

После всех этих предварительных рассуждений мы можем наконец выписать искомый оператор продолжения ® для множе ства D. Для / е L p (D) определим

2 A , ( * ) ® W )

(Щ)(х) = А+(х)	J = I	+ Л_ ()/()•	(31)
	оо

(=1

Отметим следующие факты.
г)	Если х принадлежит носителю функции Л+ (более							общо,
если	dist (х, 3D) ^ е/2), то х е				f / f 2 хотя бы		для одного i,	и, та
ким	образом, для указанных				х	2 ^(*)^1.	(См. выше	свой
ство	б).)
д) Для любого х сумма				(31)		содержит самое большее		N + 1
не равных		нулю	слагаемых	(в силу условия			2) относительно		по
крытия		{U{}).
е)	Слагаемое		A~(x)f(x)	корректно определено, поскольку					но

ситель функции Л - содержится в D.

ж) Слагаемые .®*(Xif) корректно определены, поскольку функ

ции Xif определены в специальных липшицевых							областях D{.
з)	Очевидно, что (@/) (х) = f(x)				для x e D .
Для того чтобы доказать основное неравенство
		1 \| е ( / ) 1 1 4 И < 4 , „ ф ) 1 1 / 1 1 ^ № ) ,				f&LUD),		(32)
нам	понадобится следующее замечание.
						00
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Предположим,				что А (х) = 2			сц (х) и для	каж-
						(=1
дого	х самое	большее	N слагаемых		{а,- (л;)}	отличны от нуля.		Тогда
		II А (х) \|\|р	< Л ^ 1 ' " (21\|	at	(х)\fpyp,		р<оо,
		U(x)L<Nsup\\at(x)L,				Р = °°-
СИМВОЛ			i			LP-норму. Случай L°°,
СИМВОЛ		!!• \|\|р обозначает стандартную				LP-норму. Случай L°°,
равно как и случай L 1 , тривиален. Общий						случай не намного		труд
нее;	искомое	неравенство следует		из того, что
		\A(x)\p^Np-l^\ai(x)			2 = 0	Г,
					2 = 0

что в свою очередь есть очевидное следствие неравенства Гёльдера.

Докажем сначала (32) при & = 0. Используя свойства а ) — в ) функций Х{, а затем свойства г ) — з ) , предложение и случай

Дальнейшие

результаты

227

k — О теоремы 5', мы получим при р <

оо

II в/

11 <

Л / ' ~

/ р

I <S' (Kf)

dxJ

+ ^\f(x)f

dxJ

<ANi-i'p(^j\XtffdxJP

^\f\''dxJP<

< A N ^

\ f

J p +

^\frdxJpt

так как

(2 я/),/р

W I /

P .

Аналогичные рассуждения проходят и при р = оо. Этим дока зано (32) при & = 0. Очень похожие рассуждения работают и при любых k, поскольку любая наперед заданная частная производная функций Яг, i — 1, 2, . . . , Л+ и Л_ равномерно ограничена. Тем самым доказательство теоремы 5 завершено.

§ 4. Дальнейшие результаты

В следующих ниже § 4.1—4.5 рассматриваются следы (сужения) функций из

S'J

( R n )

на линейных

многообразиях.

4.1.

Пусть

f — локально

суммируемая

на

R n

функция. Мы

будем

говорить,

что

функция f

может

быть

строго

определена

точке х°, если

существует

f(x°-t)dt;

(BR)

е_>0

здесь B e

— шар радиуса

центром

начале

координат. В

этом

случае мы

переопределяем

(если

это

необходимо)

функцию

/, предписывая

ей это значение

в точке х". Если так сделано в каждой точке, где это возможно, мы будем гово

рить,

что функция /

строго определена.

Таким

образом,

по фундаментальной

теореме гл. I каждая локально суммируемая функция может быть строго опре

делена, причем после этого она совпадает

с исходной функцией почти всюду.

При

изучении следов

функций

из 3?%

важную

роль

играет следующая

лемма.

Л Е М М А . Пусть

f e f j l

f ) ,

f =

G a * ( p ,

гдеа>0,

1 < р < о о .

Пусть,

далее,

Xй —точка,

для

которой

интеграл

Ga(x

— /) <p(t) dt =

f(x),

представляю'

Rrt

щий

функцию

сходится

абсолютно.

Тогда

при

в->0

пг(ВЕ)

Таким образом, функция f может быть строго определена в точке х°.

4.2. Рассмотрим линейное /«-мерное многообразие-.в пространстве R". Без потери общности можно считать, что это есть подпространство R m пространства R " , состоящее из точек, у которых первые m координат произвольны, а послед-

228

Гл.

VI. Продолжения

следы

ние

п — т

координат равны

нулю. Предположим

теперь,

что

а >

(п — т)/р,

1 ^

Р ^ 0 0 ,

и / e S ' J J R ' 1 ) ,

Тогда функция f

может

быть строго

определена

во

всех

точках

подпространства

R m , за исключением

подмножества

в R m

m-мерной

лебеговой меры нуль. Если мы обозначим этот

след (сужение)

через

91(f),

то

31(f)

s L P ( R m ) , причем

отображение f-*

91(f)

из 3?ра (Rn)

L " ( R ' n )

непре

рывно, т. е.

l l ^ l l L , ( R m ) < ^ l l f l l ^ ( R „ ) .

4.3. След 32 ( f ) , описанный выше, принадлежит не только к L p ( R m ) , но и к не которому подходящему Л-пространству. Более точно, пусть В = а — (п — т)/р > О

и 1 < р < ° о .

Если

/ e ^ ( R " ) ,

то

& (f) <= Afr р

(Rm)

и отображение

f - > 91 ( ^ н е

прерывно, т. е.

i i ^ / ) i i A r ( R m ) < ^ m ^ ( R n ) .

4.4. Утверждение,

обратное

сформулированному

4.3,

также

выпол

няется. Таким

образом,

множество

следов элементов

пространства

3?£ (R" )

на

точности

совпадает

с пространством

Л^'р ( R " ) ,

где

В =

а — ( п — т)/р.

Мы

дадим

явную

формулировку

обратного

утверждения

случае

т =

п—1.

Пусть ф есть фиксированная функция класса С°° на

R " - 1

компактным носи

телем,

такая, что

j "

cp(x)dx=l.

Пусть,

далее, г\ — фиксированная

функция

Rrt-I

класса С°° на R' с компактным

носителем,

такая,

что г| (0) =

1. Для

любой

локально суммируемой

функции

на R " - 1 рассмотрим ее продолжение

на

R n

задаваемое следующим

равенством:

(Ef)

(х,

у) -

г, (у)

J f(x-yt)<t(t)dt,

( ^ « / ( в Г - ' х д ' - Г .

R n - i

М о ж н о

показать, что

если

/ г

р ( R n _

1 ) ,

то E f e ^ ( R " )

| Е ( » | , 8 ( Л < ^ ' | л | . р ( , - У

Здесь предполагается,

что 6 = а — 1 / р > 0 .

Более точная форма этого продолжения такова. Пусть

k — наибольшее

целое

число, не превышающее

В. Обозначим

через

r\Q(y),

r)f e (i/) функции

класса

С°°

на

с компактным

носителем,

обладающие

тем свойством,

что

— у

i l / f j / )

= 6 / г , 0 < / , / < £ .

Предположим, что

f (

e A p ^ ( R " " ' ) , 0

< / ' < £ .

Положим

F(x,y)

= Yi4i{y)

fi(x-yt)v(t)dt.

/=о

R « - i

Тогда

f e= S£l

( R r e ) ,

I П ,5. 0 r t < " ( g l ' / l # < « - - , >

§	4.	Дальнейшие		результаты	229
fl М >	/' =	0	К	где 91 обозначает след на	гиперплос
кости у = 0. О приведенных	выше		результатах см. Стейн [7] и более		поздние ра

боты Ароншайна, Муллы и Шептыцкого [1] и Лизоркина [2]. Основой для этих

результатов		послужили	работы Гальярдо [1] и Ароншайна и Смита [ I ] 1 ) -
4.5.	Аналогичные		результаты		имеют	место	и для		пространств		Л £ ' 4 ( R " ) -
Если а > (п — m)lp, то след элемента из Ар-						q (Rr a ) на		R O T принадлежит А^' 4 ( R m ) ,
Р = а — "		™ . Обратно,		всякая	функция	из АР'	4	( R m )	может	быть	продол
жена на	R"	так, что	она	будет	элементом пространства A ^ ,					I 7 ( R " ) ,	П о д р о б

ности см. в работах Бесова [1] и Тейблсона [2] .

4.6. Пусть

со ( б ) ,

0 <

б, — регулярный

модуль

непрерывности,

определенный

в § 2.2.3 выше. Для любого замкнутого множества F

любого

неотрицатель

ного

целого

числа k

определим

пространство

Lip(£ +

<o, F)

так же, как и в

§ 2.3

(формулы

(16)

(17)),

отличие будет

только в

том, что

условия

на

теперь таковы:

\Rj

(х,

y)\^M\x-y\k-l"co(lx-y\).

Тогда

оператор

& ь.

осуществляет

продолжение

функций

из

пространства

Lip (А +

со, F)

до

функций

из пространства

L i p ( & +

со, R " ) .

4.7. В

теореме

продолжения

из § 2.3 предположим,

что у =

k и, кроме

того,

/?,(*, |/) =

o ( U - y | * 4 / l )

в том смысле, что для любого i s f

и любого

е >

0 существует

такое

б >

О,

что

для

x,y&F,

удовлетворяющих

неравенствам

\х— * | < б ,

\х — у\<Ь,

вы

полняется

неравенство

\Rj (х,

у) \ <

е | х — у

Тогда

&ь.(])

Ch(Rn).

Именно

так выглядела

первоначальная

теорема

продолжения в работе

Уитни [1].

4.8. Первая

теорема

продолжения

для

функций

из

Lpk(D),

где D — множе

ство вида, рассматриваемого в § 3, была доказана с помощью

следующих

рас

суждений.

Давая набросок этих рассуждений, мы ограничимся специальными

липиш-

цевыяи

областями

O c R "

(определенными в

3.2

для

R n + 1 ) .

Все, что

нужно

для

наших

целей, — это

следствие

из этого

определения.

Оно

заключается

том, что существует фиксированный конус Г, такой,

что

если

х е

то

х + Г с О .

Зафиксируем

теперь

k ^

остальной

части

наших

рассуждений.

Выберем

фиксированную функцию ср, сосредоточенную на — Г и

удовлетворяющую

сле

дующим

дополнительным

условиям:

ср имеет

ограниченный

носитель;

около

начала

координат

ср

совпадает

функцией,

однородной

степени — я -f- k:

3) ср — класса

С°° на R n

— {0}; 4)

lim

&п~ку

(ел:') da ( / )

ут

ггг (заме-

sn-l

тим,

что

ввиду

предположенной

однородности

функции

<р около

начала

ко

ординат этот интеграл на самом деле

постоянен для малых е) .

•)

случае

целых

a =

(5£\

аз L p k )

при р — 2 этот

результат

был

полу

чен

независимо

Ароншайном

[1*] и

Слободецким

[1*], [2*]. При р ф

2 этот

ре

зультат впервые в окончательном виде

получен

Бесовым

[1], [2*]; см. также

ра

боту

Успенского

[1*]. - - Прим.

ред.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ