Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

i30 Гл. IV. Теория Литтлвуда — Пэли и мультипликаторы

пипеды можно на самом деле заменить другими прямоугольными параллелепипедами, например такими, вершины которых имеют

координаты	и {Я}"!!»	вместо { -	2k}%z?oa	и {2}z!!0 0 >
где Я Й + 1 Д Й ^ г >	1 для любых k. Однако получаемые			таким об
разом результаты	не сильнее, чем	в двоичном	случае	(см. также

§7.10 ниже).

6.2.3.Более интересно сравнить теорему 6' с нашей первой теоремой о мультипликаторах, теоремой 3 и ее следствием. Оче

видно,	что	при п—\ теорема		6' — более сильная. Однако при
п ^ 2 они		лишь	пересекаются,	и ли одна из них не покрывает
другую.	Различие		при . п ^ 2	иллюстрируется простыми сообра^

жениями инвариантности. Так, класс мультипликаторов, рассмат

риваемый	в теореме	3,	инвариантен	относительно	растяжений
т(х)-+т(ъх),	е > 0,	и	относительно	вращений	т(х)—*т(р~1х).

Множество мультипликаторов из теоремы 6' не инвариантно от

носительно	вращений,		однако	инвариантно	относительно более
широкой	группы	растяжений		т(х)—>т(г°х),	где	(е'»х) =
= (>,,*!, е2х2,		enxn),x	= (xi	xn),Ej — независимые		ненуле
вые величины.

6.2.4. Однако в различных приложениях теорема 6', видимо, является более полезной. Например, для тех мультипликаторов, которые обычно возникают в эллиптических дифференциальных уравнениях (см. гл. I I I , § 1.3 и 3.5, а также § 7.9 настоящей гла вы) равно применимы обе теоремы.

Однако мультипликатор	у-~—5	5Y , появляю-
х , +	/ ( * , + * з + . . .	+х'п)

щийся в параболических уравнениях, попадает только под дей ствие теоремы 6'. То же самое можно сказать о мультипликато рах

\| *, Г11 хг Г2 ... \| хп	\а"	И] + а2	+ • • • + а„,

где <%j > 0, которые довольно типичны при изучении пространств дробных потенциалов (сравните с § 3.2 гл. V ) .

6.2.5. Наконец, обе теоремы имеют явные недостатки. Напри мер, это выясняется уже в связи с вопросами, рассматриваемыми в § 4.3. Видимо, необходима более глубокая теория, дающая до

статочные	условия принадлежности мультипликаторов	некоторому
Mv, р ф2,	причем такие, чтобы из них не следовала	принадлеж
ность всем	Мр, 1 < р < со. Для этой трудной задачи, наверное,

мало что подходит из известных приемов. Единственное, что на прашивается, это возможное развитие идей, связанных с функ циями g\.

6.2.6. Недостаточная широта условий теорем 3 и б' может быть проиллюстрирована следующим замечанием. Рассмотрим харак-

§	6. Теорема Марцинкевича о мультипликаторах					131
теристическую	функцию	произвольного	многоугольника		в	R".
С помощью тех же рассуждений, что и в теореме 4, мы можем						по
казать, что она	является	мультипликатором для LP,		1 <	р <	оо.
Но этот простой пример не подпадает под действие ни теоремы						3,
ни теоремы 6'.
6.3. Доказательство. Лучше всего будет доказать теорему						б'
для случая п =	2. Этот случай вполне типичен, и в то же время
мы избежим усложнения		обозначений.
Пусть f е= L	2 ( R 2 ) П L	" ( R 2 ) . Положим	F=TJ,	т.	е. F~ (х) =

=m(x)f(x).

Пусть		А обозначает	двоичные	прямоугольники;		для	любого
р е А	запишем fp=Spf,		Fp = SpF,	т. е.	Fp=Tmfp.	В силу тео
ремы	о	двоичном разложении (теорема			5) достаточно		показать,
что

Прямоугольники из А распадаются на четыре группы: прямо угольники, лежащие в первом, втором, третьем и четвертом квад ранте соответственно. Оценивая левую часть (58), рассмотрим прямоугольники каждого квадранта отдельно и примем, далее, что рассматриваемые нами прямоугольники лежат в первом квад ранте.

Выразим Fp с помощью интегралов, содержащих fp и опера торы взятия частной суммы. Возможность такого представления

является	важной	идеей		доказательства.
Фиксируем р;		пусть, скажем, р = {(*,, х2):						2 f e < x 1 < 2 4	+ 1 , 2l ^
< ! л ; 2 < 2 г +	1 } . Тогда		для	(лг,,л;2 )ер		получаем		тождество
m (хи	x2)~j		{	Э ' * ( а ' ; / 2 )	dtx	dt2+	j^-ni	(tlt 2') dtx	+
		2k	2l				2*
		+	J -щш(2\		t2)dt2	+	m(2k, 20.

Пусть теперь St обозначает мультипликаторное преобразо вание, соответствующее прямоугольнику 2 k < x l < t u 2l<x2<t2. Аналогично пусть S(/,' обозначает мультипликатор, соответствую щий прямоугольнику 2k < х{ < t{; так же определяется S<f. Таким образом, получаем St = Sty • Sf}. В этих обозначениях последнее

132 Гл. IV. Теория Литтлвуда — Пэли и мультипликаторы

тождество,

очевидно,

примет вид

2i+i

2k+\

2k+i

2'+I

Sf? -щ

m (2k, t2) dt2

m (2\ 2') S p .

(59)

Используем

теперь

то,

что SpTmf

S'/,', S?isp

= S%,

StSp

= St, а также

неравенство

Шварца

и условия теоремы. По

лучаем

F p P < 5 ' | { { | 5 f ( / p )

д2пг

||5^(fp)

d(m{h,

1 ))

Л 1 +

dti

dt2 dt,

dt2+

dt.

d(m(2\

t2))

dt2+

|/p

dt2

= 3P +

3? +

3P +

3P.

P =

/ i X / 2 -

(60)

Для

оценки

;2\'/2

оценим по теореме 4" из § 4.4 отдельно

вклад каждого из четырех членов правой части (60). Применяем

эту	теорему		к З р , причем Г в этом случае — первый				квадрант и
dy	=	д m (tu	t 2 ) I ^	ф у Н К Ц И И	y - > p Y	постоянны	на двоичных
		dt, dt.				прямоугольника
прямоугольниках. Так как для каждого						прямоугольника
				d2m (tu	t2) dtxdt2^B,
				dt,	dt2
то					S i	/ P i T
					S i	/ P i T

Аналогичные оценки получаем для %2, З 3 и 34> что и завершает доказательство.

§ 7. Дальнейшие результаты

7 . 1 .	Пусть Ru R2,	Я„ — преобразования Рисса. Тогда
а)	(g (/, *))2 = (г, (й W)2		+ 2 (г,	W)2;
			• i=i
б) г? (/)(*)< 2		(^/)	W)8.

/«=1

Дальнейшие

результаты

133

7 . 2 . а) Пусть

функция

<р непрерывно

дифференцируема

1) | ф ( * ) | < Л ( 1 + | * | Г п + в ;

2 )

< Л ( 1

при

всех

/ =

. . . , п;

»>

dXj

dxf

dx^A\tf

при

некотором

6 > 0 .

Определим

/ 8

(дс) =

f * фе , где

ф 6

(*)

е-"<р (лс/е).

Тогда

dfe

<АГ.

f<=LP,

р <

оо.

де

Если к

тому

же

/ СО

dfe

С\

О,

\о

дг

то

выполняется

обратное

неравенство.

Аналогичный

результат

верен

для

dx,.

. (См . статью

Бенедека,

Кальдерона

Панцоне

[1].)

б)

Примером

R 1

служит

F(x

F(x-t)-2F(x)

где

F (х) =

f(t)dt.

См. Марцинкевич

[ 2 ] , Зигмунд

[1]; по

поводу

обобщений

см.

также

Стейн

[3] и Хёрмандер [1] .

7 . 3 . Пусть Т — ограниченное

линейное преобразование

в V

( R R E ) ,

1 =^ р < ° ° ,

коммутирующее

со

сдвигами.

Тогда

существует

ограниченная

функция

т,

такая,

что

(Tff

(х)

= т(х)

f (х)

при

/ е= L

(]

Набросок

доказательства.

Поскольку

коммутирует

со

сдвигами,

то

(Tf)*g

T(f*g),

для

подходящих

Таким

образом,

Г/ * g

*Tg.

2 )

Пусть

l/p+\/q=\

принадлежат

L P ( R » )

П £

» ( R " ) . Тогда

свертки

f f * g

f *Tg

— непрерывные функции,

поэтому

они

равны

каждой

точке, в частности в начале координат. Следовательно,

(57)

(*)

8 ( -

x)dx=

(Tg)

(х)

f (-

х)

dx.

Обычными рассуждениями с использованием двойственности доказывается, что

оператор		Т	ограничен в	и	по	интерполяционной теореме (теорема 4 гл. I)
он	ограничен		также в ZA	Для окончания доказательства применим предложение
из	§ 1.4 гл. I I . См. также			«Анализ		Фурье», гл. I .
	7.4.	В § 7.4—7.6 приведены				интересные примеры мультипликаторов, кото
рые не могут быть исследованы					методами данной главы.

134 Гл. IV. Теория Литтлвуда — Пэли и мультипликаторы

Пусть пг(х) —функция в R " вида

m (х)

ф0

(х)

5-,

а > 0,

\°> > О,

+\x\*f

где

фо — гладкая

функция,

равная

нулю

окрестности

начала координат

и 1

для

достаточно

больших

х.

Примем,

что п

и а

не равны 1 одновременно.

а)

Если

1 7 2 — 1 / Н < 9 ,

то

т{х)<=М0.

Здесь

9 =

2Р/ага.

б)

Если

| 7 2

—

1/р | > 9 ,

то

т (х)

ф.

Жр.

исключительном

случае

(п—

1, а =

а')

при

р = = 0

т е ^ р

^ ф 1 < р < о о ;

б')

при

р > 0

т^.Мр

для

всех

р.

См. Хиршман

[ 2 ] . Вайнгер

[ 1 ] , Хёрмандер

[3], Стейн [8], Фефферман [ 1 ] .

7.5. Предположим,

что

функция

т (х)

J l

( R N

)

и непрерывна

каждой

точке

из R F E ,

fe<«

( R F T

рассматривается

как подпространство R " ) . Тогда след

т(х)

на

R * принадлежит

,'/Kp(Rk).

См. де

Лю [ 1 ] .

7.6.

Пусть

т(х)

(т1

*т2)(х),

где

( R " ) и « 2

e Z / ' ( R " ) ,

1 / / - + 1 / / - ' = 1 .

Тогда гаг е

J ? p , если | 7 г —

1 / р | <

1/г

и если

г < ! оо. См. Хан [ 1 ] .

7.7.

а)

Пусть

% в

— характеристическая

функция

единичного

шара

R " .

Тогда

v „ ^ i „ ,

если

или

если

2га

См. Херц [ 1 ] .

— — -

р ^ — — р .

/ 1 — 1

б)

Более

общо,

пусть

функция m ( x )

зависит

только

от радиуса,

пусть

« e i p ( R " ) ,

Тогда

если

р <

2га

или

2га

, ,

то

непрерывна

всюду

р >

„ _

п " + "

кроме,

возможно,

начала

координат.

2га

Указание.

Пусть

f e i ^ f R " ) ,

Р < 7 Г + Т

^ з а в

и т

только

от

радиуса.

Тогда функция / непрерывна всюду, кроме, возможно, начала координат. Для доказательства нужно использовать представление f с помощью интегралов Бесселя, как в книге «Анализ Фурье», гл. I V .

7.8. Рассмотрим вопрос о том, является ли функция

, .

( 1 - М 2

) 6

при

< 1 ,

при

| х |

мультипликатором

L P ( R " ) ,

Т. е. верно

ли,

что

ть

s.Mv.

Для

6 =

0 это

задача

А,

рассмотренная

выше

4.3

и также

в §

7.7. Из

вестны следующие

положительные результаты.

а) Если

б > | " 2

1 j 1 1 — 2 / p t , то т6 е

М р\

см. Стейн [ 1 ] .

б) Этот результат был существенно

улучшен Фефферманом [ 1 ] . А именно

ему

удалось

доказать, что

m^^JCv,

если п =

6 >

2 ( п — 1 )

| 1/р — 3 /4| и

1 eg р <

e/s.

Этот

результат

по

существу

неулучшаем

для

всех

1 ^

р < 6 /s-

Для

числа измерений га ^

имеются

аналогичные

неулучшаемые

результаты

при

1 <

р <

4я/(3п + 1 ) .

7.9. Пусть Р(х)—полином

степени k в R " . Предположим, что он эллипти

чен в том смысле, что его однородная

часть степени k не обращается в нуль

нигде, кроме

начала

координат. Пусть f — некоторая

раз

непрерывно

диффе-

Замечаний

135

ренцируемая функция в R " с компактным носителем. Тогда справедливо не равенство

\<р< оо,

при | а | =Sj k.

Указание.

Предположим,

что

qp (х) — гладкая

функция,

обращающаяся

в нуль в

окрестности

множества

нулей

оператора

Р и равная

1 вне

достаточно

большого

шара. Тогда

<р (х)

ха

удовлетворяет

условиям

теорем

мульти-

. .

\х)

пликаторах 3

или 6';

ха

( I — ф (х))

есть

преобразование Фурье

функции из L 1 и

xaf

(х) =

ха

(1 -

ф (х))

f (х)

+ ф (х)

.P(x)f

(X).

См. также § 3.5

гл. I I I и Агмон,

Дуглис и

Ниренберг [1] .

7.10. а) Условия

а)

б)

теоремы 6

эквивалентны

условиям

| m ( x ) | < B ' ,

sup

4 г

\x\\dm

(х) I

В'.

0<R

б) Какова аналогичная переформулировка теоремы 6'?

7.11. Можно

усилить

результат

теоремы

из

2.4 следующим

образом.

Пусть 1 <

р <

2 и р =

2 Л . Тогда

отображение

/ - >

(f)—

слабого

типа (р, /»).

См. Фефферман

[1].

Более

ранний

результат

(для аналогичной максимальной

функции) сформулирован в § 4.5 гл. V I I .

7.12. Пусть Г — ограниченный оператор в L P ( R " ) , 1 ^ р ^ оо, 3$ — некото рое гильбертово пространство. Тогда Т имеет единственное продолжение до


оператора 7"® / в LP (R", 3$),	обладающего тем			свойством,		что
(Т<8) I ) (Ф7(*)) = Ф -	Tf(x)	для всех		i p e « и		/ е У ( Г ) .
Более того, норма оператора	T0I	в	i . p ( R n , 5 # )		равна	норме оператора Т в
L P ( R " ) . См. Марцинкевич и Зигмунд			[1] и ЗигмунД		[8], гл. X V .


:'					Замечания
§	1. Классическая		теория		(с использованием		методов	комплексного		анали
за) изложена		в гл. X I V		и X V	книги Зигмунда [8]; там же			имеются	дальнейшие
исторические		ссылки.	Теоремы для ^-функций в				я-мерном случае имеются в
Стейн	[3]. Дальнейшие			обобщения		были даны Хёрмандером [1], Д ж .				Швар
цем [1] и Беиедеком, Кальдероном и Панцоне [1].
§	2. Функция g *		была систематически изучена Зигмундом [1]; относительно
и-мерного случая см.			Стейн		[6] и [10]. Подход,		описанный в § 2.1, взят из
Стейн	[10] (близкие		ему	идеи были		независимо	развиты	Гаспером	[1]). Этот

подход служит исходной точкой различных обобщений теории. См., например, Стейн [13].

§ 3. Первоначальная теорема Марцинкевича о мультипликаторах получена Марципкевичем [4] для периодического случая. Непериодические варианты этой

136	Гл. IV. Теория	Литтлвуда — Пэли	и	мультипликаторы
теоремы даны Михлиным [2], Хёрмандером [1]			и	Крэ	[1]. Формулировка теоре
мы	3 идентична с той, что	дана Хёрмандером,	однако		приведенное доказатель

ство с использованием сравнения функций g и g* отличается от доказательства

Хёрмандера и может быть приспособлено,

как

показано

гл. V I I , к

раз

личным другим ситуациям.

Общее

обсуждение

мультипликаторов

см. также

Эдвардса

[1].

§ 4—6.

Одномерный

вариант теоремы

имеется

Зигмунда

[8],

гл.

X V .

Приведенный здесь более общий вариант

действительности

является

просто

следствием

этого частного

случая.

Приведенное нами доказательство теоремы 6' является простой

модифика

цией принадлежащего

Марцинкевичу [4]

рассуждения

для периодического

слу

чая. См. также Лизоркин

[1], Крэ [1].

Глава V

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ВЫРАЖЕННЫЕ В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

В этой главе мы будем изучать дифференциальные свойства функций; эти свойства удобнее всего описывать с помощью спе циальных функциональных пространств.

Основным мотивом, побуждающим к изучению этих прост ранств, является широкое поле приложений: они являются полез ным инструментом при решении многих задач анализа. Многое из того, что мы будем делать в этой главе, подсказано уже разви тыми ранее идеями и методами. Фактически такие методы, как интерполяционная теорема Марцинкевича, применение гармониче ских функций, g-функция Литтлвуда — Пэли, являются суще ственной частью развиваемой ниже теории. Мы будем рассматри вать следующие функциональные пространства.

(1) Пространства	Соболева L£(R"). ЭТИ пространства	полезны
во многих вопросах.	Они состоят из всех тех функций,	заданных

на R™, которые вместе со своими производными до порядка k


включительно		принадлежат I > ( R n				) ; k	здесь, конечно, — неотрица
тельное целое		число.
Два других рассматриваемых типа функциональных про
странств представляют			собой		«обобщения»			пространств		Соболева
на случай, когда k — нецелое					число.
(2)	Пространства		потенциалов			i? £ (R n ) ,		состоящие		из всех
«потенциалов»		порядка	а,	порожденных			функциями		из L P . ЕСЛИ а
целое	и 1 < р < оо, они			эквивалентны			пространствам			Соболева.
(3)	Пространства		АаЧ.		Это	функциональные			пространства,

определяемые в терминах LP-модуля непрерывности. Они пред ставляют собой более просто определяемое «обобщение» про

странств Lft(R") и	по этой причине очень полезны	для прило
жений. Однако они	не являются непосредственными	обобщениями

пространств Соболева, и поэтому необходимо провести сравнение пространств Aaq(Rn) с пространствами LP(R") И i?£(Rr t ). Можно считать, что это сравнение является одной из основных задач этой главы; именно здесь будет использована теория Литтл

вуда — Пэли, изложенная			в главе IV.
Мы	начнем с	изучения		дробных степеней оператора	Лапласа
(— А ) а / 2 ,	которые	вместе	с	их вариантом (/ — А ) а / 2 дают	важный
формальный аппарат для				дальнейших исследований.

138

Гл. V. Дифференциальные

свойства функций

§1. Потенциалы Рисса

1.1.Преобразование Фурье функции /, достаточно гладкой и

достаточно быстро убывающей на бесконечности, и ее лапласиан

Af —	с	в	я з а н ы	между	собой следующим соотношением:
	Я	д	х !	(-bf)~(x)	=	4n*\x?f	(х).	(1)

Отсюда один шаг до того, чтобы заменить показатель								2 в \х\2
на произвольный показатель р и определить тем самым								(по мень
шей	мере		формально) дробную			степень	оператора Лапласа:
			( (	- A f 2 / f	(x)	= (2n\x\ff(x).		(2)

Наиболее важными будут отрицательные степени р\ удовлет воряющие неравенству — я - < р < 0. Для них формальный опера тор (2) будет реализован как интегральный оператор. А именно (несколько изменив обозначения) мы получим

	Ia(f)	=	(-A)-a'2(f),	0<а<п,	(3)
где Ia(f)—	потенциал	Рисса, определяемый формулой
	( / J M * ) =		7 ^ -	j\x-yrn+af(y)dy.
Здесь
			у (а)
			' 2	2
Приведенным выше формальным рассуждениям можно при
дать точный смысл.
С этой	целью удобно использовать			класс 9° функций	<р, кото

рые бесконечно дифференцируемы на R„ и все производные ко торых остаются ограниченными после умножения на любой мно гочлен.


ЛЕММА 1. Пусть 0 <		а < п.
(а) Преобразование		Фурье	функции \х\~п+а	есть	функция
Y (а) ( 2 я ) _ а \| х Г °	в том смысле,		что
J1 *	Г " + а 9 ( x ) d x - =		J у (а) ( 2 я ) _ а \| х \ _ а d x		(5)

дгя любой функции ф е ^ ,

		§	1. Потенциалы Рисса		139
(б) Тождество ( I J )		= ( 2 я \| л \|)		f (л) выполняется в том смысле, что
$	ta(f)(x)g!*)dX=		\	f(x)(2K\X\rag^Jx)dx
R"			R"
для любых f,	g G= 91.		<

Первая часть леммы есть переформулировка результата, по лученного в гл. I I I , § 3.3, поскольку у(а) = уо,а (2л;)а .

Вторая часть, (б), немедленно следует из (а), если переписать равенство (5) следующим образом:

fSf	J" f (х- У)I у Г + а d y = \h-y)\yrae~2nixy	dy,
R"	R"

умножить обе части этого тождества на g (х) и проинтегрировать. Теперь мы приведем еще два тождества, которые могут быть получены из леммы 1 и которые выражают существенные свой

ства потенциалов 1а:

/ , ( / p / ) = / . 4 t f ) ,	/ е ^ ,	« > 0 ,	Р > 0 ,	а + р < п ,	(6)
A ( / a f ) = / a ( A / ) =	- / a - 2 ( f ) ,	У,	п>3,	n > a > 2 .	(7)

Доказательство соотношений (6) и (7) не представляет труд ностей; предоставляем читателю вывести их самостоятельно.

Простым следствием из (6) является «-мерный аналог бэтаинтеграла:

J - 1 1 - 0 1

( а + р ) •

(8)

RRT

где 0 < a, 0 < р, a + р < /г.

1.2. LP-неравенства для потенциалов. До сих пор мы рассмат ривали потенциалы Рисса с формальной точки зрения; в частно сти, мы рассматривали только очень гладкие функции, достаточно быстро убывающие на бесконечности. Поскольку потенциалы Рис с а — интегральные операторы, естественно выяснить, как они дей ствуют на функции из пространства LJ>(Rn ).


С	этой целью			мы поставим		следующую задачу.				Пусть дано а,
О <	а <	п. Для		каких	пар чисел		р и	q	оператор	/ — */«(/)	огра
ничен как оператор из L ? ( R n )						в L<z(R")?			Другими	словами,	когда
выполняется			неравенство
					1\|/«(/)11,<Л\|1Л\|р?						(9)
Нетрудно получить необходимое условие, которое по существу
отражает		факт однородности ядра					(у{а))~1\у\~п+а.			В самом	деле,
рассмотрим			оператор		растяжения		т6 ,	определяемый равенством
				те # ) ( * ) = / ( б * ) ,				6 > 0 .

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ