книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

230

Гл. VI. Продолжения

и

следы

Положим f

(ру') = (-—^ (рп

\(ру')),

у =

ру',

\у] = р.

Тогда -ф обра­

щается

в

нуль

около начала координат и потому принадлежит классу С°°

в с ю д у

(и

имеет,

конечно, компактный

носитель).

П о л о ж и м

( g f ) (*) = J q> (ру')

Рп~х

[-щ]

f (х -

ру') dp dy'

-

Первый интеграл может

быть

переписан

так:

< - ! > » / Ф < 1 Г >

2

^ya{^)af(x-y)\yrkdy,

R"

] a | - f t

в то время как второй

равен f Ф (У)

f (х

-

у)

dy.

и"

/

<5 \ а

Отметим, что функции

f

и l - ^ - J

Л |a| =

fc,

заданы только

в

D. Для

инте-

^

д

\ а

тральной формулы, определяющей

@f, мы доопределим f и 1

- ^ 1

/ н у л е м

вне D .

М о ж н о проверить,

что

в самом

деле

продолжает f

и

№

Р , п )

<АР.

H I f l i p

,

К р < ~ .

свойством, что вне

D продолжение

зависит от значений функции f только

вблизи границы D.

Это

означает, что

если f е Vk (D) и f обращается в нуль

около границы D, то ®f(x)

= 0 для

х

ф-D.

§

1

и 2.

Основополагающей здесь является работа Уитии [1]. Приведенный

в тексте

вид

теоремы

1 дан в работе Стейна

[10]; теорема 2 содержится в статье

Кальдерона и Зигмунда [7]. См. также работу

Глезера [1].

§ 3. Теорема продолжения для функций, определенных в областях с липши-

цевой границей, восходит к Кальдерону

[4]. Некоторые использованные нами

идеи

неявно

содержатся в книге

Соболева

[2]. Продолжение

Кальдерона

не

применимо к

крайним

случаям р =

1 или

р =

оо, поскольку оно

опирается

на

ограниченность в L P

сингулярных

интегралов,

рассмотренных

в

гл. I I . Отно­

§ 5.

Дополнения редактора перевода

5.1. Следует

иметь в виду, что достаточно сложные методы, развитые в на­

стоящей главе с

целью

решения вопроса о продолжении функций с множества D

жество D

«плохое»

(D — произвольное

замкнутое множество в §

2 или

D — об­

ласть с минимально гладкой границей в § 3) . Если же D есть множество с

до­

статочно

гладкой

границей, то вопрос о продолжении может быть решен

го­

раздо п р о щ е 1 )

с

помощью следующей конструкции, предложенной Хестенсом [1*]

для

пространств

Ch(D).

Для

пространств

L

\ (D)

этот

прием

был

применен

Никольским [б*]

и Бабичем

[1*]. В дальнейшем

он неоднократно

использовался

и для пространств функций с нецелым порядком дифференцирования

(см.,

на­

пример, Слободецкий [2*], Ильин

и Солонников

[1*]) .

Ограничимся

рассмотрением

специальной

области

D c R n + l

класса

Ск,

за­

даваемой

равенством

D*={(x,y)<=Rn+l:

y><t(x)},

где

ф (*)

— функция

класса

Ск

на

R " .

П у с т ь f s L g ( D )

или

}<&Ck(D).

Вы­

полним

преобразование

у

— <р (х) =

у';

нетрудно

проверить,

что

функция

g (*,

y') —

f(x>

У' +

vM)

принадлежит

пространству

Lf,

( R + + 1 )

(соответственно

C f t ( R ^ + 1 ) ) .

При

этом мы используем тот факт, что

ф е

С*. Таким

образом

вопрос о продолжении

свелся к рассмотрению

случая

D— R!J.+ 1 .

Итак,

пусть

f e

i

j

( R " + l ) .

Определим

оператор

Щ,

представляющий с о б о й

к

2

- г / 2 - * )

(1)

для

(х, у)

е

R l +

1 , где числа

cs

выбраны

так,

чтобы

(в

с о о т в е т с т в у ю щ е м

смысле)

(Щ)(х,

-0)=Щ-(х,

+ 0 ) ,

/ =

0 , 1

fc-1.

(2)

ду'

ду1

Для

этого

нужно

чтобы

числа

с,

удовлетворяли системе

к

2 с Л - 2 Г

* '

=

0,

/ =

0 , 2

k

-

l

(3)

~'

*

(с определителем,

отличным от нуля).

Нетрудно

доказать,

что

в

силу

условий

(2) функция

Ф (х, у),

равная

f(x,

у)

для

(х, у)

е

R^.+ ! и равная

Щ

(х,

у)

для

(х,

у) е

R l + i ,

принадлежит простран­

ству

L | ( R r t +

1 ) , причем

l < D | L g ( H - + ' ) < C | M L S ( R 5 . +

7

где

с

не зависит

от f.

В

случае

пространств

C f t

( R + + I

) в

(1),

(2)

и (3)

вместо

k нужно

взять

k+l.

В работе

Си ли

[ Г ]

конструкция

(1)

изменена

так,

что

она годится

и

для

функций

? е Г ( 1 я

+ + 1 ) .

')

Это

отмечено во

введении к гл. V I .

232

Гл. VI. Продолжения

и следы

5.2. Метод продолжения, основанный на интегральном представлении функ­

ций, описанный

в § 4.8, может быть реализован

также

с помощью

интегрального

представления

Соболева (см. гл. V , § 7.2). Он

может

быть

распространен

и на

случай анизотропных пространств Соболева

(см. гл. V, § 7.7). При этом

нужно

воспользоваться

следующим интегральным

представлением

для

функций

/ е

При

ki

= ...

= kn

рог 52 превращается

в область,

с о д е р ж а щ у ю

конус

с вер­

шиной

в начале координат.

Пусть область

Dx a D

такова, что

если

х е Dt,

-то и х +

52 cr D.'

Тогда

для

функции

/ ( i ) e L ^ ( O )

для почти

всех

« е Д ,

справедливо следующее

равенство:

- (х +

у)

dy dh.

(4)

Здесь Ф 0 (х)

и Ф/ (х)

— некоторые

функции

класса

С°°

в Rr a ,

обладающие

тем

свойством,

что их

носитель сосредоточен

в

прямоугольном

параллелепи­

педе

{х s= R „ : 0 < a°s<xs<

(as + efs,

s =

1, . . . ,

n\

Таким образом, фактическое интегрирование по у

производится лишь по

точкам

j e £

Интегральное представление типа

(4)

получено

впервые

Ильиным [2*]. Опи­

сываемая

здесь

конструкция взята из

работы Бесова и

Ильина [1*].

должения

(как в § 4.8)

и доказывается, что при 1 < р <

оо он является огра­

ниченным

оператором из

L ? (D)

в L p (R r a ) . При доказательстве этого

утвержде­

ния существенно используются оценки для неизотропных

сингулярных

интегра­

лов, обобщающие оценки

§ 4 из

гл. I I (см. Бесов, Ильин

и

Лизоркин

[1], Бесов

Будем

обозначать

также

через

Я рог, полученныя*.из рассмотренного

выше

рога

52 путем отражения в одной или последовательно нескольких координатных

пло­

скостях.

ТЕОРЕМА.

Пусть

область

D

обладает

следующим

свойством.

Существуют

конечное покрытие

открытыми

множествами

Um, m =

1,

М, и

набор

5 2 т ,

таких, что

М

1)

£ > =

( J

Um;

m = l

2)

Um + 9imc=

D,

m=

1, . . . .

M;м

8)

для

некоторого

e > 0

D cz ( J U®,

где

m = l

^

=

{ * ^

m :

dist(x,

D\Um

>e}.

§

5.

Дополнения

редактора

перевода

233

Тогда

функции

из L^(D),

1 < р < < х > ,

допускают

линейное

ограниченное

продолжение:

Lp(D)3f(x)-+0(x)

<= Lpk(Rn);

G>(x) = f(x),

x^D.

См. работу Бесова и Ильина [1*]. В

ней

также

получен

аналогичный

ре­

зультат

для

анизотропного

пространства

Ар' 4(D),

a =

(alt

ап).

Можно

при­

вести

примеры

(см. Буренков [5*]), показывающие,

что

ограничения,

налагаемые

в этой теореме на область D,

в определенном

смысле

необходимы

(в

смысле

выбора параметров крутизны рога 5?).

5.3. Можно несколько усилить теорему 2,

а

именно доказать,

что

для

лю­

бого

8,

0 <

е <

1, существует

такая

функция

А(х)

=

Ае(х, F),

определенная

на CF,

что

а)

(1 -

е) 6 (х) <

Л (х) < ( 1

+ е ) б ( х ) ,

х

<=

°F;

б)

А (дг)

есть

функция

класса С°°

на C F и

да

•(*W) 1-|а]

дх"

,|ct

где Аа

не зависит от е и F.

функции

удобно

воспользоваться

разбие­

Для

построения

указанной

А(х)

нием единицы, построенным в статье Буренкова [2*].

Обозначим

Q = °F

и рассмотрим

слои

a4

= ( j e e S , - ^ T < 6 W < 4 - | >

fe

= 0,

± 1 ,

± 2 , ...

Очевидно,

что

Q =

[

J

Qk- Множества

играют

роль

непересекающихся

кубов

Qk, фигурирующих

в теореме 1 из

§

1: расстояние от

Qj> до

множества F

равно

„толщине"

множества

Qk-

Существует

такая

последовательность

C°°(Rn),

k =

0,

± 1 , ± 2 , . . . ,

что

1)

2 i M * ) = l , x e Q ;

2 * * М =

°' * Ф- Q'

k=—

о

fe=—

оо

2)

й =

оо

supp tyk,

причем кратность

покрытия

множества

£2 множест-

ft=—

о

вами supp г|)& не превышает 2;

3)

supp\|)fe

c r Q f e - i U Q f t U Q f t + r .

4)

для

любого

а

=

( a t , . . . ,

ar a )

5А:

•фй (А:)

< B a

2 f e

l a

| ,

где

В а

зависит

только

от

а.

Пусть,

далее,

ф (А:) — функция класса

С°°

на

R",

ф (х) > 0 ,

А: е

Rr e ,

ф

(х)=0

при

Ы > 1 ,

Г Ф (JC)

=

i . Положим

ф А

(А-) =

—

Ф (xjyk),

Ук

=

-^+2-

234

Гл.

VI.

Продолжения

и

следы

Функция

Л (х)

=

Л е (х,

F)

строится

следующим

образом:

оо

Д ( * ) =

2

**(*)(Ф* •*)(*)•

См.

Буренков

[3*].

k=— оо

Ниже

в

§ 5.4—5.6 пойдет речь

о

характеризации

следов

функций

на

под ­

пространствах R m ,

т <

п.

5.4. Пространство

Л £ ' q

является

весьма

удобным

при

описании

следов.

Так,

как

у ж е

было

отмечено

выше,

пространства следов на R"1

функций из

пространства

Соболева

L ^ R " ) ,

а — целое, пространства

бесселевых

потен­

циалов

& р а (R r e ), пространства Бесова Л £ р (Rr a ) совпадают в точности с A j j 1 р

( R m ) >

где

В =

а

—

>

0.

Аналогичным

свойством

при

т =

п — 1

обладает

и

весовое

простран­

ство

L ^ v ( R r t ) ,

k — целоэ,

с

нормой

*•v

4

|ct|=*

Пространство

следов

на \\ п ~ 1 функций

из

Z,|_ Y

(R™) совпадает с

пространством

А Р - Р ^ - 1 ) ,

где 6 =

fe-v-

^ > 0 .

Этот

результат

принадлежит

Успенскому

[2*].

Свойства весовых

прост­

ранств

см. в

работе

Кудрявцева [ Г ] .

5.5.

В

§

4.2, 4.3

сформулирован,

в

частности,

результат

о

существовании

и

принадлежности

L

q ( R m )

при

q <

~~Г^р'

т

>

п ~

kp,

следа

функции

/

из

пространства

Соболева

L £ ( R n ) ,

если

учесть,

что

А ^ ' ' ( R m )

с : A ^ ' р ( R m ) ,

где

v

=

В — т{-

-\

=

a

— 2 .

+

> о

(см. §

6.7 гл. V ) .

На

самом

деле

для

\Р

a I

Р

Я

пространств

Vk (R")

этот

результат

справедлив

и

для

Q^~~~j^-

Если

& <

,

1 <

р <

со

и

п — kp

<

т <

п,

то

для функции

f е

L p k

(R")

существует

след

на

R m ,

принадлежащий

пространству

L 4

( R m ) , где

р < ! < 7 < !

^

в

_

^

(причем

соответствующий

оператор

взятия

следа

ограничен).

Кратко

мы

запишем

это так:

L f ( R " )

с

( R m ) .

(5)

Этот результат получен Соболевым [1] для

1 <

p^q

<

^ ^ f ^ p

и

Кондрашо-

вым

[1*] и

Ильиным

[1*3 для

предельного

показателя

q =

•

Для р = 1

этот результат установил Гальярдо [2]. Он же

доказал,

что

для

р = 1

вложе­

ние

(5)

остается

верным и при т =

п —

kp.

5.6. Поведение

функций из

Щ (Rr e ) на

подпространствах

R m

с

т < га — fcp

(в этом

случае

след

на R m

может

не

существовать)

можно

охарактеризовать

в помощью

пространств типа L p

со смешанной

нормой.

§

5.

Дополнения

редактора

перевода

235

Обозначим

через L^PlP"4R")

пространство

функций,

для

которых

(

Ра

Рп-1

со

/

со

.

<

оо.

^

\ | f ( * i . . . . . * Л ) I " ' d x , j

d x 2

. . . d x „ j P "

<

Если

ft<

1

K

p

<

K

P(n-m)

^

— ,

^m<n-kp,

kp

p

m

n — nt —

L{

(R")

CZ L

^

7

^

4

">(RN ).

(

Таким образом,

при

1 ^

m <

n — kp можно

утверждать,

что

функция

xm>

xm+i>

• • •>

х „ ) |

d x i . . .

d x m \

(7)

от переменных

x m + i ,

х „

принадлежит

пространству L ' ( R " _ m )

с

указанным

выше q. При т =

п — kp

вложение

(6)

верно

для любого

q, р <

q <

оо.

Этот результат сформулирован в виде гипотезы в докладе Соболева и Ни­

кольского

[1*]

и

доказан

Гудиевым [1*]. Для пространств

Л^' °°

подобный

ре­

зультат получен Никольским [6*].

Отметим,

что

при

п — kp <

т <

п

функция

(7)

(при

соответствующем

ее

понимании)

ограничена

по переменным

x m +

i ,

. . . ,

х „ , т.

е.

принадлежит

про­

странству

L 0 0 ( R " - ' n

) ,

причем

ограничена

также

и

функция,

получающаяся

из

(7) путем замены р на q,

р

q

^ _

^ .

5.7.

Для

анизотропных

пространств

бесселевых

потенциалов

(R")>

а = ( a i , . . . ,

ап),

справедлив

следующий результат о следах. Пусть 1 <

р

<

оо,

1 < « 1 < л и и

=

1

п

—— > 0.

Тогда

V

р

A k>

где (5 — и а ( т .

е. R i = x c i i

Р/г =

х а „ ) . Верно

и обратное

утверждение

в

д у х е

§ 4.4.

См. Лизоркин [6*]. Подробное изложение этой и других теорем о простран­

стве S'a

(Rr a ),

a =

(<XJ,

a n ) ,

содержится

в

книге

Никольского

[3*].

При тех же предположениях

относительно индексов

Обратно, каждая функция из

А ^ 1 ' ( R m )

может быть продолжена на R " так,

что она б у д е т принадлежать

Ap^q(Rn).

См. Бесов [1].

A) Понятие

нетангенциальной сходимости.

В теореме

1 гл. I I I

гарантируется

существование почти всюду

граничных

значений

скую теорему Фату на чисто «локальный»

случай. Эти

вопросы

рассматриваются

в § 1.

Б) «Интеграл

площадей»

Лузина. Этот

интеграл

появлялся

уже в § 2 гл. I V , но наше

внимание было там сфокусировано на

тесно связанных с ним g- и ^'-функциях.

B) Hp-теория для сопряженных

гармонических

функций. Поня­

тие сопряженности

было ранее введено при изучении

обобщенных

уравнений Коши —

Римана в § 2.3

гл. I I I в связи

с

преобразова­

образований. Одна из

используемых здесь

идей (характеризация

с помощью g- и £*-функций ограниченности

этих операторов в L V )

была уже использована

в § 3 гл. I V .

§

1. Нетангенциальная

сходимость

и теорема

Фату

237

§ 1. Нетангенциальная сходимость и теорема Фату

1.1. Будем

обозначать (п

+

1)-мерное

полупространство

точек

(х,

у),

где

у >

0, х е

через

R + + 1 . Его граница

{(х,0)}

совпа­

дает с Rn . Для любого

х° е= R™ и а >

О

будем

обозначать

через

Г а (х°) конус (бесконечный)

Га(х°)={(х, y)<=R%+1:

\х — х° | <

аг/}.

вершиной которого является точка х°. Пусть функция и(х,у)

опре­

делена

в точках

R + + 1

вблизи граничной точки (х°, 0). Мы

гово­

рим, что функция и имеет нетангенциальный

предел

(равный

/)

в

точке

(х°, 0), если для

любого

а

> 0 из

условий

(х,

г/) ЕЕ Г а (х°)

и

(х,

у)~*(х°,

0)

следует, что

и(х,у)—*1.

Основной результат для нетангенциальной сходимости интегра­

лов Пуассона содержится в следующем обобщении теоремы

1 из

гл.

I I

I

(см. стр.

77).

Т Е О Р Е М А

I .

Пусть

f

< = L P ( R n ) ,

1 sg: р sg: оо,

и пусть

и(х,у)

—

ее

интеграл Пуассона.

Допустим,

что а — фиксированное

положи­

тельное

число.

Тогда

sup

\и(х,

у)\<АЛМф(*?),

(а)

где

Mf — максимальная

функция

из гл. I,

§

1, Аа

не зависит от f, и

(х,

lim

U(x,y)

= f(x°)

(б)

у)-Цх»,0)

(х,у)€=Га(х°)

для почти всех

х°

и, в частности,

для

каждой

точки х°

лебегова

множества

функции f.

СпУ

Л, (*)=*•( Ы 2 + </2 )( "+ 1 , / 2

(предложение 1 гл.

I I I )

,

следовательно,

как легко

видеть,

P«(x-t)<AaPy(x)

при \t\<ay.

(1)

Однако

u(x°-t,

у)=-

J

Py(x°-t-z,

y)f(z)dz.

Отсюда

sup \u(x° — t,y)\ =

sup

\и(х,

у)\^.

\t\<ay

( * , Й е Г а М

<

sup

f р (xP — t - z ,

y)\f(z)\dz^

<

Ла 8ир

f

Py(x°-z)\f(z)\dz^

переформулировано так: еслиЛ (х)

= ор (х),

то

sup q> (х — t)^Ay (х)

для некоторого А, не зависящего

от х.

(После

этого замечания

читателю не составит труда сформулировать

и

доказать общий

ток f * фе , аналогично теореме 2 из § 2.2 гл. I I I . )

Для

доказательства

свойства

(б)

допустим,

что х° — точка ле­

бегова

множества

функции /. Тогда для любого

е > 0 существует

б >

О, такое, что

TZWW

В (г)

\\H*-*)-fW\dz<B

при

г > б;

В (г)

обозначает

шар

радиуса

г с

центром

в начале

координат.

Положим

g(х}

=

f(х)

— f(х°),

\х —

g(x) — Q,

| х — х° | > б. Заметим,

что при этом

М (g) (х°) < е. Однако

u(x»-t,

y)-f(xfi)=

J

py(z-t)[f(xP-z)-f(xP)]dz.

Таким образом, в силу

(I) при 111<

ау

\u{x*-t,

г / ) - / ( * ° ) | < Л а J Py(z)\f(x»-z)-f(xP)\dz

=

-

4

J

+

/

} •

В силу

теоремы

l | z | < 6

\z\gs5)

1 (часть 1)) из гл. I I I

{

<

j

Py(t)\g(x°-z)\dz^M(g)W<e.

|2|<в

цп

Далее,

из того,

что

§ 1. Нетангенциальная сходимость и теорема Фату

239

при

1 ^ < 7 ^ о о ,

где

показатель q

выбирается сначала сопряжен­

ным

к р, а затем равным 1, следует, что

J

Pu(z)\f(x*-z)-f(x*)\dz->0,

у-+0.

| г | > б

Значит,

lim

sup | и (*P — f,

у) — /(дсР)|< Аае,

\t\<ay

г/-»0

точка является

точкой лебегова

множества

(см. §

1.8 гл. I ) , дока­

зательство теоремы завершено.

1.2. Теорема

Фату. Опишем

вначале

свойства

ограниченных

гармонических

функций в R + + 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Предположим,

что функция и задана в

R + + 1

и есть интеграл Пуассона

функции

из L°°(H.n) тогда и только

тогда,

когда и — гармоническая

ограниченная функция.

Для доказательства обратного

примем, что

функция и гармо­

ническая и

в R + + 1 . Для любого целого k положим

fk{x)=

— и{х,

и пусть uk(x,

у) есть

интеграл Пуассона

от

fk. На­

конец, пусть

Ak(x, у)=и[х,

у + - j j — uk(х,

у).

Отметим

следую­

щие очевидные свойства функции Af e . Прежде

всего Ak

гармонична

в R + + 1 ; очевидно также, что | Af t | ^

и [х,

у +

—j

-\-\uk

(х,

у) | ^ 2 М ;

ствия (на стр. 8 0 )

из §

2.2 гл. I I I и в силу того, что функция fk

непрерывна

и ограничена, функция uh{x,y)

непрерывна в R++ I

и U h ( x , 0 ) =

fk(x);

таким

образом, функция

А^ также

непрерывна в

R + + 1 и Ak(x,0)

=

0

. Мы

хотим вывести на основе этих

свойств, что

бая

точка

из R+ + 1 может быть

переведена в точку ( 0 , 1) компози­

цией

этих

преобразований. Рассмотрим при фиксированном е > 0

функцию

U (х,

у) = Af t (х, у) + 2Меу

+ е