Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3521 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

200 Гл. VI. Продолжения и следы

Кроме сеток JCh, мы рассмотрим					еще слои		&и, определяемые
равенством
	Qk = {х: c2~k <			dist (х, F) <		с2~к+%
где с — положительная постоянная,					которую мы вскоре			зафикси-
			оо
руем. Очевидно,		что Q =	N	Qk.
			и					х
			Д — — ОО
Проведем теперь предварительный отбор кубов и обозначим
получившийся	набор через			Наш отбор		осуществляется			сле
дующим образом.		Рассмотрим		кубы	сетки	J l k	(каждый из		них
имеет размер	приблизительно 2~h);				включаем куб из этой сетки
в @~о, если он	пересекает		слой	Qk	(точки	этого слоя		находятся

приблизительно на расстоянии 2~h от F ) . Таким образом, мы по лагаем

Тогда
				( J	Q = Q.
При подходящем выборе постоянной с
	diam (Q) <			dist (Q, F) < 4 diam (Q),			Q s		TQ.		(3)
Докажем	это.	Пусть		Q^JKk.	Тогда	диаметр		Q	равен		Уп2~к'
Поскольку	Q е	@~Q,	то существует х е= Q f\| QfeТаким							образом,
и		dist (Q, / 0 < d i s t - ( « ,				f ) < c 2 " f t	+	I
и
dist (Q,		f ) >	dist (x, F) -		diam (Q) > c2~f e			-	/ я	2~\

Если мы положим c = 2 ] / n , то и получим (3).

Далее, согласно (3), кубы Q e ^ i не пересекаются с F и, оче видно, покрывают Q. Тем самым свойство (1) также доказано. Заметим, что, набор @~0 обладает всеми требуемыми свойствами, за исключением того, что кубы не обязательно являются непере секающимися. Для завершения доказательства теоремы нужно улучшить наш выбор, давший нам набор £Г0, исключив те кубы, которые на самом деле являются лишними.

Нам

потребуется следующее простое замечание. Пусть

Q2—

два

куба

(взятые

соответственно

из

сеток

Ж к,

к)-

Тогда

если

и Q2 пересекаются, то один из

них

должен

со

держаться

в другом

(а именно, если k\ ^ k2,

то Q\ cz

Q2).

Начнем

теперь

с любого

куба Q G E ^ " 0

И рассмотрим

макси

мальный,

содержащий его куб в &~0 . В силу неравенства

(3)

для

любого

куба

из

@~0,

который

содержит

мы

имеем

§ 1. Разложение открытых множеств	на	кубы	201
diam(Q') sg: 4 diam(Q) . Кроме того, любые	два	куба Q' и Q",	ко

торые содержат Q, имеют, очевидно, нетривиальное пересечение. Таким образом, в силу сделанного выше замечания для любого

куба Q е	STQ существует единственный максимальный			содержа
щий его куб из ST§. По той же причине эти			максимальные		кубы
попарно не пересекаются. Обозначим через			ЗГ набор максималь
ных кубов из &~0 . Тогда очевидно, что
	( J	Q = Q,			(1)
	кубы из &~ попарно не пересекаются,				(2)
	diam (Q) < dist (Q,	F) < 4 diam (Q),	Q s f .		(3)
Теорема 1, таким образом, доказана.
1.3. Разбиение единицы. Сделаем теперь			несколько	замечаний
о наборе	кубов SF, существование которого		гарантируется		теоре

мой 1. Скажем, что два различных куба Qi и Q2 из ST касаются, если их границы имеют общую точку. (Мы напоминаем читателю, что у любых двух различных кубов из ЗГ внутренности не пере секаются.)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть кубы Q\ и Q2 касаются. Тогда

— diam (Q2 ) ^ diam (Q^ < 4 diam (Q2 ).

	Мы	знаем,	что	dist(Q„	Ж	4 diam (Q,).	Тогда dist (Q2 , P ) <
	4 diam (QJ +		diam (QJ = 5 diam (QJ, поскольку					Q, и Q2	касаются.
Ho	diam (Q2 ) ^		dist (Q2 , F);		следовательно,		diam (Q J		5 diam (Q2 ).
Однако		diam (Q2 ) =		2k diam (QJ		для некоторого		целого	k; таким
образом, diam(Q,) ^				4 diam (Q2 ). Искомый результат следует теперь
из	соображений		симметрии.

Положим теперь Л' = (12) п . Точное значение величины N для дальнейшего не играет никакой роли; важно только то, что оно зависит лишь от размерности и и, в частности, не зависит от замкнутого множества F.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть Q e ^ , Тогда самое большее N ку бов из @~ могут касаться куба Q.

Если куб Q принадлежит сетке Мь, то, как легко видеть, существует 3™ кубов (включая Q ) ; которые принадлежат сетке •Ми и касаются куба Q. Далее, каждый куб из сетки Жи может содержать самое большее 4" кубов £Г, имеющих диаметр боль ший или равный 1/4 диаметра куба Q. Остается учесть предло жение 1.

Пусть теперь QK обозначает какой-либо куб из 9". Обозначим через xk центр этого куба, а через 4 длину его ребра. Тогда,

202	Гл.	VI.	Продолжения и следы
конечно,	diam (Qk) = Yn	lk.	Для любого е, 0 < е < 'Д. которое

пока произвольно, но в дальнейшем будет зафиксировано, обозна

чим через Q*k куб, имеющий тот же центр,

что и Qk,

но

растяну

тый в

1 +

е раз, т. е. Q* =

(1 +

е) [Qk — хк\ +

хк. Ясно,

что Qka

Q*k

и что

кубов

внутренности уже

не

являются

непересекаю

щимися. Однако справедливо следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.

Каждая

точка из

содержится

не

более

чем в N кубах

Q*.

Пусть

Q и

— два

куба

из ST. Мы

утверждаем,

что

кубы

Q\ пересекаются,

только

если

Qh касается

Q. Действительно,

рас

смотрим

объединение куба Qk со всеми кубами из

@~,

которые

его касаются; поскольку диаметры этих кубов больше или рав

няются 1/4 диаметра			куба	Qk, ясно, что это объединение			содержит
Q*k. Следовательно,			куб	Q	пересекается	с Q*k, только	если куб
Q касается куба Qh. Любая					точка x^Q	принадлежит	к	некото
рому кубу Q, и, согласно предложению 2, существует самое боль
шее JV кубов Q*k,		которые содержат х.
Доказательство показывает также, что каждая точка из Q
обладает	некоторой		малой		окрестностью,	пересекающейся		самое
большее с N кубами			Q"k.
Пусть	теперь	Q0	обозначает куб единичной длины				с центром

в начале координат. Зафиксируем некоторую функцию qp класса С°°,

обладающую следующими	.свойствами:		0 ^ ф ^ 1 , q>(x)—l	при
х е Q0 и ср(х) = 0 при хф	(1 +	e)Q0 .
Через щ обозначим функцию ф, „приспособленную" к кубу				Qk:
<Р*М =		Ф ( - £ ^ -	) .

Напомним, что xk — центр куба Отметим, что фй(я) = 1, если x<=.Qk Следует заметить, что

Qk	и lk — длина его	ребра.
и	фА(лг) = 0, если	х ф Q\.

( • ^ - ) % * w | < ^ a ( d i a m Q A ) - , e | .

Определим теперь ф^ (л:) для х е °F равенством

- т Ш -	г д е	Ф М ^ ^ Ф * ^ ) .	(4)
Очевидное равенство		к
Очевидное равенство
И < р ; ( * ) а 1 ,		хе=еР,	(5)
к

показывает, что мы построили искомое разбиение единицы.

§ 2. Теоремы продолжения типа Уитни

203

§2. Теоремы продолжения типа Уитни

2.1.Регуляризованное расстояние. Идеи теоремы Уитни о про должении неявно содержатся в только что полученном разбиении

единицы (5) и получают свое дальнейшее развитие при построе нии регуляризованного расстояния, которое мы сейчас опишем.

Пусть

F — произвольное

замкнутое

множество

следуя

обозначениям гл. I , обозначим через 6(лг)

расстояние

от

х до F.

В то

время как эта

функция

гладка

на

(она здесь

обращается

в нуль), она в общем случае не более

дифференцируема

на

CF,

чем

это

следует

из

очевидного

неравенства

| б (лг) — 6 (f/) 1

^\х

— у\

типа условия

Липшица.

Для различных

приложений полезно

заменить

функцию

6(х)

регуляризованным расстоянием, которое является сколь угодно

гладкой функцией для

х е

CF, когда х отстоит от F. Кроме

того,

это

регуляризованное

расстояние

должно

иметь по существу тот

же вид, что и

6{х).

Его существование гарантируется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 2.

Существует

такая функция

А(х)

= А(х, F),

опреде

ленная

на CF,

что

а) с , б ( * Х Д ( * Х с 2 б ( д : ) ,

х <== CF;

б)

А (х) есть функция класса

С°° на

°F

,1-|а|

где

Ва,

Су и с2

не

зависят

от

Конструкция

функции

А (х) дается

одной

строкой. В

самом

деле,

мы можем

положить

Д(*)= 2 diam (Q*) <р* (х).

(6)

Заметим, что

если

х е

Qk,

то

б (х) = dist (х, F) < dist (Qk, F) + diam (Qk) < 5 diam (Qk)

согласно неравенству (3). Кроме того, если х е Q*k, то б (х) > dist (Qk, F) - V4 diam (Qk) > 3 / 4 diam (Qk)

в силу (3). Окончательно,

если	x e Q j ,	то	6 ( х ) <	5 diam	(Qk);
если	x e Q j ,	то	б {х)	diam	(Qk).	(7)

') Эта теорема может быть несколько усилена; а именно, условие а) можно заменить условием (1 — е) б ( я Х Д ( х ) < (1 + е) 6 (х), д : е т , 0 < е < 1 , См. подробнее § 5.3. — Прим. ред.

204 Гл. VI. Продолжения и следы


	Далее,	если х е	Qk, то	фй (х) =		1 и	А (х) ^	diam {Qk) ^ -- ^Д .
С	другой	стороны,	всякое	х лежит		не	более	чем в N кубах Q*,
и,	таким	образом, Д ( х ) ^		2	diam (Qk)		^4/3N6	(x).

Тем самым мы доказали утверждение а) с с, = '/5 И ci —

=(Vs)N.


	Для доказательства			утверждения		б)	рассуждаем	аналогично,
но	пользуемся неравенством				(4) и замечанием (аналогичным (7)),
что	если	х (= Q*,	то 6(х) ^		6 diam Qh.		Это дает нам	желаемый
результат		с Ва =	AaN&	I " ! - 1 .
	Мы не	будем	сейчас	следовать		этой	конструкции	и отложим

ее применение 'до § 3. Мы хотим только отметить здесь, что оценки производных функции А(х), даваемые в пункте б ) , хотя и ухуд шаются, когда х приближается к F, являются, вообще говоря, неулучшаемыми при сделанных предположениях. В этом можно убе

диться уже в случае R1 , если	взять в качестве F дополнение к от-
оо
крытому множеству ( J	(2~l,-2~'+i).

/==— 00

На каждом интервале регуляризованное расстояние должно возрасти от нуля до по меньшей мере C\2-i-x (при прохождении пути длиною 2 - 3 ' - 1 ) , поэтому первая производная достигает зна чения во всяком случае не меньшего, чем с\\ по той же причине первая производная должна принимать значение, меньшее или равное —С\. Таким образом, вторая производная где-то на ин тервале должна быть не меньше чем C\2i+l и т. д.


2.2. Первый оператор	продолжения	!?'0. Пусть		F — замкнутое
множество в R n . Наша ближайшая цель — описать				оператор d?0,
продолжающий функции,	заданные на	F,	до функций,		заданных
на R™. Основные свойства	этого оператора		выражаются		в терми

нах функциональных пространств, соответствующих дифференци

руемое™ порядка меньшего или равного

единице. Оператор S'o —

простейший

иерархии

операторов

продолжения,

используемых

в случае производных высших порядков.

Оператор

& й определяется

следующим

образом.

Рассмотрим

множество F и семейство

кубов

{Qh},

описанное

в теореме 1. Для

любого куба Qh зафиксируем

точку

из

обладающую тем

свойством, что

dist (Qk, F)

dist (Qh, рь.)-

Такая точка

рк,

конечно,

существует, поскольку F — замкнутое

множество.

Если она не

единственна, то подойдет любая из то

чек, реализующих минимум расстояния до F. На самом деле го

дится любая

точка

ph^F,

обладающая тем свойством, что рас

стояние от ph до Qh сравнимо

с расстоянием от Qk

до

F, но от

меченный выше способ

выбора точки ph приводит

несколько

более простым

рассуждениям.

	§	2.	Теоремы продолжения	типа Уитни		205
Пусть теперь функция / задана на множестве F.						Рассмотрим
функцию	S'oif),	определяемую равенством			So(/) (х)	= f (х) для
I E F H	равенством
	ад)(*)		= Е / ( р , ) Ф ; ( * )	для	XZ=CF,	(8)
			k

где {ф* (Л;)] — разбиение единицы, описанное в конце § 1.3.

Следует заметить, что если точка x^CF,

то

она принадлежит

самое

большее N кубам

Q*;

следовательно, поскольку

функции

Ф* сосредоточены

в Q*,

сумма

в формуле

(8) на самом деле ко

нечна, и, таким образом, функция &Q(J)

определена

корректно.

Укажем теперь первые свойства оператора <%ъ-

ПРЕДЛОЖЕНИЕ.

Пусть

f — заданная

функция,

определенная

на

F. Тогда <Уо(/) есть продолжение функции

на

R™.

Предположим,

кроме

того, что функция

f непрерывна

на

Тогда

функция

(oo(f)

непрерывна

на R" и

в действительности принадлежит

классу

С°°

на CF.

То,

что

&u(f)

есть

продолжение функции

/, следует

из

опреде

ления.

Для

доказательства непрерывности

е?0 (/)

и для

получения

последующих оценок удобно договориться о следующих обозначе

ниях.	Пусть	А я В — две положительные	величины;	запись
А »	В будет	означать, что величины А и В	сравнимы. В	тексте

этой главы под этим понимается, что существуют две положитель ные постоянные Ci и с2, такие, что CiA ^ В ^ с%А; кроме того, предполагается, что эти постоянные С\ и с2 могут зависеть от раз мерности п, но не зависят от множества F, кубов Qh, функции f

ит. д.

Вэтих обозначениях заметим прежде всего, что

если	xezQl,	то	\| х — pk \ diam (Qk)	(9)
и (см. (7))
	dist (QJ,		/9 « diam (Qf t ).	(10)
Далее, если у е	F, я	QI,	то

I У — Pk К I У — х I + 1 p k — х \. Но, очевидно, | у — х | > dist (QJ, F),

и, следовательно, согласно (9) и (10),
если у е= F и х е= QI, то \| у — pk \| < с \|у — х \|.	(11)

Теперь мы в состоянии доказать непрерывность функции &о(\). Мы уже отметили, что каждая точка х <=CF обладает окрест ностью, которая пересекается не более чем с N кубами Q%. Так как каждая функция ф^ принадлежит классу С°° на CF, то это по казывает, что и e"o(f) есть функция класса С°° на CF и тем более непрерывная на CF.

Пусть теперь у — произвольная	точка из	F.	Мы	хотим дока
зать непрерывность функции &o{f)	(х) в точке	х	= у.	Рассмотрим

206

Гл. VI.

Продолжения

следы

поведение

разности

S'o(f)

(у) — &o(f) (х) =

1(у)

— &o(f)

(х)

при

х—*у.

Для

тех

х, которые

принадлежат

эта

разность

равна

f(y) — f(x),

в с ё

сводится

к заданной непрерывности функции /

на F. Предположим поэтому, что

х-*у

и x e ' f .

Тогда

/ (у) -

&о

(/) (х)

= / (у) -

2 / (Рк)

(X) = 2 {f (у) - f (Рк)) % (X),

поскольку

ч\ (*) — 1 для

х е

CF.

Воспользуемся теперь свойством

(11) и тем фактом,

что

функ

ция q>* (х)

сосредоточена на Q*k. Получим

I f (У) ~

&о (/) W I <

sup | f (г/) -

/ {у')

| - > О

при

здесь

y'esF

| у — у' |< с\ у — * |.

2.2./. Желательно пойти дальше и выразить

свойства

непре

рывности

линейного

оператора

f—*S'o(f)

терминах

банаховых

пространств. Наиболее подходящими являются функциональные пространства, определяемые с помощью модуля непрерывности, в

частности		пространства Липшица. Положим по			определению	для
О <	у < 1
L i p	(у. R")	=	l / : \f(x)\<M,	\f(x)~f(y)\^M\x~y\\	x,	y<=Rn}.
Пространство			Lip (у, Rr a )	становится банаховым,	если взять	в ка

честве нормы наименьшую постоянную М в приведенном выше оп ределении.1 )


Следует отметить, что	при	0 < у <	1 пространство L i p (у, Rn)
эквивалентно пространству	Ау	— А™' °°,	изученному		в	гл. I V , § 4.
Однако важно указать, что здесь есть отличие при у->						1. А именно,
пространство L i p (1, R") изоморфно пространству					L?	(R")		ограни
ченных на R" функций, имеющих ограниченные первые производ
ные, а не пространству АХ{=А?'		°°); см. §		4. 3.1 и §		6.2	из	гл. V .
Если F — любое замкнутое		множество,		то определим			Lip (у, F)

аналогично как пространство, состоящее из тех функций /, задан ных на F, для которых


	\| / ( х ) \| < М , \f(x)-f(y)\^M\x-y\\						х,	y^F.			(12)
ВновьLip (у,		F)	есть банахово пространство с				наименьшей			посто
янной М в качестве нормы.
ТЕОРЕМА		3.	Линейный		оператор	продолжения		ё?о	непрерывно
отображает		пространство			Lip (у, F)	в пространство			L i p (у,		R")
.при^О <	у ^	1. Норма		отображения		ограничена	постоянной,			не	за
висящей	от замкнутого			множества F.

') В случае у > 1 введенное нами пространство состоит из одних постоян ных функций.

§ 2. Теоремы продолжения типа Уитни 207

2.2.2. Доказательство теоремы мы начнем с того, что выпишем неравенство

да	< < ( d i a m Q f t ) -\| <Х\|	(13)
дх'

Оно может быть выведено как простое следствие аналогичного не

равенства (4) для функций щ из §		1.3; мьь предоставляем				подроб
ности	читателю.
Предположим теперь, что функция / удовлетворяет					неравенству
(12)	с М = 1. Мы уже отметили, что, какова бы ни была					функция
/, & 0	(f) есть функция класса С°°	на CF.	Здесь	нам	понадобится
оценка
	т ё - * о 0 ) м < с ( 6 ( * ) ) 'Y - I	i = l ,	. . . ,	п,	x^°F,	(14)
где б(х) есть расстояние от х до F,
Действительно,

		S	3 , \		== 0.
			-Qj-	(Х)
Для любой точки x^cF		выберем точку у из F, ближайшую к х,
т. е. такую, что \х — у\ = &(х).
Рассмотрим, далее, такие кубы QI,						что xeQl.		Их	самое
большее N штук, и для всех этих			кубов			выполняется неравенство
\у — Р/г\|^с\|л; — у\=	с8(х)	(см.	(11)). Следовательно,
-щ#оФ(х)\<А1							\f(pk)~f(y)\(diamQk)-1.
Ясно, что если х е QI,	то б (х)		diam (Qk).'				Таким	образом,
<	А' (	^ \Рк ~		У Г]			°-'() <с'Ь (Г1;
тем самым неравенство (14) доказано.
Оценка (14) дает то, что нужно				для		точек, удаленных			от F.
Для точек, лежащих вблизи F, заметим,						что если		у е F,	j i e ' F ,
то
#о Ф (У) ~	&о (/) (х) =		f(y)~		&о (f) (х) =

= 2 (/0/)-/(Pf t ))<p; W

208 Гл. VI. Продолжения и следы

и, следовательно, согласно (11),

(f) (У) -

sup

| f G/)

f Ы

с 1

у -

х \\

\y-Pk\<c\y-x\

(15)

Пусть

теперь

ш у

и х

лежат

в CF. Обозначим

через

отрезок,

соединяющий эти точки, и рассмотрим два случая:

расстояние

от

до

больше

длины отрезка L(=\x

— у\),

расстояние

от

до

не

превышает

длины

отрезка L . В первом

случае

имеем

просто

I #о (/) (У) -

$о

(/)

(*)

у -

| sup

| Vc?0

(/) (*')

I <

х'

e i

< c ] # — * |

sup

(6(x'))v ~l

X '

E l

согласно

(14).

Поскольку

этом

случае

б (х')

| у — х |,

/ е

[ ,

мы

получаем

результате,

что

| *?0 (/) (у)

— ef0

(/) (я) | ^

с | г/ — л: |v .

Во

втором

случае мы можем найти точку

J ' e i

и точку

г/' е

такие, что

| х' — у' |^| у — х |. Следовательно,

| г/ — л; | ^ 2 | г/ — л: [

г / 1 ^ 2 | г/—л:|. Если

мы применим

(15) к &й(/)

{у') — &0(/)

(л:)

B0(f){y')

— &0Ц)(у),

мы

вновь

получим, что

1 З Д ) Ы - З Д ) ( * ) К с ' 1 г / - * Г .

Наконец,

если

г/ е

мы

очевидно

имеем, что

| <§Г0 (/) (г/) —

-<r0 (/)wi<u-^r.

Заметим также, что если абсолютная величина функции / ог раничена 1, то то же самое верно и для абсолютной величины функции <8°о(/). Теорема 3 тем самым полностью доказана, если учесть, что все наши оценки не зависят от замкнутого множе-

*ства F .

2.2.3.

Одно

следствие. Справедливо простое обобщение тео

ремы 3.

Пусть

ш(б), 0 <С б < со, есть

модуль

непрерывности,

т. е.

положительная

возрастающая функция от б; предположим,

что

он

регулярен в

том

смысле,

что 1)

при

5 - >

со (26) ssC cat (б).

(Первое

условие

исключает в частности

равен

ство c o ( 6 ) = 6 Y

при

у >

Второе

условие

позволяет

дать

более

удобную

формулировку

результата.)

Определим

пространство

L i p (to, F)={f:

/ K M , \f(x)-f(y)\^Ma>(\x-y\)x,

у е

с нормой, равной наименьшему допустимому

М.

СЛЕДСТВИЕ.

&Ъ есть

непрерывное

отображение

из

Lip (со, F)

Lip (и,

Rn).

Доказательство почти дословно повторяет доказательство тео ремы 3. Заметим, что со (26) ^ ссо(б) и неубывание модуля непре-

§	2. Теоремы продолжения	типа Уитни	209
рывности приводят к тому, что для любого положительного			Ci су
ществует положительное с2 , такое, что		co(ciS) ^ с2 со(б), 0 <	б <
<С оо.
2.3. Операторы	продолжения (§h . Для обобщения результатов

§ 2.2 на случай производных более высокого порядка первое, что

требуется, — это

соответствующее

определение

пространств

Lip (у, F),

1. С

этой

целью

пусть

k — неотрицательное

целое

число

и к <

у *Ck

Мы будем говорить, что функция /, определенная на F, принад

лежит

пространству

Lip (y,F),

если

существуют

определенные

на

функции /<Л , 0 < ! | / | ^ ^ ,

где f(°> =

/, такие,

что

если

f i h y i { x

- y

y + R

{ X

у ) г

( 1б)

то

1 / - Н К *

|/<'>(*)|<М;

г / ) | < М | х - г / Г 1

Л ,

y e f ,

(17)

В связи с этим определением

необходимы

некоторые

поясне

ния:

обозначают

мультииндексы:

] =

(][,

/2 ,

/я)>

1 =

( t i ,

/2 ,

/„);

далее,

/ ! = / , !

/2 1 . . .

/„!,

|/| = / i +

/ 2

•••

+ / « ,

Следует отметить, что функция / = /<°> не обязательно

одно

значно

определяет

функции

fti\

0<|/|= £ ^ £ (достаточно

рассмот

реть, например, случай, когда функция f задана на конечном

мно

жестве

F).

Поэтому

во избежание

недоразумений,

говоря

об эле

менте

пространства

Lip (y,F),

мы будем на самом деле

иметь в

виду

весь

набор

{/ (

/ ) (х)}^;. <

Норма

элемента

из

пространства

Lip(y,F)

полагается

равной

наименьшему

М,

для

которого

вы

полняются

неравенства (17).

В только что принятом определении мы сделаем

исключение

для случая

F =

R™. Под

Lip (у, R")

мы будем

понимать

линейное

пространство,

состоящее

только

из

функций

/ =

/<°> (для

которых,

конечно, существуют

функции

fd\ удовлетворяющие

условиям

(16) и (17)). Вновь в качестве нормы берется наименьшее М, при


котором		выполняется		(17). Это соглашение, которое					принято
только для облегчения записи, согласуется с общим								определением
пространств			Lip (y,F),	поскольку,		как	легко видеть,		функции
f(3, >	1=^1/1 .		определяются		однозначно		функцией f,	если	F =	R™.
Более		подробно, если			Lip(Y,	R n ) , то в силу		только	что	дан
ного	определения функция				f является		непрерывной	и ограничен

ной и имеет непрерывные ограниченные производные вплоть до

порядка, не превышающего k; далее, - ^ Х = / ( / ) , | / | ^ & , и функ-

дх]

ции fU) для \| / \| = k	принадлежат пространству	Lip (у — k, R"),
рассмотренному в §	2.2.1. Обратное также	верно и легко

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3521 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ