Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120 Гл. IV. Теория Литтлвуда — Пэли и мультипликаторы

Вспомним о гильбертовом преобразовании f-+H(f),										соответ
ствующем	мультипликатору i sign л; (гл.						I I I ) .	Тогда,	очевидно,
				5(_оо, о) =	~^~2		'				(38)
где / — тождественное преобразование и S(-oo, о) — оператор										взятия
частной суммы,		соответствующий			интервалу			(— оо, 0). Все			будет
основываться на следующей лемме.
ЛЕММА. Пусть			f (х) =	(/, (х),...,//	(х),	. . . ) G L 2 (Rn, Ж)			П V	(Rn, Ж).
Положим	Hf(х)	=	(Hf{(x),	Hfj(x),		...).		Тогда
			ЦЯЛ1Р <ЛР \|\|Л1Р ,		1 < Р < о о ,						(39)
где Ар —та же		самая константа, что и в скалярном							случае,		т. е.
когда пространство Ж				одномерно.

Используем векторнозначный вариант преобразования Гиль берта, который в общем случае описан в гл. I I , § 5. Пусть гиль бертовы пространства Ж\ и Ж2 совпадают с Ж. Тогда ядро К(х)

удовлетворяет всем условиям теоремы 5 и теоремы 3 гл. I I . Бо лее того,

Hm f K(y)f(x-y)dy = H(f)(x),

и, таким образом, наша лемма доказана. (Другое доказательство указано ниже в § 7.1.2.)

Далее, если все прямоугольные параллелепипеды суть интер валы (—оо, 0), то в силу ^38),

s.-1+f.

Таким образом, согласно лемме, теорема в этом случае доказана.

4.2.2. Второй этап. Теперь п = 1 и все прямоугольные парал лелепипеды суть интервалы (— оо, а,), (— оо, а2 ), •••,(— °° , а,),

Заметим,		что	(/ (*) е~2п1х,аУ		= f (х + а),		следовательно,
Н (е-2п{х-а!Г		= isignxf	(х+а)	и,	значит,	[е-2я{х-УН	(e-2*lx-af)]~	=
= i sign (х — a) f (х).			В результате		получаем, что
				.	2nix-a,	( -2я1х-а,	\
		( S ( - „ . „ f , ) W = f ' + ' e			Т	' А		(40)
Обозначим		(e-2nix-a'f		e~2nix'"ifh	...)	символически		через
e-2nix-a^	г д е	f = (fu	fh	. . . ) .	Тогда	(40) можно переписать

р следующем виде:

f+!e2nix.aH{e-2nix.af)

§ 4. Применение операторов взятия частичной суммы

121

Таким образом, и в данном случае в силу леммы получаем иско мый результат.

4.2.3. Третий этап. Здесь п любое, а прямоугольные паралле лепипеды р/ суть полупространства х1 < а/, т. е. р; = {х : х, < а/}.

Пусть S(-oo, а}) обозначает	оператор,		определенный			на	L 2 (R")
и действующий только на переменную хи			как £(-«>, ajy			Мы утвер
ждаем, что
SP/ =	Sf'loo, ajy						(42)
Это тождество очевидно для функций из			L 2 , имеющих			вид	произ
ведения
/ ' ( * l ) / " ( * 2 ,		Х п ) \
поскольку их линейная оболочка плотна			в	L 2 , тождество (42) до
казано.
Применим теперь LP-неравенство, полученное на предыдущем
этапе, для всех фиксированных х2, хг, ...,				хп.	Возведем		это не
равенство в р-ю степень и проинтегрируем				по	х2, ...,	х„.	Отсюда

получается искомый результат для настоящего случая. Отметим,

что	этот	результат	имеет место	также, если	полупространство
{х:	Xi <	а3) заменить на полупространство {х:			хх > а; } или если
вместо оси Х\ взять ось х2 и т. д.
	4.2.4.	Последний	этап. Заметим,	что каждый	конечный прямо

угольный параллелепипед рассматриваемого типа является пере сечением 2п полупространств, причем граничная гиперплоскость каждого из них перпендикулярна одной из осей в R n . Таким об

разом, 2«-кратным применением	результата	третьего	этапа тео
рема доказана для случая, когда	семейство	94 состоит	из конеч

ных прямоугольных параллелепипедов. Поскольку полученные оценки не зависят от семейства 3?, мы можем перейти к общему случаю семейства 9т, содержащего бесконечные прямоугольные параллелепипеды, с помощью очевидного предельного перехода.

4.3. Некоторые задачи. Мы хотим сделать несколько замеча ний относительно условий теорем 4 и 4'. При п = 1 теоремы относились к операторам взятия частной суммы, рассматриваемым на интервалах. В одномерном случае больше и желать нечего, так как интервалы являются единственными «регулярными» мно жествами на R1 : они являются единственными выпуклыми множе ствами, единственными связными множествами и т. п.

Однако при п > 1 все в корне изменяется. Прямоугольные па раллелепипеды со сторонами, параллельными осям координат, бу дут теперь множествами очень специального вида, и то, что мы ограничились ими, является серьезным ограничением общности этих теорем. Доказанное нами является только гс-кратной

122 Гл. IV. Теория Литтлвуда — Иэли и мультипликаторы

суперпозицией одномерного результата, а не действительно «-мер ным результатом.

Для прояснения ситуации мы хотим описать две частных за дачи, являющихся тестами для существенно n-мерной теории. За дачи интересны и сами по себе, и кроме того, решение их позво

лило бы получить множество следствий.

ЗАДАЧА

А . Пусть

В — единичный

шар

R™. Можно

ли

в тео

реме

заменить

прямоугольный

параллелепипед

шаром

В?

Известно

лишь,

что ответ

может быть утвердительным

только

2-г

2га

при

р <

_ t

что

он

действительно

утвердительный

при р =

2. См. ниже § 7.7 и 7.8.

ЗАДАЧА

Б.

Можно

ли

теореме

заменить

прямоугольные

параллелепипеды,

ребра

которых

параллельны

осям

координат,

на произвольно

расположенные

прямоугольные

параллелепипеды}

Можно показать, что из положительного решения задачи А

следует

решение

задачи

для

того

же

р.

Можно

также пока

з а т ь 1 ) ,

что

ответ

задачи

отрицателен

для

р,

лежащих вне

от-

2а

2га

резка

^ г т < Р < — г -

4 . 4 .

Сформулируем непрерывный аналог теоремы 4'. Пусть

(Г, dy)—

произвольное пространство с абстрактной мерой; рас

смотрим

гильбертово

пространство

функций, интегрируемых

в квадрате на Г, т. е. Ж =

1 2 ( Г , dy).

Элементы

f е= U

(R",

Ж)

являются

комплекснозначными

функциями

/ (х,

у) =

(х)

на

Д " X

Г,

измеримыми

по

совокупности

переменных,

для которых

с I f

\Р/2 ,

П М \f(x,

y)\2dy

dx\

= | | / ц р < 0 О

( П р и

p < o o ) .

Пусть

по

аналогии

4 . 1

Ш = {ру}у^т.

Предположим,

что

отображение

Y - > p Y есть

измеримая

функция, т. е. измеримы числовые

функ

ции, ставящие

соответствие

каждому Y

координаты вершин

прямоугольного

параллелепипеда

р г

Пусть

/ e L 2 ( R " ,

Ж).

Определим F =

Saf

по

следующему

пра

вилу:

F (х, у) = Spv (fy) (х) (fy (х) = f (x, у)).

ТЕОРЕМА 4 " .

Ш 1 | р < ApWfWp,

1<Р<°°,

(42)

*) Мейер (Y. M e y e r ) , личное сообщение.

§	5. Двоичное	разложение		123
для f е L 2 ( R " , Ж) П L*>(Rn , <5^),		где константа Ар	не	зависит ни
от пространства с мерой	(Г, у),	ни от функции	у—*ру.
Доказательство этой	теоремы	было бы дословным		повторением

доказательства, данного для теоремы 4'. Читатель при желании может также получить его из теоремы 4' с помощью предельного перехода.

§5. Двоичное разложение

5.1.Рассмотрим каноническое разложение на прямоугольные параллелепипеды. Прежде всего для случая R1 представим про странство как объединение «непересекающихся» отрезков (т. е.

таких, внутренние части которых не пересекаются) [2й , 2 f t + 1 ] ,				— о о < ;
< k < о о , и [—2к + \ —2h], — о о < k < о о . Этот		двойной	набор	интер
валов: один набор для положительной полупрямой,			другой — для
отрицательной, будет двоичным	разложением	R1 . (Строго говоря,
начало координат выбрасывается, но для простоты			терминологии
мы будем называть это разложением R1 .)
Получив это разложение для R1 , перейдем		к соответствующему
разложению для R™. Запишем	R" как объединение «непересекаю

щихся» прямоугольных параллелепипедов, причем каждый пря моугольный параллелепипед есть произведение интервалов, встре

чающихся		в двоичном	разложении каждой	из осей. Это и будет
двоичным		разложением	R". Семейство получающихся прямоуголь
ных	параллелепипедов		обозначим через Д. Рассмотрим		оператор
5 Р	взятия	частной суммы, определенный		равенством	(35), для

каждого прямоугольного параллелепипеда. Теперь очевидно, что (например, в смысле сходимости в L 2 )

ре Д

где / — тождественное	преобразование.
Также в случае L 2	, различные блоки 5 Р ( / ) , р е А , ведут			себя
так, как если бы они были		независимыми;	они, конечно, взаимно
ортогональны. Точнее,	норма f в L 2 может		быть выражена	через
нормы Spf в L 2 , т. е.
	2	\|[5p/\|b2 = [ [ / l i		(43)

ре Д

(причем это справедливо для любого разложения R") . В случае общих L P трудно надеяться на такой результат, тем не менее можно установить следующую важную теорему.

ТЕОРЕМА 5. Пусть / e L p ( R n ) , 1 < р < оо. Тогда

( Д | V W I 2 ) , / 2 s L P ( R " ) >

124

Гл. IV.

Теория

Литтлвуда

— Пэли

мультипликаторы

отношение

заключено

между

двумя

константами

(не

зависящими

от / ) .

5.2. При изучении норм в 1> с помощью квадратичных выра

жений

очень

полезны

функции

Редемахера.

Эти

функции

fo(t),ri(t),

rm(t),

...

определяются

на

интервале [ 0 , 1 ] сле

дующим

образом: г 0 ( / ) = + 1

для

0 <

t <

! / 2

и r0(t)

—l

для

l/z<t-^.l;

далее, г0 расширяется за

единичный

отрезок

по

перио

дичности,

т. е.

r0(t

1) = г0 (0-

Для

любого

rm(t)

r0(2mt).

Последовательность

функций' Радемахера

ортонормальна

(фак

тически

эти функции

взаимно

независимы)

на [0, 1]. Их

важность

оо

для

нас

состоит

следующем.

Пусть

2 l a m l 2 < ° ° ;

положим

оо

F(t)

amfm(t).

Тогда

F(t)^

[0, 1]

при

всех

со

при

каждом таком

( 4 4 )

Ap\\F\\p^\\F\\l

[^\am?)

<BP\\F\\P

\m=0

для двух положительных констант Ар

Вр.

Таким

образом, для всех функций, допускающих

представле

ние с помощью функций Радемахера, все LP-нормы при р <

со

сравнимы.

Нам потребуется также я-мерная

форма

неравенства

( 4 4 ) . Рас

смотрим

единичный

куб

R":

Q =

{t = {t\, t2, • • •,

tn}: 0 ^

tj^

1}- Пусть

есть

набор

неотрицательных

целых

чисел

—

(mu

m2,

m „ ) . Определим

rm (t) =

r O T [ (ti) . . .

rm-n{tn).

Запи

шем F(t)

в виде F (t) =

2amrm

(t).

Если

\\F\\p=°^\F(t)

dtj",

то

верно

( 4 4 ) , когда

E | a m | 2 <

о о .

Доказательства

этих

фактов

месте. Поэтому мы даем их в приложении

Г.

5.3.

Перейдем

доказательству

самой

теоремы.

Оно

будет

не слишком длинны, но лучше будет не отвлекаться на них в этом

проведено в несколько	шагов.
5.3.1. Покажем, что	достаточно	доказать неравенство
21	\|Sp/(*)pVA	< Лр\|\|/Ир	(45)

> е Д.

1 \а

		§ 5.	Двоичное	разложение		125
для f <= L 2 (R") П L	P	(R"),	1 < р < о о .		Для доказательства	предпо
ложим, что g ^ L	2	(Rn)f\	L " (Rn),		1/<7=1, и рассмотрим тож
дество
ре Д Rn					Rn

которое получается из (43) с помощью равенства ф,-ф2 = = Т(11Ф. + Ф2|3-|1Ф1-Ф2|Ц) В силу неравенства Шварца, а потом неравенства Гёльдера

\fgdx

< j f

i v

ffiispffpyAd*<

к"

Беря супремум по всем таким

с дополнительным

ограничением

\\g\\q ^

1, получаем,

что левая

часть приведенного

выше

неравен

ства

равна

Правая

часть

мажорируется

выражением

II(21 Spf

\2У/г\р Aq,

поскольку

мы

предположили, что

неравенство

(45) выполняется для всех р

(в

частности,

для

q).

Таким

обра

зом,

получаем

(21

Spfl

(46)

Ир

\ p

предположения,

Для того чтобы избавиться от' дополнительного

что / <= L 2 , для f <= LP

выберем

GE L 2

П LР

так,

что

||^ — /|[ р -> 0;

применим неравенства (45) и (46)

к fj

и // — /у;

простым предель

ным

переходом

получаем

(45)

(46)

также и для /.

5.3.2.

Докажем

неравенство

(45)

для п—\.

Введем

некоторые

дополнительные

обозначения. Пусть

Ai — семейство

двоичных от

резков в R1, описанных в § 5.1. Занумеруем

их

/„, 1\,

...,

1т, ...

(порядок

здесь

несуществен).

Для

каждого

/ е = А [

рассмотрим

оператор

взятия

частной

суммы

его

модификацию, которую

мы сейчас определим. Пусть ф — фиксированная функция1 )

класса

С°° со следующими

свойствами:

ф(л:) =

при

1 < ^ * < 2 ,

ф(*) =

при

лг^'/г

или

х ^ 4 .

Предположим, что / — любой двоичный отрезок, скажем [2h, 2f t + 1 ]. Определим 5/ следующим образом:

(Sjff

(х) = Ф (2-**) \ (х) = Ф / (х) f (х).

(47)

Ч Функция qj остается фиксированной до конца этого доказательства.

126

Г л. IV.

Теория Литтлвуда — Пэли

и мультипликаторы

Таким образом, 5 ; ,

как

и S i , является

мультипликаторным

пре

образованием,

где

мультипликатор

равен единице на отрезке /,

но в отличие от S R мультипликатор

для Sj

гладкий.

Аналогично

определяется

S I

когда / =

[—2'1 + I , — 2 А ] . Заметим,

что

SJSJ

—

5/,

(48)

поскольку

мультипликатором

для

S j

является

характеристическая

функция отрезка

Рассмотрим

для

каждого

? е

[О, Л]

мультипликаторное

преоб

разование

rm(t)sIm.

m=0

Таким образом, Tt для каждого t

является

мультипликаторным

преобразованием

мультипликатором

tnt(x),

для которого

mt(x)=

Гт

(0ф/ж (*)-

(49)

Из определения

<р;

видно,

что

для любого х самое большее

три члена в сумме (49) могут не

равняться

нулю. Более

того,

легко доказать,

что

|/«,(*) | < Я ,

| - ^ - ( * ) | < Я / | * | ,

(50)

где В не зависит от t. Таким образом, по теореме о мультиплика тора^ (теорема 3 из § 3)

\\ftf\\p^Ap\\f\\p> f^L*()Lp, (51)

где Ар не зависит от t. Отсюда, очевидно, следует, что

(\\\ft{f)tdt\		<Ap\\f\\p.
Однако
1	1	dx dt
		dx dt
j\\ft(f)\\0Pdt=	\	l\^rm(t)(SImf)(x)
	о R1
в силу свойства (44)	функций	Радемахера. Таким образом, по
лучаем

\ { ^ \ К Щ \ < В Л П Р .

(52)

§ 5. Двоичное разложение 12?

Применим общую теорему		о	частных суммах	(теорему 4')
91 =	Аь используя (48), получаем		одномерный случай неравен
ства	(45):
	\|\|(2\|sm/(/)PY2\| < с р ц / \| \| р ,			(53)
	II \ т	I \\р

что и требовалось доказать.
	5.3.3. Продолжим рассмотрение одномерного случая; обозна
чим через			Tt оператор	Tt =		2rm(t)SIm.

Мы утверждаем, что
			ш т 1 Р < л Р Ш Р ,			К Р	< О О	,	(54)
где		не	зависит от /	и f е	L 2 f ] L p	. Обозначим		N
	Ар							Tt — ^rm(t)S,	;
								m = 0	M
достаточно доказать, что (54) выполняется с Т"								вместо Tt (при	Ар,
не	зависящем от iV и t). Поскольку каждый из операторов								5 7
является			ограниченным	оператором		в L 2 и Ьр,		то мы получаем,
что	Ttf	e L 2 f \| L p , и,		таким	образом,		можем	применить нера
венство (46), которое уже было доказано							(в случае п = 1 ) . Таким
образом,			используя (53), находим

Устремляя N к оо, получаем неравенство (54).

5.3.4. Перейдем к n-мерному случаю. Определим Г'// как опе ратор Г*,, действующий только на переменную хх. Тогда из не равенства (54) следует, что

I 7l?f (*ь

Xi,

...,

Xn) Г dxi

< Ap J* I f (x,

xn) \p

dxx

(55)

для

почти

всех

фиксированных

х2, хъ,

хп,

так

как

функция

( А С ,- >/(Д:,,

Х2

х„)) <= L 2 (R1 ) Л £ р (R1 ) для

почти

всех

фиксиро

ванных

х2,

....

хп,

если

/ е L 2 ( R " ) f ) L " (Rn).

Интегрируя (55) по

х2,

...,

хп,

получаем

Wfl^ApWfW,,,

/ e L 2 f

(56)

где

Ар

не

зависит от t\. То же

неравенство

выполняется,

если

Х\ заменить

на х2 или Хз

и т. д.

5.5.5. Перейдем к завершающему шагу доказательства. Введем дополнительные нужные нам обозначения. Пусть Д обозначает

128 Гл. tV. Теория Литтлвуда— Пэли и мультипликаторы

собой множество двоичных прямоугольных параллелепипедов в R n ;

представим любой прямоугольный	параллелепипед р е Д в виде
P = / m 1 X / m 2 X ••• ХЛп„. где / 0 ,	12,	I m , .. . — (произвольная)

последовательность двоичных отрезков, уже использовавшаяся

ранее. Таким образом, если т — (ти т2,	тп), где каждое
т, ^= 0, то р т = / т [ X 1т2 X • • • X 1тп.

Подействуем оператором Т\1? на переменную хх, затем его

аналогами на х2, хъ			и т. д. Получим
			\\Tt(f)\\p<Ap\\f\\p-				(57)
Здесь
			T t	=	S	/"«(0Spm .
где r m ( 0 =	r m	(A) ••• fmn{tn)			(CM. § 5.2). Неравенство		выполняется
равномерно	по всем		( / ь t2,	. . . ,		f n ) в единичном кубе	Q.
Возведем		неравенство		в	р-ю	степень и проинтегрируем по /,

используя свойства функций Радемахера, выраженные в (44).

Получаем, как и в аналогичном					доказательстве неравенства (52),
что			( \| д \| 5 Р т / \| ^\| < л Р ш Р
			( \| д \| 5 Р т / \| ^\| < л Р ш Р
			\ Р т е Л		/	Ир
при / е L 2 ( R n ) П			( R n ) .	Это	неравенство		совместно с замеча
ниями	из	§ 5.3.1	завершает доказательство				теоремы 5.
	§	6. Теорема Марцинкевича о мультипликаторах
6.1.	Приведем		второй	вариант		теоремы-	о ' мультипликаторах.

В значительной степени он представляет собой синтез идей, раз витых в § 4 и 5, и, таким образом, представляет собой наиболее важный результат всей теории. Для ясности сформулируем сна

чала одномерный

результат.

ТЕОРЕМА 6.

Пусть

m — ограниченная

функция

на

R1 ,

такая,

что на каждом конечном

отрезке,

не содержащем

начала

коор

динат, ее вариация

ограничена.

Предположим,

что

а)

\пг(х) | sg: В,

— со

х <

с о ;

б) j

\dm(x)

I sc: В для

любого

двоичного

отрезка

Тогда m е

Жр,

\ <р

<оо;

точнее, если

f е

L 2 Г| L p ,

то

11г т (/)|| р <л Р ш р ,

где Ар зависит только от В и р.

В общей теореме нам понадобится рассматривать R1 как две полуоси, R2 как четыре квадранта, R n как 2" «ортантов». Первый

	§	6. Теорема Марцинкевича о мультипликаторах	129
ортант в R"	будет открытым «прямоугольным параллелепипедом»,
состоящим	из	тех х, все координаты которых строго положитель
ны. Примем,		что функция ш(х) определена на каждом таком	ор-

танте и на нем непрерывна вместе со своими частными производ ными до порядка п включительно. Таким образом, функция m может быть не определена на множестве точек, где одна или бо лее координат равны нулю. При любом k ^ п пространство Rf t будем рассматривать как вложенное в Rn , а именно как подпро

странство

всех

точек

вида

(х\, л'2,

хи, 0,

0 ) .

ТЕОРЕМА 6' .

Пусть

m — ограниченная

функция на

R n

опи

санного типа. Пусть также

а)

] т ( л О | < В ;

б)

для

каждого

k, 0 <

k ^

п,

xk+i

дх1

дх2 ...

dxk dx{ ...

dxk ^

В,

где р

пробегает

все

двоичные

прямоугольные

параллелепипеды

на Rf t

(если k =

п, то нужно опустить символ

sup);

в)

условие,

аналогичное

б ) , выполняется

для

каждой из

пе

рестановок

переменных

хх,

х2, ...,

хп.

Тогда

т^Жр,

1 < р <

со;

точнее,

если

f ^ L 2

r i L p , то

\\Tmf\\p < M p l l / l l p ,

где

Ар

зависит

только от В, р

и п.

6 . 2 .

ЗАМЕЧАНИЯ.

Прежде

чем

перейти

доказательству

тео

ремы, необходимо выяснить некоторые вопросы технического ха рактера, а также связь этой теоремы с первой теоремой о муль типликаторах, рассмотренной в § 3.

6.2.1.	Теорема 6	может показаться более сильной, чем			тео
рема 6 ' для случая п— 1, так как во второй			теореме	фигурирует
условие	непрерывной	дифференцируемое™ т(х) вне		начала	ко
ординат,	в то время	как в первой требуется	только	ограничен

ность вариации на интервалах, отделенных от начала координат. Однако в действительности эти результаты эквивалентны, так как если т удовлетворяет условиям теоремы 6, то можно найти по следовательность {nij(x)} (где nij(x) бесконечно дифференци руемы вне начала координат), для которой выполняются нера

венства теоремы 6 ' равномерно но /, такую, что	т^(х)-*т(х)
почти всюду. Отсюда следует, что Тт -> Тт, и, таким	образом,

эквивалентность доказана. Подробности мы предоставляем тем читателям, которых заинтересует это утверждение.

6.2.2. Аккуратности ради сделаем следующее замечание. Как мог уже догадаться читатель, введение степеней двойки в опре деление двоичных прямоугольных параллелепипедов в теоремах 5, 6 и 6 ' вовсе не обязательно. Двоичные прямоугольные параллеле-

БИ, Стейн

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ