Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 355 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Гл. П. Сингулярные

интегралы

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.

Пусть

Т — ограниченный

линейный

оператор

пространстве

L 2 ( R " ) . Для того чтобы Т коммутировал

со

сдви

гами, необходимо

и достаточно, чтобы

существовала

ограниченная

измеримая

функция

гп(у)

(мультипликатор), такая, что

(Tf)(y)

m(y)f(y)

для всех

f е

L 2

( R " ) . Тогда \\Т\\ =

||m|U.

Заметим,

что в том частном случае, когда

оператор Т ограни

чен также в L ^ R " ) ,

имеет

место равенство m(y)~{i(y),

при

этом

f*li-

2. Сингулярные

интегралы: существо

дела

2.1.

Два предложения,

сформулированные

выше, показывают,

что структура операторов, инвариантных относительно сдвига и

ограниченных	в D или L 2 , проста	и ясна. Изучение	операторов,
инвариантных	относительно сдвига	и ограниченных	в LP ДЛЯ не
которого р ф 2, но не для всех р, является и более			сложным, и


до сих пор не законченным. Однако для одного важного							класса
операторов	уже многое сделано. Этот класс				состоит	из операто
ров свертки	с сингулярным		ядром,	имеющим	особенности		только
в одной конечной точке (начале координат)					и на бесконечности.
Изучение ядер, особенности			которых лежат на множествах				более
общих, чем изолированные			точки,	является	важной	проблемой,
которая, видимо,		послужит	основой	для будущей теории.
Приведенная		далее теорема — сущность основного				результата.

Она сформулирована с несколько меньшей общностью, чем более

полное утверждение в § 3. Мы не ставили здесь					своей	задачей по
лучить	более точный		результат, так как это затруднило бы пони
мание	основных	идей	теории.
2.2.	ТЕОРЕМА	1. Пусть Z ( E L 2 ( R " ) . Предположим,				что
а)	преобразование		Фурье	от К существенно	ограничено:
			K W K f l ,			(1)
б)	вне начала координа1			К принадлежит классу С1		и
			\VK(x)\<B/\x\n+1.			(2)
Для всех [ e l 1		C\.LP	положим
		(Tf)(x)=		J K(x-y)f(y)dy.		(3)
Тогда	существует постоянная			Ар, такая, что
		\\T(f)\\p<Ap\\f\\p,\<p<°o.				(4)


	§ 2.	Сингулярные		интегралы: существо		дела			41
Следовательно,	можно		расширить оператор		Т	на всё	L?	по	не
прерывности.	Постоянная Ар зависит только от р, В и						размерности
п. В частности, она		не	зависит от нормы К в L 2 .
Важно сделать		следующее		замечание.	Условие, что			К е	L 2 ,

приводится с тем, чтобы иметь прямое определение Tf на плотном

подмножестве 1> (в данном случае

L 1 П L p

) , и может

быть заме

нено другими

условиями

(такими,

как,

например,

i ( e L f

- f

L 2 ) .

Для

приложений

предположение,

что К е

L 2 , несущественно,

поскольку его можно обойти с помощью

подходящего

предельного

перехода; это

можно

сделать

силу

того,

что

окончательные

оценки

в теореме 1 не зависят

от

нормы

L 2

. (См. ниже

теоре

му

2 в § 3.2.)

2.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

ПЕРВЫЙ

ШАГ. Оператор

Т слабого

типа

(2,2).

Применим

преобразование

Фурье,

тогда

(Tf)~

(у)

k (у)

f (у)

для / е

V П L 2 и по условию

а)

и теореме

Планшереля

\\T(f)\\2<B\\f\\2.

(5)

силу

(5) оператор

Т имеет

единственное

расширение4 )

на

всё

L 2

с сохранением неравенства

(5). В

силу

замечаний,

сделанных

в § 4.1 гл. I , получаем

m {х:

I Tf (х) | >

а} < (В2 /а2 )

| /

f dx,

f s

L 2 (R").

(6)

2.4. ВТОРОЙ

ШАГ. Оператор

T слабого

типа (1,1).

Разложим

/ e L ' f R " )

на

две части

f — g

Ь,

где

g —

«хо

рошая

часть»,

равная

на множестве,

где

достаточно

мала;

Ь — «плохая часть» с

носителем

на

множестве,

где

достаточно

велика,

и рассмотрим оператор

Tf.

Оказывается,

что

хорошая

часть g

принадлежит

L 2 ( R n ) ,

вышеприведенный

результат

для

L 2

дает

подходящую

оценку для

T(g).

Припомнив

то,

что

было

сказано о гильбертовых преобразованиях, можно догадаться, что будет использовано для работы с «большой» частью Ь. В инте грале

- L

основным препятствием для получения элементарной (но нужной нам) оценки является появление логарифма при интегрировании

\/х, т. е. то, что

In l/h, когда h —• 0. Идея состоит в том,

') Речь идет о линейном расширении. — Прим. ред.

42 Гл. I I . Сингулярные интегралы

чтобы	заменить (7) на
			L
что можно сделать, если				\| b(y)dy=0.	Заметим, что		1
что можно сделать, если				\| b(y)dy=0.	Заметим, что	х — у	х
			-	L
~-^?>	если х		достаточно	удалено от	отрезка [ — L , L] (например,
					С dx
если	\x\~^2L),		и что, с другой стороны, L			- ^ - - ^ 1 .
					\x\>2L
Таким образом, можно обойти трудности, связанные с лога
рифмом,		если	интегралы	от Ъ на подходящих интервалах			(кубах
в случае		R")	равны нулю. Это свойство b выражено			далее	в (11).

Поскольку мы заменили (7) на (8), нужно ввести аналоги (8) для каждого встречающегося куба. Оказывается, что получающуюся в результате сумму можно мажорировать интегралом Маршшке-

вича относительно функции расстояния (формула (14)

из гл. I ) .

Привлечение леммы § 2.3 из гл. I дает необходимую для

получения

окончательных

оценок

информацию.

2.4.1.

Обратимся

к деталям. Нам нужно

найти

постоянную

С,

т а к у ю ' ) ,

что

/ е ! ( R " ) .

(9)

m{x:\T(f(x)\>a}^%

\\f(x)\dx,

Для этого фиксируем

а и применим

следствие

теоремы

4 из

гл

I ,

§ 3.4,

для

этого

|/(*')!•

Получим

F[)Q,

F(]Q

а, х е

оо

внутренности

попарно

не

| / (х)

О, =

\J Q,-, причем

пересекаются,

/=-

m ( Q ) < - § -

j\f\dx

(Q-j\f(X)\d.:

x*CCn

Положим

/ (x)

для

x <= F,

х )

= ]

щ п

л - !

f(x)dx

для

(10)

m{Qj)

') Для упрощения записи неравенств примем следующее условие: до

конца

этой главы С будет обозначать постоянную

(не обязательно одну и ту же в раз

ных случаях),

зависящую

только от. константы.В из

условий

теоремы и размер-

юности

п.

			§	2.	Сингулярные		интегралы: существо		дела	43
тем	самым		g(x)	определена			почти всюду. Отсюда и из того, что
\(х)	=	g{x)	+ b(x),		следует,		что
					Ь(х)	= 0	для	X G F ,		(11)
			J	b (х) dx — 0			для	каждого куба Q,.
			Q,
	В силу		того, что		Tf =	Tg + Tb,		получаем
m{x:		\Tf(x)\>a}^m{x:				\| Tg (x) \ > a/2} +			m [x: \	Tb(x)\>a/2},

таким образом, достаточнодоказать неравенства, аналогичные искомому неравенству (9), отдельно для обоих слагаемых правой части.

2.4.2. Оценка для Tg. Так как в силу (10)


II g $ =	{ I g (х) I2	dx = J I g (x) f dx + J I g (x) I2 rf* <
J	a\| / (x)\dx		+	C2 a2 w (Q) <		(г2 Л - f 1) a
то g <= L 2 ( R " ) . Применяя			к g	неравенство		(6), относящееся	к слу
чаю пространств	L 2 , получаем
	m{x:	\Tg(x)\>			а/2)^Wfl.		(12)

2.4.3.Оценка для Tb. Запишем

						\Ь (х),		х е= Q / f
			Ь ! { Х ) =			{	О	, * Q , .
Тогда	=		И (7'6)(Х) =				2/(7'6/ )(ДС),		где
		П>/(*) =			J	K(x-y)b,(y)dy.			(13)
Мы	сможем	получить		желаемую				оценку для (13), когда х^Е
[F есть дополнение			к (	J	Q,j .
Прежде	всего
	Tb,	(х) =	J [К (х -			у)	- К (х - у1)]		Ь, (у) dy,

44 Гл. //. Сингулярные интегралы

где	у1 — центр куба Q/, поскольку J" bj(y)dy~Q.				Из	того,	что
				О/
\| V/C \| < В \ х		Г " " 1 , следует, что \| К(х-у)-К(х-у')			\|<С	/	' " "
где	у1 — (переменная)		точка	на прямолинейном	отрезке, связы
вающем у1		с ( / ( e Q 3 ) .	Далее	используем замечание из		§ 3.4	гл. I

о том, что диаметр Qj соизмерим с	его расстоянием до F. Это
означает, что для фиксированной точки		х из F при у, меняющемся
на Qj, все расстояния из множества		[\х — у\) соизмеримы друг

сдругом. Следовательно,

^H , ) | < C d i a m ( Q / ) J J A ^ r .

Однако

\\Ъ{у) \dy^	\\f(y)\dy	+ Ca \dy,
Q,	Q,	Qj

так что

\\b(y)\dy^(\+C)am (Q,).

Отсюда следует, что если обозначить через 6(у) расстояние от у

до F, то в силу того, что	diam	(Qj) m ( Q ; ) ^ C			jb(y)dy,	имеем
\ТЬ,(х)\^Са	J u	^ + 1	dy,		xe=F.
Наконец,	Q!
Наконец,
\(Tb)(x)l^C<x	j — ^ M ) d		y )	X (	= F .	(14)

Получена оценка оператора Г с помощью интеграла Марцинкевича, что мы и обещали ранее. Оставшаяся часть доказательства сравнительно проста.

Используя лемму из § 2.3, получаем, что
J\| Tb(x)\dx^Cam(Q)^C\\f]\1.	(15)
F
Непосредственно из этого неравенства следует, что
m { * e = f : \| П ф ) \| > а / 2 } < - ^ \| \| / \| \| , .	(16)

§ 2. Сингулярные

интегралы: существо

дела

Так как при этом m ( c F ) = m ( Q ) < — [| / т о нами получена оценка для ТЬ:


		ш{х: \| П ф ) \| > а / 2 } < - £ [ \| Л 1 1 .
Объединяя ее с аналогичным неравенством							( 1 2 ) для Tg,			получаем
(9), т. е. Т является				оператором слабого		типа		( 1 , 1 ) .
2 . 5 . ПОСЛЕДНИЙ			ШАГ. ^-неравенства.			•
а)	Для р =	2 см. § 2.3.
б)	Для 1 <	р <		2 достаточно проверить справедливость ус
ловий	интерполяционной теоремы				(§ 4.2 из			гл. I) для		случая
г = 2. Оператор Т			корректно определен				на	L 1 (R n ) +	L2(Rn)		и
линеен. Он является				оператором слабого			типа ( 1 , 1 ) в		силу		§ 2.4
и слабого типа		( 2 , 2 )		в силу § 2.3, причем		константы в соответствую
щих	неравенствах		зависят только		от Б и		размерности		п (В — и з

условий данной теоремы). Таким образом, интерполяционная тео рема показывает, что

	\\T(f)\\p<Ap\\f\\p,					1<р<2,		/<=/,',
где Ар	зависит только от В, р и п.
в)	Для 2 < р <		сю используем сопряженность пространств L p
и 'W ( 1 / р + \/q =		1 ) и то, что для L p					теорема доказана. Заметим
следующее: если			функция		гр	локально		интегрируема		и	если
sup \| J	г\|зф dx\| =	Л <		сю, где	супремум берется по всем					ф с	ком
пактным носителем, для которых						\| ф \| ) Д ^ 1 ,		то t\|?eZ.p и \|\|^\|\|Р =Л').
С учетом этого возьмем функцию							/ е L 1 Л L p ( 2 <		р < сю) и
функцию ф, такую, как указано						выше. В		силу того,	что	i ( e L 2 ,
и в силу выбора / и ф двойной интеграл
			J	J К(х-		y)f(y)y(x)dxdy
			R"	R"

сходится абсолютно, поэтому он равен

Однако	теорема	справедлива для		1 < q <	2 (с	ядром	К(~х)
вместо	К(х) и с	той же самой	постоянной		Aq).	Следовательно,
\| К (х — у) Ф (х) dx принадлежит			f	и его	норма	в V	мажори-

руется выражением Aq, т. е. ||ф||д^Лд. Из неравенства Гёльдера

') Доказательство этой теоремы см., например, в книге Рисса и СекефальвиНадя [1]. — Прим. ред.

46 Гл. I I . Сингулярные интегралы

следует,	что \|	(Tf)<pdx =	\ I \ ^	Aq\\f\\p, и переход к супремуму
по всем описанным выше ср дает
		\\Tf\\P<Aq\\f\\p,			2 < р < о о .
Таким образом, доказательство теоремы завершено.
		§ 3. Сингулярные			интегралы:
		некоторые	обобщения		и	варианты
3.1.	Условия	теоремы	1 были	двух		различных типов. Усло

вие а), связанное с /Атеорией, было сформулировано в самой общей, хотя и не в самой полезной форме. Второе условие б ) , обычно связанное с оценкой слабого типа (1,1), может быть не сколько улучшено. Это улучшение интересно тем, что, по-види

мому, оно дает по существу самое слабое условие, для

которого

проходит доказательство,

использованное

теореме

1. Это

усло

вие имеет следующий

вид:

\K(x-y)-K(x)\dx^B',

\у\>0.

(2')

\х\>2\у\

Читатель может легко проверить, что

из

условия

(2)

следует

условие

(2'). Из

метода

доказательства

теоремы

1 вытекает

сле

дующее

СЛЕДСТВИЕ.

Результаты теоремы

справедливы,

если

усло

вие

б)

{неравенство

(2))

заменено на условие

(2'),

а константа

В на константу В'.

Доказательство то же, что и в теореме

1, только

при

доказа

тельстве неравенства слабого типа (1,1)

нужно

сделать

некото

рые

изменения,

которые

мы сейчас

укажем. В этом

варианте

доказательства мы не используем замечание о том, что диаметры кубов Qj соизмеримы с их расстоянием до F= ^ ( j Q / j (если, ко нечно, это последнее имеет место; мы хотим показать, что в дей ствительности это условие не является здесь необходимым!). Мы обходимся в этом пункте следующей простой конструкцией. Рас

смотрим для каждого куба Q/

куб

Q) с

тем

же центром

у*,

но

растянутый в

2п1г

раз. Имеем

Q/czQ%

если

Q* =

IJ Q/,

то

Q a

m (Q*) <

(2п!')п

если

F" = CQ\

то F* cz F;

2) если x<£Q),

то \х — ys\^

2\у — yj\

для всех

y^Qj,

как

показывают простые геометрические

рассуждения.

Другое отличие

состоит в том, что мы

не

мажорируем |П>(л:)|

интегралом, содержащим

расстояние, а оцениваем его

прямо;

как

§ 3. Сингулярные интегралы: некоторые обобщения и варианты

следствие	этого		искомая		оценка		получается	на		множестве	F*,
а не F. Как		и при доказательстве					теоремы,
		Tb,	(х) =	J [К(х-у)-К(х-			у1)]	Ь,	(у)dy,
				Q,
значит,
\\Tb(x)\dx^%				J	{			\K(x-y)-K(x-y')\\b(y)\\dydx.
В силу 2)	для у		e Q /
{				\K(x-y)-K(x-y{)\dx^
				<		j				\K(x'-y')-K(x')\dx'^B';
					\x'\^2\y'\
мы используем здесь условие теоремы. Таким образом,
		\\Tb(x)\dx^B'^i				j\b(y)\dy^C		Ш , .			(17)
	е*				1	Q,
Тем самым		мы	приходим		к неравенству (15)				в	доказательстве
теоремы 1; далее все, как и раньше.
3.2. Один		элемент		в наших		формулировках		все		же неудовлет

ворителен по следующим соображениям. Ограниченность опера

тора Т в		смысле	L 2 была	принята по существу как условие тео
ремы, а не получена как следствие некоторого					условия на ядро Л";
в	число	условий	теоремы	включено постороннее		предположение,
K	^ L 2 .	По этой	причине	наши результаты	не	относятся прямо

к сингулярным интегралам в смысле «главного значения», т. е. таким интегралам, которые существуют в силу взаимного сокра щения положительных и отрицательных значений подынтеграль ной функции. Однако из того, что уже сделано, сравнительно просто получить следующую теорему, которая содержит все ин тересные случаи.

ТЕОРЕМА 2. Пусть ядро		К(х)	удовлетворяет	условиям
	\К(х)\^В\хГп,		0<\х\,		(18)
{	\K(x-y)-K(x)\dx^B,			0<\у\,
\х\>2\у\
U
\|	K{x)dx	=	0, 0 < Ri < R2	< оо .	(19)

48 Гл. //. Сингулярные интегралы

Для

f е

(Rn ), 1 <

р <

оо,

положим

Те(П(х)=

I f(x-y)K(y)dy,

е > 0 .

(20)

! » 1 > е

Тогда

II М / )

11 < Л

| | Д

(21)

где

Ар

не

зависит

от {

е.

Кроме

того,

для

любой функции

f^Lp{Rn)существует

lim

Те(/)

T(f)

в смысле

сходимости

в L p .

Оператор

Т, определенный

таким

образом,

удовлетворяет

нера

венству

(21).

Свойство сокращения положительных и отрицательных зна чений функции, о котором мы упоминали выше, содержится в ус ловии (19). Эти предположения, рассматриваемые вместе с (18), позволяют доказать ограниченность в L 2 , а с нею и сходимость

вV усеченных интегралов (20).

3.3.Ограниченность в смысле L 2 доказывается в следующей

лемме.

ЛЕММА. Пусть К удовлетворяет				условиям		приведенной		выше
теоремы с константой В, и пусть
	Ке(х)	=	К (х),	если	\| х \| ^	е,
	Ке(х)	=	0,	если	j х \| < е.
			0,	если	j х \| < е.
Тогда,	очевидно, / ( e e L 2 ( R n ) ; для преобразования						Фурье	полу
чаем	оценку
	sup\	Ке(у)\<СВ,			е > 0 ,			(22)
	у

где С зависит только от размерности п.


Докажем	неравенство (22) вначале для частного случая							е = 1 .
Заметим, что с помощью				почти	тривиальных оценок можно
доказать, что	К\(х)		удовлетворяет тем			же условиям	(18) и	(19),
что и Л'(*)>	3 3	исключением		того,	что	константа	должна	быть
заменена на	СВ,	где	С зависит только			от размерности п. Далее,

1*1<К

U K I / M

§ 3. Сингулярные интегралы: некоторые обобщения и варианты

В силу

того,

что

К\ удовлетворяет

условию

(19),

выполняется

равенство

e^-vKi

(х) dx

. [е2*1Х-У -

1] К , (x)

dx.

| * | < 1 / Ы

l « l < i / l i / l

Следовательно,

ввиду (18)

/ i

l <

C | 0 |

{

\x\Kl(x)\dx^C,B.

\х\<ч\у\

Для того

чтобы

оценить/2 ,

выберем z = г (у),

такое,

что

егп1у-г=

— 1 .

Например,

можно

взять z =

-jjf]2'

при этом

| z | =

J J J

Но

Ki (х) е^'У*

V * f

[Ki (х)

~Ki(x-

z)} e2™-v

dx,

так

что

lim

Ki(x)e^l*-vdx=^

^ M l / | } | < U I < «

4-Hm

. f

[Ki{x)-Ki(x-z)]e^lx-ydx

\j\y\<\x\<R

—

Ч2

-Ki{x)e'inix-ydx.

f t / U K I х + г П

\x\<l/\y\

Последний интеграл берется по области, содержащейся в сфери

ческой оболочке

1/2\у\ ^

\х\ ^

U\y\t

и ограничен

в силу того,

что

j К\ {х)

\ <| В\х\~п.

Первый

интеграл

в правой

части

мажорируется

выражением

\ К\{х

— z) — K\{x)\dx.

Так

как

|г| =

( 2 | i / | ) - J , то

\х\>\1\у\

аналогичное

(18),

примененное

по

условие,

К,и

казывает,

что

этот

интеграл ограничен константой СВ. Учитывая

оценки для / 1 и 1% получаем доказательство леммы для

К\.

Для

того' чтобы

перейти

к случаю

общего Кг,

сделаем

про

стое замечание, значение которого существенно для всей теории,

представленной

этой

главе.

Пусть

те — растяжение

раз,

е >

т.

е.

(xj)(x)

= f(ex).

Тогда

если

Г —оператор

свертки:

Г(/) = ф * / =

| у(х

— y)f

(y)dy,

то xg-iTxe

есть

оператор

свертки

с ядром фе , где ф8(лг) = 8-п ф(8_ 1 д;). В нашем случае, если Г соот ветствует ядру К (х), то т е - ! Г т е соответствует ядру г~пК (г~1х). Заметим, что если К удовлетворяет условиям нашей теоремы,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 355 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ