книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

92

Гл.

I I I .

Преобразования

Рисса,

интегралы

Пуассона

< о о ) .

Первый

класс состоит

из

всех

преобразований

вида

Г(/) =

С . / + Нт

f uMf(x-y)dy,

(36)

где

с — константа, Q — однородная

функция

степени 0,

бесконечно

дифференцируемая на сфере Sn~l,

среднее

значение

которой

на

этой сфере равно нулю. Второй

класс

задается

преобразованиями

Т, для

которых

Ж(у)

= т(у)!(у),

(37)

где

мультипликатор

т — однородная

функция

степени

0, беско­

нечно дифференцируемая на сфере.

ТЕОРЕМА

6.

Два

класса преобразований,

определенные

форму­

лами

(36)

и

(37) соответственно,

совпадают.

Пусть

Т — преобразование

вида

(36).

Тогда по

теореме

из

§ 4.2 гл. I I (см. также формулу (6)

из данной

главы)

Т есть

пре­

пг(х) = с+

| Г(х-y)Q(y)do(y),

| х | = 1 .

(38)

sn-\

00

оо

^(i/)

=2

Yk(y),

т(х)=%Ук(х)

N

N

(39)

^N{y)

=

^Yk{y),

mN(x)=^Yk{x).

Тогда по предыдущей теореме, если

Q =

QN,

то т. (х) = ты (х),

где

Yk(x)

=

ykYk(x);

K k .

Но

тм(х)-

mN(x)=

J"

Т(х'- y)[QM(y)

—

QN(y)]da(y).

sn-l

Далее,

sup I тм{x) — mN

(x)

]<

< ^ s up

J

\ T{x-y)?do(y)J(^

J*

\QM-QN\2do(y)J^0

§ 4. Дальнейшие

результаты

Ге

J"

Тх-У^

Ф (

у )

'

\х-у\>е

где

Q

удовлетворяет

условиям

теорем

3

и

4

из

гл. И. Тогда l i m Тй

(d\i)

(х)

е-»0

существует почти всюду . См., например,

Зигмунд

[8], а

по

поводу

пункта

в)

Кальдерон

и

Зигмунд [ 1 ] . '

4.2. Пусть функция и{х,у)—гармоническая

в

R^ . + 1 .

а)

Если

1 <

р

=£J оо,

то

и(х,у)

есть

интеграл

Пуассона

для

функции

из

L J , ( R n )

тогда

и только

тогда, когда

sup \ и(х,

у)\\р<°о.

у>о

б)

Функция

и(х,у)

есть

интеграл

Пуассона

меры

из

$ ( R " )

тогда

и

только

тогда, когда

sup

|| и (х, у)

||, <

оо.

у>о

См., например, Стейн и Г. Вейс [2]. См. также § 1.2.1

в гл. V I I .

4.3.

Пусть / e i 2 ( R " ) ,

ft — Rjtf)

и

UJ(x>У)

—

интеграл

Пуассона

для

f}.

Тогда

«,(*,

</)=

J

Qf{t)f{x-t)dt,

где

0U)ix)

=

c

—

J

J

L

—

( М 2

+

г/2)

2

4.4. Этот результат так же, как и результат теоремы 3 из § 2.3, можно

обобщить

на

L P ( R " ) ,

1 <

р <

оо.

Подробности

см. у Хорвата [1]; см. также

§ 3.2 в

гл. V I I . Случай

п =

1 рассмотрен

в

книге

Титчмарша

[1], гл.

5.

4.5. Имеет смысл отметить следующие

легко

доказываемые

факты.

а)

Пусть

s& — алгебра операторов на

L 2 ( R n ) ,

порожденная

(алгебраически)

преобразованиями

Рисса

R i , R2,

R " .

Тогда

каждое

преобразование

Рисса

высшего порядка принадлежит $£.

б)

Замыкание

алгебры

$4- в сильной

операторной

топологии

совпадает

с

алгеброй ограниченных

преобразований на

L 2 ( R n ) ,

коммутирующих

со

сдвигами

и растяжениями.

4.6. В § 4.6—4.8 мы будем считать,

что

я

3.

(При

п =

1,

2

требуются

незначительные изменения.) Обозначим через SO(n)

группу

собственных

враще­

ний в R " , а через SO(n—1)

подгруппу тех вращений, при которых ось Xi не­

подвижна. Тогда для любого k подпространство

полиномов

(*) е S^f t ,

кото­

рые

инвариантны

относительно

подгруппы

SO(n—1),

т.

е.

для

которых

Рк(р"1*)

=

Рк(х),

p e S O ( n — 1 ) ,

является

в

точности

одномерным. См.

«Ана­

лиз

Фурье»,

гл. I V .

4.7.

Пусть

V — конечномерное

гильбертово

пространство

и

p-+Rp

есть

непрерывный

гомоморфизм из SO (и)

в группу

унитарных

преобразований

на

V.

Пара (Rp, V) называется представлением

группы

SO(n).

Представление

назы­

вается

неприводимым,

если

не

существует

нетривиальных

подпространств

про­

странства

V,

инвариантных

относительно

преобразований

R p

,

р е . SO (я) .

Два

96

Гл. I I I . Преобразования

Рисса,

интегралы Пуассона

представления

(Rp\ V j ) и (Rp\ V 2 )

называются эквивалентными,

если суще­

ствует такое унитарное соответствие

V : Vi-*-*-

V%, что U~^R^U

—

Rp\

( / ? р Р М )

= ^ ( р - ' * ) .

p s S O ( r t ) ,

Pes*/,.

Это представление неприводимо.

б)

Неприводимое

представление

(Rp,

V) группы

SO(n)

эквивалентно

не­

приводимому представлению, полученному, как выше, с помощью

сферических

гармоник, тогда и только

тогда, когда

существует

такой

ненулевой

элемент

н е ! ' ,

что

Rp (v) — о Д л я

в с е х

Р е SO (п — 1).

По поводу общей теории представлений групп вращения см. Г. Вейль [1],

Бёрнер

[1]. Результаты

§

4.7 могут

быть

выведены

из результатов

§

4.6 с

по­

4.8. Пусть

(Rp,

V) — неприводимое

представление

группы

SO(n),

как

и в

§ 4.7.

Предположим,

что f-*-T(f)—ограниченное

линейное

преобразование

из

L 2 ( R n )

в

L 2

( R n

, V ) ;

таким

образом,

преобразование

Г

переводит

комплексно-

значные функции в функции со значениями в пространстве

V.

а) Предположим, что преобразование Т коммутирует со сдвигами и растя­

жениями

и действует

согласованно с представлением

{Rp,

V)

в

том

смысле,

что

р Г р - Ч / ) -

RPTf.

Тогда

Т

=з 0,

за

исключением

того

случая,

когда

представление

(Rp,V)

эквивалентно

представлению, получаемому

с

помощью

сферических гармоник,

как в § 4.7, а ) .

б)

Если

представление

(Rp,

V)

получено исходя из сферических гармоник

степени k, то Т определяется однозначно с точностью

до постоянного множи­

теля. В частности, если р\, Рг,

р \ — б а з и с

в

пространстве

линейных

функ­

ционалов на V, то для любого /

fij(Tf)

при

k ^

1

есть

преобразование

Рисе*

высшего порядка степени k, а при

k

=

0

отличается

только

постоянным

мно­

жителем от единичного преобразования.

4.9. Следующее замечание будет полезно в дальнейшем.

Пусть

и(х,у)—

интеграл

Пуассона

от /,

f e Z . p ( R n ) .

Тогда

sup

ди .

.

<A(Mf)

(х).

(*> У)

» > 0

Указание:

применить теорему 2

к

случаю

q> (х) =

[Рх

(х)].

Более

общий

результат

этого типа заключается

в

том,

что

sup

|

Du

(х,

у)\<Аа

(Mf)

(х),

Теория

Литтлвуда — Пэли

для

одномерных

рядов

Фурье

вместе

с ее

применениями

является

одним

из наиболее

далеко

продвинутых

разделов гармонического

анализа.

Первоначально

эта теория развивалась по трем

основным

направлениям,

каждое

из которых по-своему интересно.

1) Вспомогательная ^-функция,

которая

имеет

многочислен­

ные приложения и, кроме того, иллюстрирует тот

принцип, что

наиболее плодотворно различные аналитические свойства

(такие,

как конечность

LP-норм,

существование

пределов

почти

всюду

и т. п.) описываются в терминах

соответствующих

квадратичных

выражений.

2)

«Двоичное» разложение функции

в анализе

Фурье.

3)

Теорема

Марцинкевича

о

мультипликаторах,

дающая

очень

полезные

достаточные

условия

для

Lp-мультипликато-

ров.

тоды

теории функций действительного переменного, изложенные

в гл.

I и I I .

§ 1. g-функция Литтлвуда — Пэли

99

ляющий дать полезную характеризацию LP-нормы

функции, за­

данной на R™ в терминах

поведения ее интеграла Пуассона. Это

описание будет

использовано

не только в этой, но и в следующей

главе, связанной с функциональными

пространствами.

Определим

g-функцию

следующим

образом. Пусть feELJ>(Rn ),

и пусть и(х,у)

— ее интеграл

Пуассона, как и в гл.

I I I , § 2:

и(х,у)=

J

Py(t)f(x-t)dt.

д2

Пусть А обозначает

оператор

Лапласа в R^+ 1 , т. е. A = - ^ j - +

+ V . — у ; V — соответствующий

градиент:

\Vu(x,

t / ) l 2 =

| ^ - | 2 + | V , « ( x ,

у) р,

п

где | Vxu (х,

I 2 =

-Q%- • В этих обозначениях определим g(f) (х)

равенством

S(!)(x)=\J

\Vu(x,y)?ydyj

.

(1)

Приведем основной результат

для ^-функции.

оо

справедливо равенство || g (/) Ц2, = j " J г/| Vw(л, г/) fdxdy.

Двойной

и(х, у)=

jf(t)e-2nitxe-2ll^^dt