книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций
.pdf
PRINCETON MATHEMATICAL SERIES
S I N G U L AR I N T E G R A L S
AND
DIFFERENTIABILIT Y P R O P E R T I E S
OF FUNCTION S
Ella s M. Stein
Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 1970
Ил а й е с М. С т е й н
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
СВОЙСТВА
ФУ Н К Ц И Й
Перевод с английского В. И. Буренкова и Э. Э. Пейсахович
Под редакцией В. И. Буренкова
Издательство «Мир» Москва 1973
У Д К 517.2 + 517.3 + 6 1 i u l |
|
|
|
|
Г О С . П У Б Ж Г й Т г г а |
-| |
г\ |
• |
|
Н А У Ч Н О - Т Е Х , |
. |
|
П |
U |
Книга посвящена теории функций многих вещественных пере менных. В ней систематически изложены результаты исследований последних десятилетий по сингулярным интегралам и связанным с ними интегральным преобразованиям, по мультипликаторам интегралов Фурье, граничным значениям гармонических функций многих переменных и, наконец, по классификации свойств диф-
ференцируемости |
функций на основе |
их представимости интегралами |
||
типа |
потенциала |
или поведения |
их |
разностей. Подобный подход |
к изучению дифференцируемое™ |
функций многих переменных не осве |
|||
щен |
в отечественной литературе. |
|
|
|
Книга написана чрезвычайно ясно и сочетает достоинства хо рошего учебника с обстоятельностью монографии. Она интересна ма тематикам многих специальностей, прежде всего специалистам по тео рии функций, и полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
0228—019 |
Л |
„ |
041(01) 73 |
® |
Перевод на русский язык, «Мир», 1973 |
П Р Е Д И С Л О В И Е Р Е Д А К Т О Р А П Е Р Е В О Д А
Предлагаемая читателю книга принадлежит перу известного американского математика И. М. Стейна. Значительная ее часть посвящена изложению теории дифференцируемых функций многих переменных. В течение последних двух десятилетий эта теория бурно развивается. Появилось большое число работ, посвященных как самой теории, так и ее, приложениям к дифференциальным уравнениям в частных производных и к другим разделам матема тики.
Дифференциальные свойства функций удобно описывать в тер минах тех или иных функциональных пространств. Наибольшие применения получили пространства Соболева. При их использо вании появилась необходимость распространить теорию этих про странств на случай нецелых порядков дифференцирования. На это было потрачено немало усилий многих математиков, в том числе и автора книги. В результате была разработана теория различных пространств с дробным порядком дифференцирования. Наиболее важными из них оказались пространства Никольского — Бесова, обозначаемые в этой книге черезЛ^ 9 (Rn ), а также пространства бес селевых потенциалов 3?a(ltn), совпадающие при целых а с простран ствами Соболева.
Существует целый ряд подходов к изучению пространств диф ференцируемых функций: с помощью интегральных представлений, с помощью теории приближений, на основе теории интерполяции, на основе теории сингулярных интегралов и др. Недавно появи лась книга С. М. Никольского [3*], в которой изложена теория та ких пространств с точки зрения теории приближений.
Весьма привлекательным представляется также изложение этой теории, осуществленное в настоящей книге. В первых ее гла вах исследуются свойства сингулярных интегралов; на основе ма териала этих глав и строится изложение теории пространств диф ференцируемых функций. В книге рассмотрены и другие вопросы (относящиеся, например, к пространствам гармонических функ ций), в которых оказывается полезным применение сингулярных интегралов. Нужно отметить, что значительная часть материала, представленного в книге, до сих пор содержалась только в жур нальных статьях.
Особо следует сказать |
о стиле книги. Автору удалось выбрать |
из огромного количества |
результатов наиболее существенные и |
6 Предисловие редактора перевода
наиболее интересные, и это позволило ему при сравнительно не большом объеме книги изложить их достаточно подробно. Автор постоянно заботится о том, чтобы изложение было ясным и не гро моздким; он все время обращает внимание читателя на идейную сторону дела. В конце каждой главы имеется параграф, в котором
приводятся |
(уже без доказательств) результаты, |
тесно связанные |
с содержанием главы и дающие представление |
о разнообразных |
|
возможных |
обобщениях и углублениях. |
|
Можно быть уверенным, что книга И. М. Стейна окажется весь ма полезной и интересной для советского читателя.
Специально для русского издания автор внес добавления в спи сок литературы.
При работе над переводом мною написаны два дополнения (к гл. V и V I ) . В них, с одной стороны, приводятся замечания, непо средственно связанные с материалом этих глав, и, с другой сторо ны, указывается ряд результатов из тех разделов теории, которые особенно интересуют советских математиков. Сделан также ряд подстрочных примечаний, расширена библиография.
В. Буренное
КРУССКОМУ И З Д А Н И Ю
Яблагодарен В. И. Буренкову и Э. Э. Пейсахович, чьими стара ниями эта книга стала доступной широким кругам советских чита телей. Я признателен им за тщательное исправление многих мел ких неточностей и особенно В. И. Буренкову, написавшему ценные
добавления к главам V и V I .
И. М, Стейн
Ноябрь 1972
П Р Е Д И С Л О В И Е
Эта книга возникла |
на основе курса |
лекций, прочитанного |
|||
мною |
в Орсэ |
в 1966/67 |
учебном г о д у 1 ) . Моей целью |
при чтении |
|
этих |
лекций |
было изложение некоторых |
необходимых |
основных |
|
сведений и в то же время выявление существенного единства не скольких различных ветвей анализа. Эти ветви — существование и ограниченность сингулярных инте^альных операторов, гранич ное поведение гармонических функций, дифференциальные свой ства функций многих переменных. Можно сказать, что общее ядро этих вопросов служит одним из главных объектов исследований в n-мерном гармоническом анализе в течение последних двадцати лет, и можно ожидать, что оно и впредь будет иметь такое же зна
чение. Возможности этого направления |
хорошо |
показывает |
уже |
||||
простой |
перечень |
ряда (не |
рассматриваемых в |
этой |
книге) |
об |
|
ластей, |
где либо |
отдельные |
результаты |
излагаемой |
в книге |
тео |
|
рии, либо идеи, тесно связанные с представленными здесь метода ми, находят важное применение. Это — дифференциальные урав нения в частных производных, голоморфные функции многих комплексных переменных, анализ на коммутативных или некомму тативных группах.
Следует указать в этой связи, что некоторые из этих приложе ний, а также значительная часть основного и сопутствующего ма териала книги подробно рассмотрены в книге «Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах»2 ). Поэтому настоящую кни гу и «Анализ Фурье» вполне можно рассматривать как две части общего целого. Тем не -менее их можно читать независимо. Мы пы тались сделать эту книгу замкнутой в себе, так чтобы в качестве начального багажа требовались только элементарные сведения из теории интегрирования и теории преобразования Фурье.
Опишем вкратце строение книги. Первые три главы содержат в основном материал, который по большей части уже начали зключать в книги и монографии, а именно леммы о покрытиях, ма ксимальные функции, интерполяционную теорему Ма.рцинкевича, сингулярные интегралы, являющиеся обобщением преобразова ния Гильберта, гармонические функции, представленные в виде интегралов Пуассона. В остальных пяти главах рассматриваются
') |
Эти лекции были изданы, см. Стейн [10]. |
2 ) |
Стейн и Вейс [4]. Далее в тексте эта книга именуется «Анализ Фурье». |
Предисловие |
9 |
более глубокие вопросы, включая теорию Литтлвуда — Пэли, муль типликаторы, пространства Соболева и их варианты, теоремы про должения, дальнейшие результаты о гармонических функциях, теоремы о дифференцируемое™ почти всюду. Здесь часть мате риала систематически изложена впервые, так, например, две по следние главы содержат несколько результатов, подробное изло жение которых ранее не публиковалось.
Как и во всяком начинании такого рода, автор столкнулся с необходимостью балансировать между двумя крайностями, кото рые, к сожалению, не всегда сходятся. С одной стороны, хочется облегчить задачу серьезного студента, снабдив его всеми необхо димыми предварительными сведениями и представив ему доказа тельства во всех, даже не очень существенных подробностях. С дру гой стороны, — что не менее важно — хочется представить читателю основные идеи излагаемого предмета в их наиболее полном разви тии. Для выполнения этой последней задачи иногда приходится опускать некоторые технические подробности, а иногда преодоле вать искушение рассказать о всех существующих обобщениях. Вероятно, некоторым читателям не всегда покажется удачным мое решение указанной альтернативы. Мой выбор оправдывается или личным вкусом (а о вкусах, как известно, не спорят), или, го воря серьезнее, моим представлением о состоянии предмета в на стоящее время: он развит до весьма высокой степени и продолжает быстро развиваться, но не достиг еще того уровня зрелости, при котором можно было бы заключить его в строгие рамки стройной системы.
Моим приятным долгом будет с признательностью назвать тех, кто помогал мне при написании этой книги. Норман Вейс подгото вил записи лекций, прочитанных мною в Принстонском универси тете в 1964/65 г. (они не опубликованы), где был изложен перво начальный вариант некоторых разделов представленной здесь тео рии; Бахван и А. Сомен записали упоминавшийся выше изданный курс лекций; Элизабет Эпстейн и Флоренс Армстронг перепечатали объемистую рукопись книги; В. Бекнер, К. Фефферман и С. Гелбарт помогали мне как в математическом плане, так и при чтении корректур. Всем им, а также многим неназванным лицам, я выра жаю мою благодарность.
И. М. Стейн
Сентябрь 1970