книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Наряду с явной аппроксимацией первого порядка по т

следовательно, ||Л1<1 при любых т и h.

Наконец, рассмотрим аппроксимацию по схеме Кранка —

Введем в рассмотрение следующие ряды Фурье:

ные функции сопряженной спектральной задачи. Подставим

Решение задачи (3.3), (3.4) получим рекуррентным исклю­ чением неизвестных. В результате будем иметь

H\<\rJ\gA + *±M-'\f!rl\.

тойчивой. Посмотрим, какие условия достаточно наложить на параметры разностной схемы (2.12), чтобы выполнялось со­ отношение (3.8). Анализ соотношения (3.7) показывает, что

критерий устойчивости (3.8) будет выполнен, если на пара­ метр гп наложить ограничение*'

Предположим, что спектр оператора Л расположен в ин­ тервале

0 < а ( Л ) ^ М Л ) € ї Р ( Л ) .

Соотношение (3.10) и будет конструктивным условием устой­ чивости разностной схемы (3.1), Заметим, что условие (3.10) является достаточным условием устойчивости, причем схема остается устойчивой и при

2 _

т- р ( Л ) "

Вэтом случае, очевидно, соотношение (3.7) перейдет в сле­ дующее:

|<р'|<Ы + № ( з л і )

Но jx^T, где Т фиксировано. Это значит, что при малом х рассматривается большое число шагов / и / - > - о о при т->-0, но так, чтобы верхняя граница временного интервала Т оста­ валась фиксированной. Тогда снова приходим к схемам, устойчивым по Нейману.

Рассмотрим теперь другие разностные схемы, основанные на неявных разностных аппроксимациях. В случае неявной схемы первого порядка аппроксимации (2.13) получим вы­

Так как

км К (Л)

2 , v \КШ? 2

то приходим к следующему достаточному условию выполне­ ния неравенства / [ с р ] ^ 1 :

Р ( Л ) "

В этом случае, согласно определению (1.11) нормы оператора,

||7||2 = sup(J [ ф ] ) < 1 ,

Ф

и, следовательно, счет будет устойчив в смысле определения

разностных аналогов эволюционных задач математической физики нам приходится иметь дело с аппроксимацией как по времени с шагом т, так и по пространству с характерным

Проблема конструкции устойчивого алгоритма при задан­ ном способе аппроксимации обычно сводится к установлению

дует отметить, что такие связи устанавливаются обычно при анализе амплитуды самого «короткого» возмущения. Как

Предположим, что нам требуется повысить точность ре­ шения задачи формальным уменьшением шага h. Тогда одновременно мы должны уменьшить т так, чтобы снова вы­ полнялось указанное выше неравенство, но уже с новыми параметрами сетки. Это значит, что можно допустить и пре­ дельный переход при т-»-0 и А-*-(), обеспечив выполнение условия (3.26), например, в виде

4 - = const. hP

Обычно при выполнении этого условия норма оператора шага Т остается неизменной. Если рассматриваемая схема абсолютно устойчива, то предельный переход при т-»-0 и Л-»-0 также рекомендуется проводить не независимо, а с учетом требований, чтобы норма оператора шага Т остава­ лась п о с т о я н н о й . Это обеспечивает как устойчивость про­ цесса, так и аппроксимацию решения, естественную для ис­ следуемых характерных масштабов явлений.

Наряду с изложенными выше определениями счетной ус­ тойчивости в литературе используются и другие определения,

Такое определение устойчивости при малых т допускает эк­ споненциальное возрастание со временем погрешностей ок­

С.К. Годунов, В. С. Рябенький1 3 1 , Крайс1 6 1 , Н. Н. Яненко,

Ю.И. Шокин1 7 1 , А. А. Самарский1 3 1 и другие), которые, по­ зволяют расширить класс разностных схем, интересных для приложений.

Мы рассмотрели принципиальную схему исследования счетной устойчивости разностной схемы в предположении,

что оператор Л не зависит от времени. Такое предположение для ряда задач математической физики является естествен­ ным. Вместе с тем оно позволяет ввести в рассмотрение ряд дальнейших конструктивных приемов, широко используемых в вычислительной математике. В самом деле, исследование устойчивости сводится к оценке нормы оператора шага Т. Как было указано в 1.1, квадрат нормы оператора Т сов­ падает со спектральным радиусом самосопряженного поло­ жительного оператора Т*Т и для определения спектрального радиуса может быть использован итерационный процесс Келлога

где Ф( '1 ) —элементы следующего процесса:

Таким образом, задача определения нормы оператора Т сводится к последовательной реализации рекуррентного со­ отношения (3.28). Именно этот путь является конструктивно наиболее разработанным применительно к ЭВМ. В случае самосопряженного оператора Т

Сделаем теперь некоторые частные замечания. При иссле­ довании устойчивости разностных схем иногда используют метод определения спектрального радиуса бесконечной пери­ одической по пространственным координатам задачи. Для задач с непериодическими граничными условиями обязатель­ но следует оценку спектрального радиуса производить с по­ мощью метода Келлога для операторов Т, при конструкции которых уже учтены реальные граничные условия.

Если оператор Л со временем меняется, то задача иссле­ дования устойчивости неизмеримо затрудняется, так как нор­ ма оператора Т также будет изменяться со временем и, вообще говоря, необходимо находить спектральный радиус на каждом шаге, поскольку и он будет зависеть от номера временного шага. В этом случае целесообразно идти по пути построения абсолютно устойчивых разностных аналогов за­ дач. Такие схемы будут специально рассмотрены в гла­ ве 4.

В заключение отметим, что если аппроксимация эволю­ ционного уравнения исследуется в терминах пространства DhXDx, то и определение устойчивости полезно дать в тер­ минах того же пространства. В самом деле, пусть задача