книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Остановимся кратко на вопросе конструирования интер­ полирующей функции g{x, у). Принципиально метод построе­ ния g(x, у) ничем не отличается от одномерного случая и в конечном счете сводится к решению системы уравнений с матрицей порядка пт. (Более подробно этот вопрос и.сследован Ю. С. Завьяловым'1 4 1 .) Однако в ряде практически важных случаев оказывается нецелесообразно решать задачу в общем. Простейшим примером является ситуация, когда требуется вычислить значения g(x, у) в сравнительно неболь­ шом числе точек. Покажем, что последняя задача может быть легко решена с помощью методов одномерной интерполяции, описанных в 2.7.1.

Из представления (7.56) следует, что вдоль любой из ли­ ний х==const, пересекающих область D, функция g(x, у) яв­ ляется кусочно-кубической дважды непрерывно дифференци­ руемой функцией одного переменного и, кроме того, удовлет­ воряющей граничным условиям

щий алгоритм вычисления значений интерполирующей функ­

После этого решается одна задача кусочно-кубической интер­

одномерных интерполяций по оси у и только одна вдоль пере­

для решения этой задачи требуется не больше m-\-N одномер­ ных интерполяций.

Описанный нами алгоритм легко обобщается на области, которые можно представить в виде объединения конечного числа прямоугольников, и на многомерные области подобно­ го типа.

Для решения задачи (1.1) воспользуемся следующим

лученного равенства вычтем f. В результате приходим к ите­ рационному процессу для невязки

вестны границы положительного спектра оператора А, т. е. максимальное и минимальное собственные числа спектраль­ ных задач

Предположим, что задача (1.4) определяет биортогопальный базис собственных векторов {и„} и {и„}. Рассмотрим простейший метод выбора параметра т. С этой целью невязку 1 представим в виде ряда Фурье по полной системе собствен­ ных векторов основной задачи (1.4):

сходился, достаточно потребовать, чтобы для всех Хп из ин­

Рассмотрим метод выбора свободного параметра т итера­ ционного процесса. Прежде всего условимся о терминологии.

Итерационный процесс (1.2) будем называть с т а ц и о ­

цесс будем называть н е с т а ц и о н а р н ы м .

Нашей основной задачей будет выбор такого параметра т, который делает скорость сходимости итерационного метода оптимальной. Мы будем заниматься поисками эффективных итерационных схем при некоторых априорных предположениях и ограничениях. Поскольку любой метод оптимизации связан с конкретной априорной информацией об операторе А, конеч­ но, нельзя говорить об оптимизации итерационного метода, если об операторе А ничего не известно. Укажем информа­ цию, которая обычно бывает существенной для оптимизации стационарных итерационных процессов. Это, во-первых, поло­ жительность оператора А, во-вторых, границы спектра и, в-третьих, самосопряженность. Наиболее важной и труднодобываемой информацией обычно является информация о гра­ ницах спектра. Дополнительное предположение о самосопря­ женности (если оно имеется) обеспечивает существование вещественного спектра. В приложениях зачастую приходится иметь дело с матрицами более общей структуры, поэтому необходимо всегда делать предположение о полноте системы собственных функций, причем установление полноты, как пра­ вило, является задачей очень сложной. Обычно при оптими­ зации полнота системы априори предполагается. Если она на самом деле отсутствует, то наш алгоритм оптимизации будет приводить к неоптимальным схемам, однако, как правило, весьма эффективным. Что касается установления границ спек­

При выбранном т оценим покомпонентное уменьшение невяз­

Проследим теперь за ходом итерационного процесса. В первой итерации за счет специального выбора параметра х= уничтожается невязка, соответствующая гармонике с макси­

уменьшат свою абсолютную величину в Тп раз. Наименьшее

малыми по сравнению с Ц, и в результате приближенно мы

Для суждения о качестве итерационного процесса обычно используют следующую асимптотическую величину при j—y-oo:

Заметим, что q, вообще говоря, зависит от номера итера­ ции. Однако во многих случаях удается найти асимптотиче­ скую оценку для q при уже не зависящую от /. Имен­ но эта величина и используется в определении а с и м п т о т и -

венство запишем в эквивалентной форме 11141 =

Тогда будем иметь

|||; || = е-^|Ц0||.

Таким образом, асимптотическая скорость сходимости итера­ ционного процесса 5 характеризует быстроту экспоненциаль­

3.1.2. Метод смещений

Переходим к рассмотрению более эффективного метода оптимизации в предположении, что нам априори известны верхняя и нижняя границы спектра, т. е. такие числа а > 0 , (3>0, что для всех п

Рассмотрим полином первой степени от X:

Найдем такое значение то, которое реализует минимальное значение модуля полинома Р(Х), т. е. необходимо то найти из условия

max IP (X) I = min.

Поскольку P(X) = l—xX — линейная функция X, то макси­ мального значения она достигает на одном из концов отрезка [а, р] . Следовательно, наилучшее значение т0 определяется равенством

1 — т 0 а = — ( 1 — т 0 р ) ,

откуда

(1.21)

Метод последовательных приближений с выбором т в фор­ ме (1.21) является стационарным. Выражение для q удобно привести к виду

q = 1

+ р

Если ^—р^>\, то приближенно тимеем

Таким образом, асимптотическая скорость сходимости метода оценивается формулой

Метод оптимизации с выбором параметра в форме (1.21) обычно называют м е т о д о м с м е щ е н и й . Сопоставление формулы (1.22) с (1.20) показывает, что асимптотическая ско­ рость сходимости метода смещений в два раза больше, чем для простейшего метода, когда в качестве априорной инфор­ мации известно только максимальное собственное число опе­ ратора А.

3.1.3. Метод чебышевского ускорения

Рассмотрим более общий итерационный процесс (иногда называемый методом Ричардсона), относящийся к числу не­ стационарных, параметры % для которого от шага к шагу ме-

няются из условия быстрейшего покомпонентного убывания невязки. Предположим, что нам задана начальная невязка %°. Рассмотрим итерационный процесс для невязки

где Е — тождественный оператор. С помощью рекуррентного соотношения (1.23) получим

V= П ( £ - т И ) | °

І= І

или

где

Рі (А) = П ( £ — Т І А).

І = І

Если воспользоваться разложением невязки в ряд Фурье по полной системе собственных функций оператора А, то для каждого коэффициента Фурье Vn невязки %j получим уравне­ ние

Предположим, что спектр оператора А вещественный, извест­ ны его границы (найденные, например, с помощью алгоритма Люстерника)

0<as^A.n ==SP

и собственные векторы оператора А образуют базис. Тогда из условия максимального подавления всех коэффициентов %1

принимал минимальное значение, при этом минимизация про­ изводится путем подходящего выбора т,-. Решение этой зада­ чи дано А. А. Марковым с помощью полиномов Небышева Tj(y), а именно: