Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


с координатными линиями. Назовем точки (.v;(, у{)								у з л а м и
сетки, их множество — с е т к о й				и	/; — ш а г о м		с е т к и .		Об
ласть	определения	с е т о ч н ы х			ф у н к ц и й		(так	'принято
называть функции, заданные в узлах сетки)							обозначим		£>/,,
граничные точки dDk,		а множество			сеточных	функции		ср'1	обо
значим Ф/,. Таким образом, каждой функции						ср е Ф сопостав
ляется	сеточная функция,		которую		обозначим	(ср),,, по прави
лу: значение (ср)д в		узле	(хк,	г/г)	равно ф(л'(1>		iji). Указанное

сопоставление является линейным оператором, действующим

из подпространства Ф в Ф/,	(сеточных функций на	Dh); этот
оператор кратко называют	п р о е к т и р о в а н и е м	функции
Ф на сетку.

Пусть, далее, Л—линейный оператор, заданный на функ циях фс^Ф. Тогда лр=Лф будет функцией и ее также можно спроектировать на сетку, взяв (а|з)л= (Лф)л. Соответствие между (гр)л и (Лф)/, будет линейным оператором, определен ным на сеточных функциях ( Ф ) Л , и этот оператор будет проек цией А на сетку; он обозначается {A)h. Такое проектирование на сеточную область позволяет прийти к конечно-разностным аналогам уравнений, методы построения которых, а также вопросы аппроксимации, счетной устойчивости и сходимости решения приближенной задачи к точной рассмотрим в даль нейшем.

Пусть ф" — сеточная функция с компонентами ф ь ь а ДЛ — разностный аналог оператора Лапласа на равномерной сетке Ал-=Дг/=/г, определенный следующим равенством:

( Д У ) М	-	+		+	+	- < ' .		( Ш	)
Предположим,		что сеточная функция			У ' Е Ф 4		обращается		в
нуль на границе сеточной			области, т. е.
		( Ф л ) м =		0 на dDh.				(1.62)
Введем далее разностные операторы по индексу k
(Дь <Ph)k,i = . - ^ - (фй+ 1 і / — tpij),.				(Vftfp'Oft,/		= -j- Wh.i — <Pk-\,i)
и аналогичные		операторы	по индексу		/
(А/ Ф Л ) , , , ,	=	~ ( < P * F / + , -	Ф * , ) ,	( у / Ф А ) / < , /		= 4 ( < /	- < / - і )

И рассмотрим новые разностные операторы А'1, Ак и Л/, опре деленные следующими соотношениями:

Ah — — Ay, у і,, А[ = — А; V / •

( 1 - 6 3 )

Тогда будем	иметь
		- A" =Ah		+ At = Лл .
Совокупность	узлов, для		которых k = 0,		п и / = 0 ,	п, образует
dDh. Напомним,		что в этих узловых точках ер'1 в				соответствии
с (1.62) обращается в нуль.
Рассмотрим		скалярное произведение
		(а, Ь ) = й 2		" S S f a k A . /
И
		І І Ф І І = К(ФГФ)".
Сформируем далее функционал*'
		л—1 л—і
(Л'< ср, Ф * ) =		- /Г- 2	S ЦДл V/« Ф)м +		(А< V/ Фк/ I Ф,1 г

Имеют место следующие тождества, аналогичные первой и

второй формулам Грина	(О. А. ЛадыженскаяГ 2 ] , А. А. Са
марский1 3 1 ) :
л—1		л
- 2 (Ал Vk ф)м Ф^; =		S	(Vh Фк/ (Vfc Ф*)к.Ь
ft=l	'	ft=J
« - і			(1.64)
— 2 J (АЛ Vfc Ф)Й,; Фь, = — її			(АЛ V* Фк/ Ф,/-
h=l	'	fc=1

Формулы (1.64) справедливы только для функций «рєФ/,,

удовлетворяющих	условию		(1.62),		и	ф*еФл>	удовлетворя
ющих соотношению
	Ф*>£		== 0	на	<3D„.		(1.65)
Аналогичные равенства имеют				место		и для сумм по индек
су /. С помощью	второго	соотношения				из (1.64)	получим
	(А" ф,	ф*) =		(ф, Ah		Ф * ) .

Отсюда следует самосопряженность ЛЛ , т. е. Л " = ( Л ' 1 ) * и Ф ( Л ) = Ф * ( Л * ) .

Рассмотрим далее функционал

(Л" ф, ф) = — h2 У,	2 ЦАЙ щ 4>)h,i + ' ( А / Vi ФкЛ Фл.г-
н=1	/=1

*) Здесь и в дальнейшем индекс h при сеточных функциях *р и ф* ради простоты будем опускать.

С помощью первого тождества			(1.64) для	k и / получим
(Л" Ф, Ф ) = /г* І	І	[((у/, Ф ) м ) г +		((V; Ф)м)2 1.
откуда и следует
	(Л''ф, ф) > 0 ,
если <р не нуль-вектор.
Наконец, рассмотрим	спектральную задачу
Л"и=Я,и		в	Dh,	(1.66)
u = 0	на		dDh.	(1.66)
u = 0	на		dDh.

Компоненты ортонормнрованиых собственных векторов, соот

ветствующих задаче

(1.66), имеют вид

цМр =

2sin mnkhslnpnlh,

(1.67)

m =

1, 2, . . .

n—l;

p=l,2,

...

, n— 1.

n—1 n—1

Напомним, что

( u m , P l

, и , а д )

ft2 2

"т,'Р ,-

(1.67)

индексы

/ указывают

компоненты, a

и р — номера

соб

ственных

элементов,

которые можно упорядочить, записав

"mp«=U.-

(1=1,2,...).

Поскольку имеют место очевидные соотношения

— (Д& Vh U{)/t,f =

2 ^

sin2

^ ~

s i n m :

n ; ^ s i n

Z 7 л

— (Ai у< Ui)h,t =

2 sin ш я й ^

sin2

sin

pnth)j,

то собстве«ные числа будут иметь вид

Хтр

(А")

^ ( s i n * ^

+ sin2

(1.68)

Заметим, что тир изменяются от единицы до га—1. Сле довательно, h = і - < m/i < (л — 1)я = 1 — h и / г < ! / ? л < 1 — А, поэтому

£ г і п » ^ < М Л * ) < £ е о в » т *

Здесь K((Ah)—упорядоченные				А т р ( Л л ) . Поскольку, как		пра
вило,	то можно приближенно записать
	s i n * J * = ^1	_	о (ft), cos2 у - = 1 — О (Л).
и, следовательно, будем			иметь:
	а И Л ) ^ ^ ^ р ( Л ' ' ) ;					(1.69)
	а (А* ) = \|	s i n 2 ^ ,		6 (Л* ) = £	cos 2 ^ ,	(1.70)
где
	<* (А*) =		2я*, р (Л») =		« \| .
Базис собственных векторов (1.67) может быть использо
ван для разложения вектора <р в ряд. Получим
			<Р = 2 < Р і " ь			(1-71)
где			і
где		Ф*=(Ф,		и.)-		(1.72)
		Ф*=(Ф,		и.)-		(1.72)

1.2. А П П Р О К С И М А Ц И Я

Рассмотрим некоторую задачу математической физики в операторной форме

					Л Ф = /	в	D,				(2 1)
				а Ф = £		на	dD,
где								F. Здесь			v
	Л — линейный оператор, ф Є Ф и f е									Ф и / 7 —
гильбертовы пространства с областями определения										элементов
в D-\-dD		и D соответственно, а — линейный							оператор гранич
ного	условия,		geG,	G— гильбертово пространство						функций
с областью определения					dD.
Наряду с уравнением					(2.1) рассмотрим			уравнение в конеч
номерном эвклидовом				пространстве
				Л ' У ' ^ Р ' в Du,
				flAq)A = gA		на	dDh,				( 2 - 2 )
где	Ah	— линейный		оператор,		зависящий			от шага		сетки
h, ф л єФ/,, \h^Fh,			а Ф/і и Fh — эвклидовы					пространства.			Здесь
D/, — множество внутренних узловых точек области D, a											dDh—

множество узловых точек, на которых аппроксимируется гра ничное условие задачи, ah — линейный оператор, gf t sGft, Gh— эвклидово пространство векторов с областью определения dDh.

Введем в рассмотрение				нормы вектора в сеточных простран
ствах F/,, Gi„	Ф/і. Далее обозначим						— вектор, являющий
ся проекцией	функции		t,	па соответствующую сеточную об
ласть. Будем говорить, что задача						(2.2) а п п р о к с и м и р у-
ет задачу (2.1) с		п о р я д к о м			п	на	решении ср, если
		\| \| ( / \ Ф )„	-	A" (9)A\|\|fа		<	MJi",
		"		' Л			(2.3)
	Щсщ),, -			а" (ф)Л \|\|Сд <			M3h« ,
		\|l(g)A-g"\|\|6A <AJ4 /i'',
где МІ — некоторые не зависящие от h константы.
Напомним	еще	раз,	что А'' — сеточный оператор, аппрок
симирующий	исходный		оператор		А	в	узлах сетки. Он. опре

делен на сеточных функциях ф\ В частности он также опре делен на (ф)ь — проекции решения исходной задачи (2.1) на сеточную область. Это значит, что имеют смысл как опе


рация Л'Чр'', так и /1; '(ф)/,. С другой стороны,			на ф ^ Ф		дей
ствует оператор Л, следовательно, определена			функция		Лф
в области	D; спроектировав ее на сетку, находим			сеточную
функцию	(Лф)/,.	Разность (Лф)д— Лл (ф)/, н	фигурирует в
первой из	формул	(2.3). Далее берется норма	этой	разности
в пространстве F/,. Так же конструируется вторая формула.
Последние	формулы имеют аналогичный смысл, но уже на				dDh.

Более подробное изложение этих вопросов можно найти в

книгах С. К. Годунова п В. С. Рябенького1 3 1 ,	Рихтмайера1 3 1 ,
Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова[ 1 ] , А. А.	Самарского1 3 1 .

В тех случаях, когда решение задачи (2.1) обладает до статочной гладкостью, порядок аппроксимации удобно на ходить с помощью нормы, естественной для пространства непрерывных и дифференцируемых функций. С этой целью обычно пользуются разложением решения и других функций, участвующих в постановке задачи, в ряды Тейлора.

В дальнейшем будем полагать, что редукция задачи (2.1) к задаче (2.2) осуществлена и, более того, граничное условие из (2.2) использовано для исключения решения в граничных

точках	области Du + dDh- В	результате	приходим		к эквива
лентной	задаче
	Л " ф ' 1 = т \				(2.4)
где областью определения решения ф'1			теперь является Dh.
При этом значение решения		в граничных		точках	найдется
из уравнения (2.2) после решения уравнения				(2.4).

Внекоторых случаях удобно пользоваться записью ап-

проксимационной задачи в форме	(2.4), а в других случа
ях — в форме (2.2).	'

Итак, в результате проведенной редукции и с учетом тре

буемой аппроксимации задача с непрерывным						аргументом
(2.1) приводится к задаче линейной алгебры					(2.4). Дальнейшая
задача	состоит в решении		системы алгебраических			уравнений.
П р и м е р . Рассмотрим			задачу
	— Acp=f в D,			ср=0 на 3D.			(2.5)
Здесь предполагается, что областью определения D является
квадрат	{ 0 < х < 1 ,	0 < г / < 1 } ,		a f — гладкая	функция.		Квад
рат D покроем равномерной сеткой по х и по у с шагом к.
Узлы области будем отмечать двумя индексами						(k,	I ) , где
первый	индекс k	(Q^.k^n)		соответствует	точкам деления

по координате х, а / (Osg/ssCn)	по у.	Рассмотрим следующие
аппроксимации:
Фл-л- -* \Vk (Ф)л -	Фда	A?Vz (Ф)л -

где разностные операторы Ак, Д<, Vh и V ; определены в 1.1.4. Тогда задача (2.5) может быть аппроксимирована следующей:

— [АЛУАФл +

ДіУФ'1] = ЇЛ в D F T ,

яп

(2-6)

где

Фл,г=0 на

dDh,

уче

dDh — множество узлов,

принадлежащих границе. С

том

изложенного

задача (2.6) может

быть приведена

виду

— д л ф л = ^

в /Л,

(2.7)

q>h =

0 на

dDh,

где Ф'1

и f' — векторы с компонентами

ф£1

и fft z

(Д* Ф Л ),,,

1 ( Ф * + 1 і , + cp*_l i ( +

qfiht /

+ 1 +

4ф*і г ),

fik.i

fdxdy(xk±u2

* f t +

- j - ,

& ± i / 2 =

^ +

x)•

Введем в рассмотрение пространство решений

Обла

стью определения элементов из Фл примем Dh-j-dDk—

{{Хк,Уі);

Вектор ' f'1

принадлежит

обла

стью определения Dh={(xk,

уі);

l ^ & s g n — 1,

1 s ^ / ^ I n — 1}.

Разлагая решение в ряд Тейлора

в окрестности

точки

(xh, yi)

и предполагая ограниченность производных по (х,

у)

вплоть

до четвертого

порядка, будем иметь

* R * ) - & i

J r { [ e - * ) & + < < ' - * >ду& Ф

дх	ду. ф к+ви 1+в,

где	.	_
Xft+e,	Є	{х, xk ) и у1+ва_ <= {у, у і).

Аналогичное разложение будем иметь и для функции f(x, у). Разложения ф и f рассмотрим в области {Xft_i^дг^jcf e + i, УІ-І^У^УІ+І} ч подставим их в (2.7). Оценивая результат по норме, будем иметь

11(ДФ)Л -ДЛ (ФЫК<^2 - 8 )

где М\ и ЛІ2—константы. Отметим, что если fft£_, выбрать равным f(xh, tji), то во втором соотношении (2.8) М 2 = 0 , и мы в данной метрике получим точную аппроксимацию пра вой части уравнения (2.5).

В результате простого анализа приходим к выводу, что задача (2.7) аппроксимирует исходную задачу (2.5) со вто рым порядком.

До сих пор рассматривалась аппроксимация задачи по пространственным переменным. Аналогичным образом может

быть

рассмотрена

задача

аппроксимации

эволюционного

уравнения *>

^ Ч - Л Ф

= /

в Д

ay=g

на dD,

(2.9)

Ф = Ф ° в

при

1 — 0.

Аппроксимацию

задачи

(2.9)

проведем

два этапа.

Сна

чала

эту задачу

аппроксимируем

в области

Dn+dDh

по про

странственным переменным. В результате приходим

диф

ференциальному

уравнению

по времени

разностному по

пространственным

переменным.

Рассмотрим

новое эволюционное уравнение

А Ф " = ^ 1

(2.10)

где Л, fh

и ф'1

— функции

времени

t. В дальнейшем

индекс h

в задаче

(2.10)

будем

опускать как несущественный,

пред

полагая, что мы имеем

дело

с разностным аналогом

по про

странственным переменным исходной задачи математической физики.

Уравнение (2.10) является, очевидно, системой обыкновен ных дифференциальных уравнений для компонентов век тора фл .

*) Так будем называть уравнение, которое явно разрешается относи тельно первой производной по времени и не содержит в А производных по времени.

Итак, рассмотрим следующую задачу Коши:

2Г +	Л < Р = ^	(2.11)
<p=g	при / =	0.

Предположим, что оператор Л не зависит от времени. Рас смотрим простейшие методы аппроксимации задачи (2.11) по времени. Наиболее употребительными разностными схе мами в настоящее время являются схемы перього и второго

порядков	аппроксимации		по t.
Сначала		рассмотрим	простейшую				явную схему		первого
порядка	аппроксимации		на сетке		Dx
		ф Я ' т - ф '	+ Л с р ^ К			q>° =		g.	(2.12)
где x=tj+l—tj,		р— некоторая			проекция			функции	f. Ради
простоты здесь можно принять p—f						(tj).
Если	рассматривается			простейшая				неявная схема, то
имеем
		Ф ' + ' т ~ ф ;	+ Л Ф > + '		=	/ ' , Ф ° = &			(2.13)
и р выберем в виде f(tj+\).				Схемы		(2.12)		и (2.13)—первого
порядка	аппроксимации		по	времени. В			этом легко		убедиться

с помощью разложения в ряд Тейлора по времени, допустив,

например, существование

ограниченных

производных (повре

мени) от решения до второго порядка.

Разрешая

схемы

(2.12) и (2.13)

относительно

неизвестно

го, приходим

к рекуррентному

соотношению

ф я-| =

Гф*+т5/*,

(2.14)

где Г — о п е р а т о р

ш а г а ,

a S — о п е р а т о р

и с т о ч н и к а ,

определяемые

следующим образом: для

схемы

(2.12)

Т=

=Е-хЛ,

S =

E, для схемы (2.13) Т= (Е+тА)-\

S =

Разностные схемы типа (2.14) для эволюционных уравне

ний будем называть

двухслойными.

Большой интерес в приложениях имеет схема второго по

рядка

аппроксимации — схема

Кранка — Николсона

S ^ V

(.2.15)

где p=f(tj+i/z).

Схему

(2.15)

можно

также

представить в

форме

(2.14)

при

Г = ( £ + 4 - Л ) ~ 1 ( £ - - | - Л ) ,

В некоторых

случаях разностные

уравнения

(2.12),-

(2.13)

и (2.15)

удобно

записывать в форме системы двух уравнений,

из

которых

одно

аппроксимирует

само

уравнение

D/,T ,

а другое — граничное

условие па dDkx.

этом

случае разно

стный аналог задачи

(2.9) имеет

вид

№ ф ' « = Р « в 1 ) Л „

.(2.16)

/ЛТфЛт—^Лт ,.,а QDh^

;

где

Dbx—D^D,.,

dDhx=DxX.dDh.

Предполагается,

что L h x

аппроксимирует

оператор

— оператор

/ на интервале

0^.t^LT.

Аналогичным

обра

зом

f 1 T

и ghT

аппроксимируют

соответствующих

(вообще

говоря, различных)

нормах / и g,

т. е.

||(Lcp)„t

L ' » (ф)/,г!|к„т <

MJi"

+ N.T",

І І (/)'.т-ї, , 1 і ,/ ,т <Л/3 /г'Ч-Л/зт"1

(.2.17)

В этих неравенствах, как и

(2.3),

(

)пт есть

оператор

проектирования на соответствующее сеточное пространство. Разностное уравнение в канонической форме (2.14) с по мощью введения вектор-функций и новых операторов, дей

ствующих в пространстве DhxDx,	где Dx есть совокупность
{tj}, также можно записать в виде
1 Ф = т .	(2.18)

Таким образом, эволюционное уравнение с учетом гранич ных условий и начальных данных редуцировано, к задаче ли нейной алгебры (2.18). Заметим, что для анализа аппрокси мации в разных случаях можно пользоваться либо сетко'й' Dh, либо Df,XDx. В частном случае к уравнению (2.18) можно свести краевую задачу эллиптического типа, интегральное уравнение и т. д. При этом условие аппроксимации снова можно записать в форме (2.17), где аппрексимационным ин дексом будет только h — максимальное значение из совокуп ности (Ах,-) шагов по геометрическим переменным.

П р и м е р . Рассмотрим задачу

,!ф = 4 5		А Ф	= /	в D x	Dh
Ф =	0	на	dDxDt,		(2.19)
Ф=\|г	в	D	при	t=0.

Областью определения решения будем считать

(DJrdD)XDt,

где

как

и прежде,

квадрат,

Dt= {0^1^.Т}.

Перейдем

от

D к

Dh,

dDh

и от

Dx. Пусть

Dx —

множество

точек tj

и ^j+i — tj=x.

Тогда

в качестве аппроксимации задачи

(2.19) примем следующую:

A>n<tf=V

DhXDx,

<р* =

0 на dDhXDr,

(2.20)

9° =

DA .

Рассмотрим

простейшую

явную аппроксимацию

(

7 ^ '

- А " Ф Ь ,

(2.21)

Д,г =

f{x,y,tj)dxdy,

(2.22)

* f t - l / 2

1/2

V f - I / 2

И *+1/2

ffM

- p -

g(x,y)dxdy.

(2.23)

Следующую

схему будем называть

я в н о й :

Ф Й 1

< /

-ГА*ФЬ

1 5 D f t х

D * '

( 2 - 2 4 )

Кроме

того,

0 на dDn

х 5Dx,

Ф ^ Г

(2.25)

Рекуррентное соотношение

(2.24)

представим

в виде

КУ

= Щ.1

(2-26)

где T—E+xts.h = E—т(Лі+Лг) — оператор шага, а операторы Ai(Ai=Ah, А2=Аг) определены формулами (1.63). Подсчи таем его норму. Для этой цели найдем максимальное собствен ное число оператора Т:

Ти =	Х{Т)и в D A ,
u =	0 на dDh.	(2.27)

Имеет место очевидное соотношение

М Г ) = 1 + т Ы д Л ) . Следовательно, норма оператора Т имеет вид

\|\|7\| = max	— -р- COS2 - g -	- i ? s m - r
	l	- i ? s m - r

и если -J-<-J-,to |j7|< 1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ