книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

квадрат нормы оператора /1 можно записать еще в виде

которая определяет набор собственных функций {£>„} и соб­ ственных чисел Кп(А*А) ^0. Будем предполагать, что набор {Q„} полный. Тогда функцию ср представим в виде ряда Фурье:

Подставив ряд (1.14) в (1.12) и используя условие ортонормировки функций Q„, будем иметь

n

где Q — пространство коэффициентов Фурье. Нетрудно убе­ диться, что

ра Л*Л. И вообще спектральным радиусом оператора Л на­ зывают Р(Л) =зир(|Я(Л) |}. Заметим, что при Х(А)>0 $(A)=maxln(A).

л

В случае самосопряженного оператора Л рассмотрим

1.1.1. Оценки норм некоторых матриц

Пусть в гильбертовом пространстве L2(D) задан некото­ рый замкнутый положительный оператор С, который будем называть энергетическим. Тогда имеем

/ найдется такой элемент g, что будет выполняться соотно­ шение II/ — g l l ^ e , где є — произвольно малая положительная константа. Пусть Ф* — область задания сопряженного опера­ тора С* совпадает с Ф и, таким образом, для всех <рєФ суще­ ствует С*ф. Тогда (С*ф, ф) = (ф, Сф) = (Сф, ф), где С = = — ( С + С * ) , является симметричным положительным опера­ тором, что позволяет в Ф ввести в рассмотрение новое ска­

|kpfc = (Сф, Ф) = (Сер, Ф ) .

и сопряженных задач математической физики бывает удобно пользоваться функциями пространства Соболева W'2(D). Оно является гильбертовым и состоит из функций пространства L2(D), которые имеют в D суммируемые с квадратом обоб­ щенные производные до порядка / включительно. Скалярное произведение в таком пространстве определяется формулой (см. С. Л. Соболев1 1 1 , В. С. Владимиров1 2 1 )

Здесь использована следующая символическая запись произ­ водных:

°х дх^'...дхпп

Норма в пространстве Wl2 {D) определяется соотношением

Рассмотрим далее положительно полуопределенную матри­ цу AZ^O, действующую на векторы из эвклидова простран­ ства. Имеет место следующее соотношение:

Здесь существенно использовалось свойство положительной полуопределенности матрицы А. Таким образом, лемма до­ казана.

Втом случае, когда матрица А положительна, вместо

(1.28) будем иметь при а > 0

H( £ - ov4)( £ +ov4) - >||<l . (1.29)

1.1.2. Вычисление границ спектра положительной матрицы

Рассмотрим задачу на отыскание максимального и мини­ мального собственных чисел матрицы Л > 0 , имеющей поло­ жительный спектр. С этой целью воспользуемся методом Люстерника1 4 1 .

Пусть имеется задача

Предположим, что данная спектральная задача определяет полный набор собственных функций и ^ є Ф н набор положи­ тельных собственных чисел (А). (Весьма полное исследова­ ние спектральной проблемы дано в работах Марека1 8 1 .) Рас­ смотрим итерационнный процесс

В самом деле, вследствие предположенной полноты системы векторов u n , имеет место разложение

ф(0) = У] guUk, ft

где gk — (g, Uh), a {u;*} —собственные векторы матрицы A*.

Заметим, что из (1.34) и общности базиса матриц А и В следует

венных чисел система собственных векторов lib матрицы А

дения границ спектра оператора А, как правило, эффективно реализуется на ЭВМ.

Следует, однако, отметить, что итерационные процессы (1.31), (1.36) и (1.39) сходятся медленно. Для ускорения схо­ димости можно применить различные методы, наиболее упо­ требительными из которых являются чебышевское ускорение или методы сдвига спектра (Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева[ 8 1 , М. К. Гавурин1 9 1 , Уилкинсон1 8 1 ).

Заметим, что для симметричных матриц при вычислении а{А) и 6(Л) лучше пользоваться энергетической нормой.

В-третьих, функции ф образуют подпространство Ф в гиль­

Необходимо отметить, что эти условия обеспечивают огра­ ниченность функционала (Лф, ф*) для любых ф*. Предпо­ ложим теперь, что ф* — достаточно гладкая функция и с по­ мощью второй формулы Грина получим

D

Это значит, что А=А*, и исследуемый оператор А является симметричным. Анализ проведенных преобразований показы­ вает, что от функции ф* требуется существование непрерыв­ ных производных *>. В результате приходим к выводу, что оператор А самосопряжен на Ф.

Изучим далее вопрос об определенности А. С этой целью рассмотрим функционал

*) Проведенный анализ потребовал весьма жестких ограничений на ре­ шение задачи. Можно показать, что формула Грина, а следовательно, и все наши выводы справедливы для любой функции <р, принадлежащей прост-

о 2 рянству Соболева W2-