Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ляется полиномом степени т; во-вторых, для любых											О ^ ^ ^ Л /
й O^j^m			выполняются равенства
					g(Xh,j)		=	du,„
где	хк,;	— хк——		/	и dh<i—	заданные			числа; и,		наконец,
S ( а ) =g(b)			= 0 ,	т. е. всегда d0<0			=	dN<m	=	0. Отсюда	следует,
что	функция g £ M ™ ( c , b )					является кусочно-полиномиальной
					о
функцией пространства W2,						т. е. g(x)—непрерывная					функ-
0,125
	О-	0,5		1,0	45 •X
		0,5		1,0	45 •X
-0,t25i											X,
											X,
		Рис.	3.							Рис. 4.
ция с возможными разрывами первых производных											в точках
	г	Рассмотрим, как				можно		явно		построить	функцию
g(x)	через значения {dft,/}.
	Выберем		произвольное			значение			O ^ A ^ T V и		построим
функцию g(x)				на	отрезке	[xk,	xh+i]		(обозначим ее £&(*))•

Как известно из теории аппроксимации, многочлен степени /п, проходящий через (m-f-1) точку < 4 i 0 , . . . , dh<m, существует и единственен. Этим полиномом будет интерполяционный по лином Лаграижа, который вычисляется по формуле

	m	'"	xh	I ~	х)	(4.17)
	gu (х) = 2	db,x По (	X M ' _ X k i l ) -			(4.17)
Для случая т—\ получаем обычную линейную функцию
	\*ft+1 —xft>			\ x h		xh+1'
Отсюда, в	частности,	следует,	что пространство MlN(a,				b)
совпадает с пространством H°N{a,			b)	и,	следовательно,		по
строенный для	Н% базис	является	базисом			и для пространст

ва Мм. Исследовать вопрос о базисе М%(а, Ь) при больших значениях т. мы не будем.

о .

Таким образом, для пространства F = W2 (а, Ь) мы пост роили два вида подпространств Fh (определяемых парамет-

о .

ром Л), последовательность которых полна в \V2 (а, Ь).

2.5.ВАРИАЦИОННО - РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

ДЛ Я Д В У М Е Р Н О Г О УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

2.5.1. Метод Ритца

Ниже будет описай способ построения вариационно-разно стных схем для задачи (2.1), (2.2) при следующих дополни тельных предположениях:

5,(х)з=0 в D ( i = l , 2);

		<7(х)=0 в D;
для любого	вектора	%— ( £ ь	%•>)' выполняется неравенство
2	2			2
h , 2 Щ < i n f 2		Ац(х)Ші<		sup 2	Au(x)Ui<
i = l	x E O i , / = l			X E O
			2
		< Hi E E ?			(5.1)
		1=1
с некоторыми	положительными		константами		fio^fAi; граница

dD области D является кусочно-линейной. В принципе три последних требования для метода Ритца могут быть ослаб лены, и мы не делаем этого только ради упрощения выкладок.

Итак, имеем задачу нахождения решения							уравнения
	2	д.		ди		в	D		(5.2)
	2	Щ Ац{х)ш			= f	в	D		(5.2)
	"./=1				'
при	граничном условии
			и=0	на	dD,				(5.3)
которая, как видно		из	2.2,	эквивалентна			нахождению		срунк-
ции,	минимизирующей		в пространстве			о		квадратичный
ции,	минимизирующей		в пространстве			Wo(D)		квадратичный
функционал
				ди	ди_				(5.4)
	• / ( « ) = !	Zi	An	і*) дхї-дх, dD —				2\ufdD.	(5.4)
	D	i . / = l		'	1		D

Применим для приближенного нахождения решения по следней задачи метод Ритца с подпространствами Fh. специ ального вида. Чтобы построить F^, триангулируем область D, т. е. покроем ее треугольной сетью Dh (рис. 4). После это го в каждом из треугольников построим полином степени т

переменных Х\ и х2	вида
	т
g{xlt	х2 ) = 2	2	clutM*.	(5.5)

i = 0 / , + / , = {

Коэффициенты полинома в каждом из треугольников выбира

ются таким образом,	чтобы обеспечить принадлежность				всей
	о.
функции пространству W2 (D),		т. е. функция должна быть не
прерывна и обращаться в нуль на границе				dD.
Для случая т=1	метод был		предложен Курантом1 5 1 , ис
следовался Л. А. Оганесяном1 5 1			и другими. Для случая		т=
= 2, 3, 5 метод детально исследован Зламалом1 5 1 .					т = 1 ,
Проиллюстрируем	описанный		способ	на примере
т. е. кусочно-линейной функции
g ( x u Х2) = Со.О +		Cj.oA', + С0,1 х 2 .			(5.6)

Коэффициенты этой функции для конкретного треугольника определим через заданные значения и(рі), «(p 2 ) и и ( р 3 ) в вершинах pi, ро и рз этого треугольника. Проделав такую про цедуру в каждом из составляющих область D треугольников, причем для точек р е с Ш полагаем ц ( р ) = 0 , убеждаемся, что результирующая функция непрерывна и обращается в нуль на границе dD. Ее непрерывность на общих границах сосед них треугольников (например, когда общим является отрезок,

соединяющий вершины pi и р2 треугольников)					следует из то
го,	что для каждого из треугольников			функция g ( x \ ,			Х2) на
этих границах — линия, соединяющая				значения	u(pi)		и и(р2).
	Если же рассматривать случай квадратичной					интерполя
ции (/п = 2)
g(Xi,	Хо) = с0 ,о + cj.ox, +		с0 ,іх2 + с2Лх\	+ с^лххх2	+	солх\,	(5.7)
то	удобным способом	обеспечения принадлежности				результи-
рующей функции u!l(xh				0 .			следую
		х2)	пространству W2 является

щий. Значения функции и'1 задаются в вершинах рь р2 и рз


треугольника и			в	точках	ріі 2 , р2 ,з и	Рз,ь делящих	отрезки
(Рь Рг). (Рг, Рз)			и	(Рз, Pi)	пополам (рис. 5).
	Непрерывность			функции u h будет		следовать из	простого
факта, что на каждой из сторон любого треугольника								эта
функция определяется однозначно. Например, функция								uh{x\,
х 2 )	на отрезке [рь			р2 ] определяется значениями « ( р і ) , м(рі,2 )
и	ы(р2 )	однозначно.						об
	Если теперь решение задачи в каждой из треугольных
ластей		Д искать с		помощью полиномиального представления

(5.7), то с помощью вариационного функционала на основе метода Ритца обычным способом приходим к системе раз ностных уравнений. Зламал доказал, что если решение и за дачи (5.2), (5.3) принадлежит классу С(3) (D), третьи произ водные ы(х) ограничены по модулю величиной М и, кроме то го, минимальный угол составляющих область D треугольни ков ограничен снизу величиной v o > 0 , то для погрешности

приближенного по Ритцу решения задачи (5.2), (5.3) в случае квадратичной интерполяции (5.7) имеет место оценка

где С = и константа С) не зависит от триангуляции

области D.

Если требования к гладкости решения задачи (5.2), (5.3)

ослабить	( « е С ( 2 \| ( £ > ) , то	для случая кусочно-линейных при
ближений	легко доказать	оценку

\\и" — и\\о. < С Л ,

где С > 0 — некоторая константа.

Не будем больше возвращаться к квадратичным прибли жениям в треугольниках, поскольку изложенного вполне до-

Рис. 5.

статочно для вывода конкретных алгебраических систем, и сконцентрируем внимание на кусочно-линейных приближе ниях. Из предыдущего следует, что для однозначного опреде-

ления функции g ( x ) e W 2 ( D ) , являющейся кусочно-линейной в каждом из треугольников, достаточно задать значения g(\) в вершинах треугольников. Тогда, если мы пронумеруем все

внутренние вершины треугольников, обозначив их {Pf t }h=i, а

Dh,h—объединение		всех треугольников, имеющих точку Рй
своей	вершиной, то	базисом пространства			Fn будет система
	N
функций {u)ft(x)}f t ^j,		определяемая		условиями:
1)	«л (Р/) = бЙ 1 /, где		6 f t > / — символ	Кронекера;
2)	©Й(Х) на каждом		из треугольников		является линейной
функцией, т. е. представляется выражением					(5.6).

(

Таким образом, если представить функцию соЛ (х) геомет рически, то она является пирамидон с вершиной в точке рь и обращается в нуль на границе и вне области /Л,л (рис. 6).

Конкретизируя дальше рассматриваемый метод, предпо ложим, что D={x\, д:2 : 0 < л : ь х 2 < 1 } является единичным квадратом. Покроем D обычной равномерной квадратной сет

кой с шагом

(N — целое положительное число)

и триангулируем D, как это показано на рис. 7.

1\ ик N

StltttN

Рис. 7.

Рис. 8.

Систему

базисных

функций {т (\)}uLi(Nh

N2) обозначим

для

этого случая {тл ( х ) } , * = г

Исследуем

матрицу А системы линейных уравнений

Aa=g

(5.8)

метода Ритца,

где

а =

(cti, . . . , алг=)'

— вектор,

составленный

из коэффициентов{a^^-v+i

= ^k.ij^i^

разложения

u " ( x ) =

(x),

(5.9)

akil

m j

g =

( S i i — > gN'Y — вектор

компонентами

( f t _ 1

) + j =

gk,i

fak,i

(x) dD

(k,l

= l...,N)

(5.10)

Dh,i

и элементы матрицы А вычисляются по формулам

{ А _ „ + / , N

) d ^

As,, (x) -д^-д^-

( 5 л 1 )

(ft,

/, l,j

l,...,N).

Введем обозначение a£j = c w (л-п+г, w (І-ІЖ •

Учитывая вид функций (<»м(х )'}£/=і (см. рис. 6, 7), не трудно показать, что

если выполнено хотя оы одно из двух							неравенств
	\|i — А \| > 1 ,		\|/ — / \| > 1 {k, I, i, j = l , . . . ,							N).
Отсюда сразу следует, что матрица Л является									блочной трех-
диагональной		вида
		Л п		Л 1 2	0 . . . О			О
	А--			^2'2	^*2Я	• • •	О	О			(5 Л 2)
	А--										(5 Л 2)
		О 0			0 . . . A N J V - i			ANN
где Akh = A*kh,		А„,h +	1 = Л * +		ь h[k= I , . . . , N)			и каждая из мат
риц Л ft>; является трехдиагональной матрицей порядка											N. Бо
лее точный анализ			показывает, что матрицы						{Л„,п - і }£L2 _
двухдиагональные вида
				д/1-1,2		0	. . . 0		0
				'«.1					о
				/г,2		fe,2	. О		о
							. О				(5.13)
Ah,h-\	=
Ah,h-\	=
			О			о		О	ак-г^
				(k=2,...,N).
Вычислим элементы {aj, J 'j}					матрицы		Л для частного				случая
задачи (5.2), (5.3):
		дх									(5.14)
				« = 0		на 6\D.					(5.14)
				« = 0		на 6\D.
Для	этого представим			Dk,t в		виде	объединения			шести тре
угольников {Dh,i,m\m=v				порядок нумерации				которых указан на
рис. 8.
Непосредственные вычисления показывают, что

l—fi(xk—x)—fi(yi—y),

1 —fifa—*)-

— У ) .

1 +£-(JCh — * ) +

1 +j^{Xh—X),

1—г(Уі—У)>

если x,y^Dti,i,

ЄСЛИ JC,(/efli,I,2,

если x , / / e D w ,

(5.15)

# ) . е с л и х , г / є О м , 4 ,

если х,г/є£>в Л5,

если i , i / e D w , i .

В силу симметрии А, трехдиагональности

матриц

{Akj^l^i

и двухдиагональпости

матриц

{Ап^^^о

и {^ft.h+ilft^i1

нам

достаточно указать

формулы

для

вычисления

элементов

k,l

ft,/—1

ft—1,/

h — lj+l

- і,

- x;\

ak,i,

dk.i

, akiL

, akii

ft,

. N).

Эти формулы, согласно (5.11) и (5.15),

имеют

вид

(для

про

стоты используются обозначения D, =

Dk,i,i)

ft,/

Г Г

(д*„h

Л-

[да.

аил

d<*

,\2 .

. ї ь

dxdy ••

ft./

p (x, y) dxdy

1 q(x,y)dxdy+

g(x,y)dxdy

(5.16)

а л /

<Э<Оь ,

<3<1>ь ;

<Э<Л. ,

ал

"ft./Uflft,/-,

х -

"ft,/—1

dxdy

= -

• ^ • [ B i i I , i

9 (*. і/)

ду .

„к—1,1

Р {х, У)

dxdy];

fc-i,/+i

Oft,/

Отсюда сразу следует, что матрицы {A.h-ilftLa являются диагональными. Кроме того, если ввести вектор и с компо нентами ii)i,;=ctft,;, где а — вектор системы (5.8) метода Ритца, то интересно заметить, что систему j4u = g можно за писать в виде

где		( Л , + Л 2 ) u =		g,	(5.17)
где
( ^ 1 и )м = — Рh—\n,luh—l,l + [Pk—112,1					+ Pk+U2,l) Uk,l —
		—	Ph+V2,ltih+\,l		(5.18)
(•^2u )ft,/	= —	Qh,l—l/2«ft,/-l		+	(Qft,/—1/2 +
+	Q f c , / + i / 2 ) " л , / - Q f t , / + i / 2 « f t , / + i -
Здесь использованы		обозначения
			В й , / П ^ ± 1 , г		(5.19)
5 л , і ± ш = - ^ г			j		q{x,y)dxdy.

Объединяя (5.17) — (5.19), легко видеть, что	построенная
нами по методу Ритца вариационно-разностная	схема по

структуре расположения ненулевых элементов н их виду прак тически совпадает с чисто разностными схемами. В частности, для случая постоянных р(х, у) и q(x, у) вариационно-разно стный и разностный аналоги дифференциального оператора полностью совпадают. Отмеченное обстоятельство позволит применять для решения системы (5.17) эффективные итера ционные методы, такие как метод расщепления, последова тельной верхней релаксации и другие.

2.5.2. Метод Галёркина

Не будем останавливаться детально на построении вариа ционно-разностных схем метода Галёркина, поскольку основ ные алгоритмические особенности решения двумерных задач уже были описаны на примере метода Ритца. Заметим толь ко, что при ненулевых коэффициентах { # ; ( Л : ) } І = 1 задачи (2.1), (2.2) матрица А метода Галёркина с базисными функциями (5.25) будет отличаться от матрицы А системы (5.17) на не

которую матрицу В (В=А—			А).		Элементы			\bkj\ этой матри
цы вычисляются по формуле
h.l	в і (х, у)-jj-			ю	л +	В, (х,		у)-~	coF C > / J	dxdy
	(ft,	/,	=	1, . . . , Л 0 -						(5.20)
Отсюда видно, что даже для уравнения
	о					/	в	D,
		а . : +	* . (х) «			/	в	D,		(5.21)
										(5.21)
		и —0		на 6D
матрицы {Au,ii-i}^2	в	методе		Галёркина			могут		не оказаться
диагональными.
Усложнение структуры			матрицы			алгебраической				системы

заставляет искать более простые пространства Fh, чем по строенные для метода Ритца. К этому же выводу мы придем, когда попытаемся построить вариационно-разностные схемы метода Галёркина более высокого порядка точности, нежели первый.

Для областей, которые могут быть представлены как объ единение конечного числа прямоугольников, нужные прост ранства Fh удается сконструировать достаточно легко, если воспользоваться результатами 2.4. Ниже мы на примере ку сочно-линейных аппроксимаций опишем структуру этих прост-

ранств -Fk

для

частного

случая

построим вариацион

но-разностную

схему.

Пусть

область

D являет

ся

объединением

прямо

угольников

(£>І}[=І

со

сто

ронами, параллельными

осям

координат,

D — наимень

ший по площади прямоуголь

ник, содержащий

область D

(рис.

9),

где

5={(х,

у):

Рис.

ct^xs^b,

c^y^.d}.

Пост

роим

па

отрезках [а,

Ь] и

[с,

сетки

a = x 0

< x i < . • .<xN+]

с=у0<.У\<...

• • -<Ум+\—d

таким

образом,

чтобы

любая

из сторон

состав

ляющих область D прямоугольников обязательно

принадле

жала какой-нибудь из линий

x=xk, у^у, (k=0,

1, ... ,

JV; / =

1 , . . . , Л4).

(5.22)

После этого определим сеточную область Dh

как

совокупность

точек (xk,

yi),

принадлежащих

(k=\,.

. .,

/ = 1

М).

Перейдем

к построению пространства

(D).

F/^Wo

Введем

функции

— x i i — \

если

[Хп-и

xh\,

"• ft—1

(5.23)

d>x,h (х)

, еСЛИ X Є \ X h ,

Xh+\],

*-ft+l

(О

случае

в противном

(k=l,...,N),

У —У

1-і

, если

г / Є [ у і _ і ,

yt],

-у

i-i

(5.24)

у-

•У i+i

, если у

ЄЕ ІУі,

Уі+і],

УІ

— УІ+І

противном

случае

(1=\,...,М),

систему

функций

®h,i(x,

У) = а>х,

h(x)av,i(y),

(5.25)

(xh,

yi)e=Dh

и выберем

в качестве

Fh линейную оболочку

функций

(о);,,і} •

Так

как

система

{шь,г]

линейно

независима,

то она,

очевид

но,

образует

базис пространства Fh-

Выведем теперь систему линейных уравнений метода Галёркина в подпространстве Fh с базисом (5.25) для простей шей задачи

	д2и		д2и j _ ди				f в п
	дх-		ду*		дх			(5.26)
			и—0		на	dD.

Согласно 2.2, если приближение uh						искать в виде
	и" =		2				(х,У ) ,	(5.27)
то система имеет вид
			Au =		g,			(5.28)
где и и g — векторы		с компонентами					{uti,i}	из (5.27) и {gk,i}
соответственно ^gh,i =		J fa>h,i dDj				элементы		{ай,5;} матрицы А
вычисляются по формуле
ал',г =	дх	дх	+	—		ду	jzr+-3jr<i>k,i dD =
			'	ду

Так же, как и в предыдущем пункте, нетрудно видеть, что alh,i = 0, если выполнено хотя бы одно из двух неравенств

\i — k\>\,	\| / _ / \| > 1 .
Отсюда сразу следует, что А	будет блочной трехдиагональ-

ной матрицей вида (5.12). Приведем окончательные формулы

элементов (ал,'},			предполагая			для простоты, что	сетка равно
мерная	и ее шаг равен /г:					dy [со? (у) + <al (х)]
				l h+i	vi+\
	4'}	= ±r		\ dx	\		=
	• xk+i		vi
<&Ґ1	' J	dx	I	dy [©,_, (г/) сог (г,) - col (*)] = -			(5.30a)

M + t _

1 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ