книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

выводу об ортогональности системы векторов {g"„}. Таким образом, метод сопряженных градиентов решает вариацион­ ную задачу (2.31).

В заключение обсудим случай вырождения, когда для

что противоречит линейной независимости системы векторов

женных градиентов позволяет найти точное решение системы (2.28) уже на k-м шаге.

Метод сопряженных градиентов, как н другие способы ортогонализации, можно широко использовать для ускорения сходимости стационарных итерационных методов. Так, напри­ мер, для итерационного процесса

по Чебышеву. При больших числах итераций скорости сходи­ мости метода сопряженных градиентов и ускорения по Чебы­ шеву асимптотически выравниваются, хотя абсолютные зна­ чения невязок асимптотически в методе сопряженных гради­ ентов, как правило, оказываются по норме существенно мень­ шими именно за счет быстрой сходимости на первых итерациях. Кстати сказать, это свойственно всем градиентным методам.

3.3. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ

Среди итерационных методов решения стационарных задач математической физики широкое применение имеет метод переменных направлений, предложенный Дугласом, Писсманом, Рэчфордом. В настоящее время известно довольно большое число различных модификаций этого метода и схем его реализации. В своей сущности метод переменных на­ правлений основывается на специальных релаксационных процессах с возможностью редукции сложной задачи к пос­ ледовательности простейших. Все методы такой редукции бу­ дем называть м е т о д а м и р а с щ е п л е н и я . Именно с этих позиций и рассмотрим ставший уже классическим метод переменных направлений.

Наше исследование начнем с простейшей задачи

ловия максимальной асимптотической скорости сходимости итерационного процесса. Однако процесс такого типа обыч­ но сходится весьма медленно, поэтому многие исследователи

где В — некоторый новый положительно определенный опе­ ратор, вид которого пока не фиксирован.

Заметим, что если вы б р а т ь - ^ 5 = Л , то уже одна итерация

— тождественный оператор, приходим к выводу, что при про­ извольном

Это и есть формальная запись точного решения задачи. Хотя рассмотренный пример и является впечатляющим, од­ нако для осуществления такого процесса нам необходимо вы­ числение оператора Л - 1 , а это задача, эквивалентная по трудности исходной задаче. Таким образом, построенный ите­ рационный процесс не является конструктивным, но он наво­ дит на мысль о различных подходах к выбору оператора^ В,

Уравнение (3.7) разрешим относительно ф^'+1. Тогда будем иметь

(3.8) будет сходиться при любых положительных т. Это сле­ дует из того факта, что, согласно лемме Келлога, норма опе­ ратора шага

< 1 -

Анализ выражения (3.8) показывает, что для осуществле­ ния рассматриваемого процесса необходимо на каждой ите-

рации обращать весьма сложный оператор -ЕЧ—тр Л.Именно

это обстоятельство делает итерационный процесс (3.6) не­ конструктивным. Однако для целей теоретического анализа

рассмотрение такого процесса весьма полезно. В самом деле, предположим, что задача

определяет полный набор собственных элементов ия и набор соответствующих им положительных собственных чисел Хп. Пусть min'Xn (/l)} = с х ( Л ) > 0 и max {К (А)} = В (Л)>0 . Вели-

тем быстрее, чем меньшее значение имеет Тп. Таким образом,

Нетрудно установить, что под зтгаком модуля стоит функция, монотонная относительно аргумента х=—^~, поэтому при

Поскольку во многих задачах математической физики пара­ метр Х„ имеет размерность 1/см\ где k — порядок старших производных по геометрическим переменным, то отсюда следует, что Уоф является обратной величиной, характеризу­ ющей размер «среднего» возмущения, выраженного в едини­ цах собственных значений оператора А. Обозначим

Тогда будем иметь

Т„

т X

и, следовательно, решение (3.12) примет вид

X

Поскольку Хп>0, то