книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Выше было установлено, что ИГ-УІ^І, следовательно,

• 1^кИИіИІИ1<і-

Поэтому имеем

которое совпадает с (3.57). В некоторых случаях запись урав­

ратуре весьма полно. Приведем разностные схемы расщепле­ ния, формально разрешенные на каждом шаге относительно искомого решения. Нетрудно видеть, что все схемы расщеп-

зики зачастую приходится иметь дело с расщеплением опера­

Прежде всего можно убедиться, что тривиальное распро­ странение методов расщепления, рассмотренных выше для случая п—2, оказывается в общем виде невозможным. По­ этому поставим перед собой цель — распространить алгорит­ мы расщепления на этот случай в тех предположениях, кото­ рые допускают такое распространение.

4.4.1.Метод стабилизации

Впредположении (4.1) метод стабилизации может быть представлен в виде

где

Схема реализации алгоритма следующая:

Fi=—A<pi+fi,

Легко проверить, что метод стабилизации имеет второй по­ рядок точности по г в случае достаточной гладкости реше­ ния. Счетная устойчивость будет обеспечена при выполнении условия

дующим простым алгоритмическим приемом. Полагая р рав­

и фиксированном параметре т, обеспечивающем необходимую аппроксимацию, будем следить за нормой ||ф'||. Если эта нор­ ма не будет расти, то ||Т||<;1 и, таким образом, можно счи­ тать, что условие для счетной устойчивости выполнено. После этого можно переходить к решению неоднородной задачи. Уравнение (4.2) можно переписать в виде

С помощью рекуррентной связи и приходим к условию устой­ чивости в энергетической метрике

мы использовали начальное условие (4.7). Это совсем не обязательно. В качестве начального условия можно было вы­ брать любую функцию и следить за счетом.

4.4.2. Метод предиктор-корректор

Схема расщепления в этом случае имеет вид

Е + }А,у| фУ+Шя = фУ,

' Е +£Ла )ф>+2/2" = фУ+1/2Д,

при условии

Метод предиктор-корректор при достаточной гладкости решения имеет второй порядок точности по т. Уравнение

Требование счетной устойчивости в конечном итоге сво­ дится к оценке нормы оператора Т. К сожалению, и в этом случае конструктивное условие Аа^О не позволяет доказать устойчивость схемы. Этот вопрос остается открытым.

Чтобы закончить анализ рассмотренных выше двух схем расщепления, остановимся на простейшем случае, когда опе­ раторы Аа коммутируют друг с другом и имеют общий базис. Оказывается, этого дополнительного требования достаточно, чтобы вместе с условием Аа^0 доказать устойчивость рас­ смотренных схем. В самом деле, при условии коммутативно­ сти операторы шага Т для обеих схем совпадают друг с дру­

Подставляя разложения (4.16) и соответствующие пред­ ставления для функции g в (4.6), (4.7), для коэффициентов Фурье q>]h получим

что в соответствии с 1.3 доказывает утверждение.

Метод стабилизации и метод предиктор-корректор при я- компонентном расщеплении могут быть применены и к случаю, когда оператор А зависит от времени. Однако в данной си­ туации априорное установление условия устойчивости ока­ зывается более сложной задачей. Поэтому трудно сказать, насколько оправданно применение рассмотренных двух схем в общих ситуациях. Это стимулировало автора к формули­ ровке более или менее универсального подхода к решению различных сложных и достаточно общих задач на основе идеи расщепления. Таким методом оказался двухциклический. метод последовательного расщепления.

4.4.3. Метод покомпонентного расщепления

на основе элементарных схем

Попытаемся построить разностный аналог задачи второго порядка аппроксимации по т и абсолютно устойчивый во времени. В соответствии с предположением о многокомпонент­ ном расщеплении будем полагать, что

где все Ла —положительные полуопределенные операторы, так ч т о Л а > 0 . Рассмотрим систему следующих уравнении:

вой и второго порядка аппроксимации. Это установить до­ вольно просто с помощью метода Фурье. Однако для неком­

поэтому менее интересна для приложений, чем следующая схема второго порядка аппроксимации, предложенная Е. Г. Дьяконовым"5 1 :

Ф 2 « (а 1,2,..., п),

(4.24)

а. . а—1

ние задачи Коши для положительно полуопределенных и не­ коммутативных операторов Аа и обладает вторым порядком аппроксимации. Это является в известном смысле полным решением проблемы расщепления.

Таким образом, абсолютная устойчивость этой схемы дока­

зана.

Для того чтобы определить порядок аппроксимации, раз­ ложим по степеням малого параметра т выражение (полагая

5-ЦЛаЦ<1)

Поскольку

Т' = а=1ПТ'а,

то сначала разложим в ряд оператор Т'а. Тогда аналогично (1.13) получим

В случае, когда операторы АІ коммутативны, выражение, стоящее под знаком двойной суммы, обращается в нуль и мы имеем

то схема расщепления оказывается только первого порядка точности по т. Чтобы построить схему второго порядка точно­

Алгоритмически это означает, что сначала решается система

Таким образом, на интервале ^ - - l ^ ^ ^ + i схема (4.33) имеет второй порядок точности по х, если в качестве А}А взят один из аналогов, приведенных в (1.22) — (1-24).

В заключение заметим, что разностная система (4.33) ока­ зывается абсолютно устойчивой для Л„ > 0. Следовательно, мы пришли к оптимальному в известном смысле алгоритму многокомпонентного расщепления.

Для неоднородного уравнения

<Х=1

имеет место следующая схема расщепления:

;+^+

( £ + } Л І ) Ф ' + 1 = ( £ - 2 ^ Л І ) Ф

где

Лі = Л а (f у ).

Нетрудно убедиться, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации по т и абсолютно устойчива в предположении необходимой гладкости ф.

Так же, как и в случае а = 2 , я-компонентную систему уравнений (4.35) можно записать в эквивалентной форме:

(a = 2, 3, . . . , / 1 + 1).